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第1章 二次根式 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：、没有二次根号，不是二次根式的形式；
、没有二次根号，不是二次根式的形式；
、被开方数是非负数，是二次根式；
、被开方数是负数，根式无意义，不是二次根式．
故选：．
2．当时，二次根式的值为
A．2 B． C． D．
【答案】
【解答】解：当时，
二次根式．
故选：．
3．下列式子为最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：、是最简二次根式，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
4．使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【答案】
【解答】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
5．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为
A．2 B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据实数在数轴上的位置得知：，
即：，，
故原式．
故选：．
6．若，则可化简为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，，
．
故选：．
7．下列选项中，化简正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
8．如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的面积，
，
设边上的高为，
，
，
．
故选：．
9．如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：代入计算可得，，，，，
所以，原式．
故选：．
10．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．4 B． C．9 D．
【答案】
【解答】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，
小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．化简的结果是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：原式
．
故答案为：1．
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
．
故答案为：3．
13．已知和是同类项，则 ．
【答案】．
【解答】解：和是同类项，
，，
解得，，
．
故答案为：．
14．已知，，且，则的值等于 ．
【解答】解：由，得，
即，故，
同理，得，
代入已知等式，得，
解得．
15．已知，则 2023 ．
【答案】2023．
【解答】解：有意义，
，即，
，
，
，
，
故答案为：2023．
16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于的方程 的解是 ．
【解答】解：（1）
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）0．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【解答】解：根据题意得：，
解得：；
（2），
解得：．
则，
则平方根是：．
19．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
【答案】（1）；
（2）①；②5．
【解答】解：（1）二次根式有意义，
，
解得；
（2）①，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
②由①可得．
20．计算：
（1）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简；
（2）已知、满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）由题意得：，
解得：，
，
解得：，
，
则，
．
21．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则 ；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）与是关于4的共轭二次根式，
．
；
故答案为：；
（2）与是关于12的共轭二次根式，
．
．
．
．
22．求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）的值为4；
（2）的值为．
【解答】解：（1），，
，，
，
的值为4；
（2），
，
，
，
，
的整数部分为2，小数部分为，
，，
，
的值为．
23．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【答案】（1）；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析．
【解答】解：（1）当时，
，
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③．
【答案】（1），；
（2）12或28；
（3）①，②，③．
【解答】解：（1）设（其中、、、均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2），
，
、、均为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，；
即的值为12或28；
（3）①
；
②
；
③设，
则
，
．
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第1章 二次根式 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，是二次根式的是
A． B． C． D．
2．当时，二次根式的值为
A．2 B． C． D．
3．下列式子为最简二次根式的是
A． B． C． D．
4．使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
5．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为
A．2 B． C． D．
6．若，则可化简为
A． B． C． D．
7．下列选项中，化简正确的是
A． B． C． D．
8．如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于
A． B． C． D．
9．如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是
A． B． C． D．
10．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．4 B． C．9 D．
二．填空题（共6小题）
11．化简的结果是 ．
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为 ．
13．已知和是同类项，则 ．
14．已知，，且，则的值等于 ．
15．已知，则 ．
16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ；
（2）关于的方程 的解是 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
19．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
20．计算：
（1）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简；
（2）已知、满足，求的值．
21．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则 ；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
22．求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为，小数部分为，求的值．
23．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③．
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