第2章 二元一次方程组单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第2章 二元一次方程组 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
2．用代入法解方程组，将第一个方程代入第二个方程正确的是（　　）
A．x﹣2+2x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2﹣x＝4 D．x﹣2+x＝4
3．已知，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
4．若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
5．若（x﹣2y+9）2与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．9 C．12 D．27
6．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　）
A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13
C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4
7．如果方程组的解是方程7x+my＝16的一个解，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为（　　）
A．2 B．4 C．± D．±2
9．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 　 　．
12．方程组的解是 　 　．
13．已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是 　 　．
14．方程组的解为，则被遮盖的■表示的数为 　 　．
15．某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，则该队共胜 　 　场．
16．如果关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是 　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：由①×3，得6x+3y＝3 ③……第一步③﹣②，得y＝﹣2．……第二步将y＝﹣2代入①，解得．……第三步所以，原方程组的解为．……第四步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 　 　法；以上求解步骤中，第一步的依据是 　 　．
（2）第 　 　步开始出现错误，具体错误是 　 　．
（3）直接写出该方程组的正确解：　 　．
18．解下列方程组
（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：
19．选用合适的消元解法来解下列二元一次方程组
（1）；
（2）．
20．对有理数x、y，定义新运算x y＝ax+by+5，其中a，b为常数，已知1 2＝10，（﹣2） 2＝7．
（1）求a，b的值；
（2）如果x＝﹣3，x y＝﹣18，求y的值．
21．已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求a、b、c的值．
22．小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．
（1）两人的速度分别是多少？
（2）相遇后小梁多少时间到达A地？
23．（1）解方程组．
（2）阅读材料：善思考的小华在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1 代入①得，x＝4，所以方程组的解为，
请你模仿小华的“整体代入”法解方程组．
24．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解析】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；
B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．用代入法解方程组，将第一个方程代入第二个方程正确的是（　　）
A．x﹣2+2x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2﹣x＝4 D．x﹣2+x＝4
【点拨】将方程①代入②，然后进行消元，可得出答案．
【解析】解：，
把①代入②得：
x﹣2（1﹣x）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
3．已知，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
【点拨】根据题意将两方程相减，进而即可整体得出x﹣y的值．
【解析】解：，
②﹣①得：x﹣y＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则是关键．
4．若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【点拨】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代入a+b，计算即可得出结果．
【解析】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点评】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．
5．若（x﹣2y+9）2与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．9 C．12 D．27
【点拨】先根据相反数的定义列出关于x、y的方程，求出x、y的值再代入所求式子计算即可．
【解析】解：∵（x﹣2y+9）2与|x﹣y﹣3|互为相反数，
∴（x﹣2y+9）2+|x﹣y﹣3|＝0，
而（x﹣2y+9）2≥0，|x﹣y﹣3|≥0
∴，
解得，
∴x+y＝15+12＝27．
故选：D．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组以及非负数的性质，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
6．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　）
A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4
【点拨】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可．
【解析】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4，
解得：b＝4，
将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7，
解得：a＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，结合已知条件，将方程的解代入正确的方程是解题的关键．
7．如果方程组的解是方程7x+my＝16的一个解，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的x、y的值代入7x+my＝16中，即可得出m的值．
【解析】解：解方程组，得，
将代入7x+my＝16，得14+m＝16，
解得m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法，本题运用的是加减消元法．
8．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为（　　）
A．2 B．4 C．± D．±2
【点拨】由x＝2，y＝1是二元一次方程组的解，将x＝2，y＝1代入方程组求出m与n的值，进而求出2m﹣n的值，利用平方根的定义即可求出2m﹣n的平方根．
【解析】解：将代入方程组中，得：，
解得：，
∴2m﹣n＝6﹣2＝4，
则2m﹣n的平方根为±2．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根的定义，解二元一次方程组的方法有两种：加减消元法；代入消元法．
9．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题目中的关键句子：“同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇”找到两个等量关系后列出方程组即可．
【解析】解：设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，
根据题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到两个等量关系，难度不大．
10．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解析】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 　丙　．
【点拨】根据解二元一次方程组的方法进行判断即可．
【解析】解：①利用代入消元法解方程组较为简便；
②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
12．方程组的解是 　　．
【点拨】利用加减消元法解方程组即可．
【解析】解：，
①+②×3，得
11x＝11，
解得x＝1；
把x＝1代入②，得
3×1﹣y＝2，
解得y＝1；
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键．
13．已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是 　8　．
【点拨】根据a，b互为相反数可知a＝﹣b，代入方程a﹣2b＝6求出b的值，进而可得出a的值，把ab的值代入3a﹣b＝m即可得出m的值．
【解析】解：，
∵a，b互为相反数，
∴a＝﹣b③，
把③代入①得，﹣b﹣2b＝6，解得b＝﹣2，
∴a＝2，
把a＝2，b＝﹣2代入②得，3×2﹣（﹣2）＝m，
∴m＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
14．方程组的解为，则被遮盖的■表示的数为 　　．
【点拨】把方程组的解代入第二个方程即可求出y的值，然后把x、y的值代入第一个方程，即可求出被遮盖的■表示的数．
【解析】解：把代入方程x﹣y＝□中，1﹣y＝y，
解得，
把x＝1，代入方程2x+y＝■中，
■＝2×1+＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解的定义是解题的关键．
15．某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，则该队共胜 　5　场．
【点拨】设负的场数为x，胜的场数为y，则平的场数为2x，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数的得分＝17，胜场数+平场数+负场数＝8，把相关数值代入求解即可．
【解析】解：设负的场数为x场，胜的场数为y场，由题意得
，
解得．
则该队共胜5场．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
16．如果关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是 　　．
【点拨】将第二个方程组变形为，对照第一个方程组知2x﹣3和y相当于第一个方程组中的x和y，据此求解即可．
【解析】解：将方程组变形为，
根据题意可得：，
解得，
∴关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：由①×3，得6x+3y＝3 ③……第一步③﹣②，得y＝﹣2．……第二步将y＝﹣2代入①，解得．……第三步所以，原方程组的解为．……第四步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 　加减消元　法；以上求解步骤中，第一步的依据是 　等式的基本性质　．
（2）第 　一　步开始出现错误，具体错误是 　常数项未乘3　．
（3）直接写出该方程组的正确解：　　．
【点拨】（1）（2）两个小题均观察已知条件中的解二元一次方程组的过程，然后利用等式的基本性质和解方程组的一般方法进行解答即可；
（3）利用加减消元法，消去一个未知数，再利用代入法求出另一个未知数的值即可．
【解析】解：（1）观察已知条件中的解方程的步骤可知：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）观察解方程的过程可知，从第一步开始出现错误，具体错误是常数项没有乘3，
故答案为：一，常数项未乘3；
（3）解：由①×3，得6x+3y＝9③
③﹣②，得y＝4，
把y＝﹣2代入①得：，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握常见的两种解二元一次方程组的方法：加减消元和代入消元法．
18．解下列方程组
（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：
【点拨】（1）根据代入法解方程组，即可解答；
（2）根据加减法解方程组，即可解答．
【解析】解：（1）
由①得：y＝2x﹣5 ③，
把③代入②得：3x+4（2x﹣5）＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝2×2﹣5＝﹣1，
∴方程组的解为：．
（2）
把①×3得：9x+12y＝48 ③，
把②×2得：10x﹣12y＝66 ④，
③+④得：19x＝114
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
解得：y＝﹣，
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是明确代入法和加减法解方程组．
19．选用合适的消元解法来解下列二元一次方程组
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【解析】解：（1），
②×2得，8x﹣2y＝12③，
③+①得，11x＝13，
解得x＝，
将x＝代入②得，4×﹣y＝6，
解得y＝，
所以方程组的解为；
（2），
①+②得，7x＝14，
解得x＝2，
将x＝2代入①得4×2+2y＝3，
解得y＝﹣，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
20．对有理数x、y，定义新运算x y＝ax+by+5，其中a，b为常数，已知1 2＝10，（﹣2） 2＝7．
（1）求a，b的值；
（2）如果x＝﹣3，x y＝﹣18，求y的值．
【点拨】（1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出ab的值即可；
（2）根据x＝﹣3，x y＝﹣18得出关于y的方程，求出y的值即可．
【解析】解：（1）由题意得，
解得；
（2）由（1）知，a＝1，b＝2，
∵x y＝ax+by+5，
∴x y＝x+2y+5，
∵x y＝﹣18，
∴x+2y+5＝﹣18，
∵x＝﹣3，
∴﹣3+2y+5＝﹣18，
解得y＝﹣10．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算及二元一次方程的解，根据题意得出关于ab的方程组是解题的关键．
21．已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求a、b、c的值．
【点拨】将三组数值代入y＝ax2+bx+c列出三元一次方程组即可求出答案．
【解析】解：当x＝﹣2时，y＝9；
∴9＝4a﹣2b+c，
当x＝0时，y＝3，
∴3＝c，
当x＝2时，y＝5，
∴5＝4a+2b+c，
∴，
解得：
【点评】本题考查三元一次方程，解题的关键是熟练运用三元一次方程的解法，本题属于基础题型．
22．小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行．出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．
（1）两人的速度分别是多少？
（2）相遇后小梁多少时间到达A地？
【点拨】（1）设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，由题意：出发2h两人相遇．相遇时小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到达B地．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由路程÷速度即可得出结论．
【解析】解：（1）设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，
由题意得：，
解得：，
答：小魏的速度为16km/h，小梁的速度为4km/h；
（2）2×16÷4＝8（h），
答：相遇后小梁8小时到达A地．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（1）解方程组．
（2）阅读材料：善思考的小华在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1 代入①得，x＝4，所以方程组的解为，
请你模仿小华的“整体代入”法解方程组．
【点拨】（1）把方程组中的两个方程相加，消去未知数y，求出x，再把x的值代入其中一个方程，求出y即可；
（2）按照已知条件中的方法，把方程②变形成含有3x﹣2y的形式，然后把3x﹣2y＝5整体代入，求出y值，再把y值代入另一个方程求出x即可．
【解析】解：（1），
①+②得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
∴方程组的解为：；
（2），
将方程②变形：9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③；
把方程①代入③，得：3×5+2y＝19，
15+2y＝19，
2y＝4，
y＝2，
把y＝2代入①得：3x﹣4＝5
解得：x＝3，
∴方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的两种方法：代入消元和加减消元法，并能运用已知条件中的整体代入法．
24．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【点拨】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解析】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
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