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专题2.5 一元二次方程 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东·九年级期末）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋＋5＝0是分式方程；④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．（2023·广东佛山市·九年级一模）已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，进而即可求解．
【详解】解：设一元二次方程的两个实数根分别是：，∴，
∵Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，
∴的面积=32÷2=16．故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两个实数根，满足，是解题的关键．
3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
5．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
6．（2023·四川绵阳市·九年级二模）已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1
【答案】D
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】设，∴原式可转化为：，
整理得，，解得，或，
∵，∴将(舍去)∴的值为1，故答案为：D．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一
个整体，并对所求值进行取舍．
7．（2023·上海九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴
∴，
∴故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2023·温州九年级二模）如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，∴AH=EM，HM=AE，
∵，∴，由可设，
∴，∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），∴；故选B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法及勾股定理，熟练掌握利用正方形的性质、勾股定理及方程思想进行求解问题是解题的关键．
9．（2023·杭州市九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．①方程x2+5x+6＝0是倍根方程：②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件，然后解方程即可得到正确的结论．③根据是倍根方程，且且，，得到，或，从而得到，，进而得到正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答．
【详解】解：①解方程得：，，
方程不是倍根方程，故①错误；
②，解方程得：，，，故②错误；
③是倍根方程，且，，，或，
，，，故③正确；
④方程是倍根方程，设，
∵3a+b=0，，，，故④正确．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
10．（2023.浙江九年级期中）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论．
【详解】解：方程有两个根和，，，
设方程的两根为，，则，，
，，，
方程的两根为，，
，，，，，，
，方程的较小根的范围为．故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·安徽阜阳市·九年级期中）若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是_____．（写出一个即可）
【答案】2
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.
【详解】∵(n-1) x2+2x-4=0是关于x的一元二次方程，∴n-1≠0，解得:n≠1.
故答案为:2.（写出一个即可）
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键.
12．（2023年山东省济南市中考数学真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，解得：，
∴的值可以是．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到）
【答案】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，则，
所以这个方程的正数解近似表示为，故答案为：．
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
14．（2023·山东临沂市·九年级一模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】解：，，
，
，
解方程得，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
15．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，故答案为：8或9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
16．（2023·江西南昌市·九年级一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
【答案】8或
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝8±2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；
当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a、b进行分类讨论是解题关键．
17．（2023·浙江九年级期中）已知是关于x的方程的两个实数根．则：（1）两实数根的和是__________；
（2）若恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是________．
【答案】8 8
【分析】（1）原方程可化为x2-5x-n2+5n=0，根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式得到直角三角形面积=，即可得到结论．
【详解】解：（1）原方程可化为，∴x1+x2=8；故答案为：8；
（2）∵x1，x2恰是一个直角三角形的两直角边的边长，∴x1x2=-n2+8n，
∴直角三角形面积=x1x2==，
∵，∴∴直角三角形面积的最大值为8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，直角三角形的面积的计算，平方的非负性，正确求出直角三角形面积表达式是解题的关键．
18．（2023年浙江省金华市中考数学真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
【答案】 6 /
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，∴，解得，故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一个的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·苏州九年级期中）解方程：
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）移项，利用提公因式解题；（2）利用完全平方公式、直接开平方法解题；
（3）利用公式法解题；（4）先化为一般式，再利用十字相乘法法解题．
【详解】解：（1）
或；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．（2023.绵阳市九年级期中）阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
【答案】（1）；（2）的值是1
【分析】（1）根据对称方程的系数满足，，，求解即可；
（2）互为对称方程，则系数满足，，，据此解答．
【详解】解：（1）由题意知，，，，∴ ，，，
∴方程的“对称方程”是：，故填：；
（2）由移项可得：，
与为对称方程，，解得，
，解得，∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的新定义，熟悉方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，并能读懂题中的新定义是关键．
21．（2023·广西贵港市·九年级三模）突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．（1）该商品的售价和进价各是多少元？（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元？
【答案】（1）售价32元/件，进价24元/件；（2）3元
【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出一元一次方程即可求解；
（2）根据题目：利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）设商品的进价为每件元，则售价为每件元，
由题意可得：，解得，∴，
答：商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件；
（2）设该商品应再涨价元，由题意可得：，解得：或，
∵每天所得的销售利润为2035元时，且销售量尽可能大，∴，
答：该商品应再涨价3元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握实际问题销售模型是解答此题的关键．
22．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．化简，得．解得，．
当时，；当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．
∵，∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
23．（2023.重庆九年级期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根(1)直接写出m的取值范围(2)若满足，求m的值．(3)若，求证：；
【答案】(1)(2)(3)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答；
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答；
（3）因为，结合和，得，则，又因为，即可证明．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，即；
（2）解：∵，且，
∴整理得，解得：，
∵由（1）知，∴ 检验：当时，，即；
（3）证明：因为，
把和代入上式，
得，
∵，∴∴
∵，∴，∴，即．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键．
24．（2023.浙江八年级期中）若关于的一元二次方程．(1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值；(2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值．
【答案】(1)或；(2)．
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根，
∴∵，∴∴或；
（2）解：设方程的两个根为：
则，
∴
∴，，…．．
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及有理数的混合运算等．熟记相关一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
25．（2023.江苏九年级期中）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．
【答案】(1)(2)2(3)0
【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
（2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，将代入得，解得，
∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为．
（2）∵，∴，则．
又∵，∴，是一元二次方程的两个根，则，∴．
（3）∵，；∴；
即；∴．
又∵；
∴；即．
∵，为两个不相等的实数，∴，则，∴．
又∵，
∴，即．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
26．（2023·山东青岛市·九年级专题练习）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a＋b）2或a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1＋2）×（1＋2）的大正方形，由此可得：13＋23＝（1＋2）2＝32
（1）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2（要求自己构造图形并写出推证过程）
（2）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13＋23＋33＋…＋n3＝ （要求直接写出结论，不必写出解题过程）
（3）实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×1＝13个，然后利用类比归纳的结论，可得：13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2 ，图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有 个．
（4）逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有 个．
【答案】（1）见解析；（2）（1＋2＋3＋…＋n）2；（3）441；（4）8000
【分析】（1）根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究？，肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．
（2）实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为来求得．（3）根据规律即可求得大小正方体的个数．
（4）逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成m2＝（1＋2＋3＋…＋n）2，得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．
【详解】（1）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H、E与F、I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1＋2＋3）×（1＋2＋3）的大正方形，即个大正方形，因此可得：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62．故答案为：（1＋2＋3）2或62．
（2）根据规律可得：．
（3）依据规律得：．故答案为：441．
（4）∵44100＝2102＝（1＋2＋3＋…＋n）2；即1+2+3+…+n=210；
∴； 解得：n=20，n=-21（舍去）；
∴n＝20；∴20×20×20＝8000．故答案为：8000．
【点睛】本题借助数形结合来计算，以及这个等式的应用．数形结合使得复杂的计算变得简单而且直观易懂，这就是数形结合的魅力所在．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好”，这是数学家华罗庚对数形结合的精辟论述！
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专题2.5 一元二次方程 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东·九年级期末）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·广东佛山市·九年级一模）已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川绵阳市·九年级二模）已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1
7．（2023·上海九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·温州九年级二模）如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．（2023·杭州市九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．①方程x2+5x+6＝0是倍根方程：②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023.浙江九年级期中）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·安徽阜阳市·九年级期中）若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是_____．（写出一个即可）
12．（2023年山东省济南市中考数学真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到）
14．（2023·山东临沂市·九年级一模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．
15．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
16．（2023·江西南昌市·九年级一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
17．（2023·浙江九年级期中）已知是关于x的方程的两个实数根．则：（1）两实数根的和是__________；
（2）若恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是________．
18．（2023年浙江省金华市中考数学真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·苏州九年级期中）解方程：
（1） （2） （3） （4）
20．（2023.绵阳市九年级期中）阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
21．（2023·广西贵港市·九年级三模）突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．（1）该商品的售价和进价各是多少元？（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元？
22．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（2023.重庆九年级期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根(1)直接写出m的取值范围(2)若满足，求m的值．(3)若，求证：；
24．（2023.浙江八年级期中）若关于的一元二次方程．(1)若和分别是该方程的两个根，且，求的值；(2)当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值．
25．（2023.江苏九年级期中）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．
26．（2023·山东青岛市·九年级专题练习）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a＋b）2或a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1＋2）×（1＋2）的大正方形，由此可得：13＋23＝（1＋2）2＝32
（1）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2（要求自己构造图形并写出推证过程）；（2）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13＋23＋33＋…＋n3＝ （要求直接写出结论，不必写出解题过程）
（3）实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×1＝13个，然后利用类比归纳的结论，可得：13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2 ，图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有 个．（4）逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有 个．
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