第1章 二次根式单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版八年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第1章 二次根式 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．±＝5
4．化简的结果正确的是（　　）
A．3 B．3 C．4 D．2
5．下列各式化成最简二次根式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各式的计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．计算（）2023 （）2024的结果是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
8．若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
9．若等式＝（）2成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
10．化简﹣a的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．＝　 　；＝　 　．
12．计算＝　 　．
13．设的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2+ab的值是　 　．
14．如果，那么等式成立的条件是 　 　．
15．二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是　 　．
16．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　 　．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）化简：，以下是小曹同学的解答过程．思考并完成以下任务．解：原式＝①；＝②；＝2③；任务：
（1）小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
（2）请尝试写出正确的化简过程．
18．（6分）计算：
（1）； （2）÷×； （3）（5+3）（5﹣3）．
19．（8分）若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝+（4﹣x） 第一步
＝x﹣2+4﹣x 第二步
＝2 第三步
（1）小明的解答从第 　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　 　；
（2）写出正确的解答过程．
20．（8分）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则2ab＝　 　；
（2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值；
（3）若x，y为实数，且，求x+y的值．
21．（10分）已知直角三角形的两条直角边长分别为 和 ．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
22．（10分）请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．
23．（12分）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：＝；
（1）化简：；
（2）计算：；
24．（12分）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
＝（）2+1＝2，s1＝；＝12+（）2＝3，S2＝；…
＝12+（）2＝4，S3＝；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝　 　，Sn＝　 　．
（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出+++…+的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列式子中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据二次根式有意义即被开方数为非负数即可求出x的取值范围，再观察数轴即可作出判断．
【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得x≥1，
则x的取值范围在数轴上表示如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．±＝5
【思路点拨】根据算术平方根，立方根、平方根逐项进行判断即可．
【解析】解：A.＝3，因此选项A不符合题意；
B．因为（﹣2）3＝﹣8，所以＝﹣2，因此选项B符合题意；
C.＝|﹣3|＝3，因此选项C不符合题意；
D．±＝±5，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
4．化简的结果正确的是（　　）
A．3 B．3 C．4 D．2
【思路点拨】根据二次根式的乘法法则得到＝＝×，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：＝＝×＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：＝|a|．也考查了二次根式的乘法法则．
5．下列各式化成最简二次根式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据二次根式的性质进行求解即可．
【解析】解：A、＝，原式化简错误，不符合题意；
B、＝，原式化简错误，不符合题意；
C、＝，原式化简错误，不符合题意；
D、＝，原式化简正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
6．下列各式的计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用二次根式的乘法的法则，除法的法则，化简的方法对各项进行运算即可．
【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．计算（）2023 （）2024的结果是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
【思路点拨】把式子变形后先用平方差公式计算，再算乘方和乘法..
【解析】解：原式＝[（+3）（﹣3）]2023（﹣3）
＝12023×（﹣3）
＝﹣3；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式和幂的乘方、积的乘方公式的应用．
8．若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解析】解：∵，
∴1﹣a≥0，
解得：a≤1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
9．若等式＝（）2成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
【解析】解：若＝（）2成立，
则a≥0，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．化简﹣a的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【思路点拨】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：∵≥0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a＝﹣，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．＝　﹣1　；＝　35　．
【思路点拨】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：＝﹣1；
＝＝35．
故答案为：﹣1；35．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，＝|a|＝．
12．计算＝　﹣3　．
【思路点拨】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解析】解：原式＝2﹣5
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
13．设的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2+ab的值是　2　．
【思路点拨】由于2＜＜3，由此可得的整数部分为a＝2，小数部分为b＝﹣2，然后代入代数式求值．
【解析】解：∵2＜＜3，
∴的整数部分为a＝2，小数部分为b＝﹣2，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
14．如果，那么等式成立的条件是 　﹣2≤x≤0　．
【思路点拨】根据解答即可．
【解析】解：如果，
那么x≤0，2+x≥0，
解得﹣2≤x≤0
故答案为：﹣2≤x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握的化简以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
15．二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是　2　．
【思路点拨】根据二次根式的乘法，可得答案．
【解析】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．
16．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝　73　．
【思路点拨】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
【解析】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），
∵＝a ，
∴a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点睛】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．化简：，以下是小曹同学的解答过程．思考并完成以下任务．解：原式＝①；＝②；＝2③；任务：
（1）小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
（2）请尝试写出正确的化简过程．
【思路点拨】（1）直接利用二次根式的性质判断得出答案；
（2）利用二次根式的性质结合二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：（1）小曹的解答过程是从第①步开始出错，错误的原因是二次根式化简出错；
（2）原式＝﹣（2﹣）
＝﹣2+
＝2﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
18．计算：
（1）；
（2）÷×；
（3）（5+3）（5﹣3）．
【思路点拨】（1）先将原式中二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先将原式中二次根式化简为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（3）直接利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣+
＝；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝50﹣27
＝23．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
19．若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下：
解：原式＝+（4﹣x） 第一步
＝x﹣2+4﹣x 第二步
＝2 第三步
（1）小明的解答从第 　二　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　＝|a|＝﹣a（a＜0）　；
（2）写出正确的解答过程．
【思路点拨】（1）根据二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：（1）由化简过程可知，从第二步出现错误，．
故答案为：二，＝|a|＝﹣a（a＜0）；
（2）∵x＜2
∴x﹣2＜0，4﹣x＞0，
∴原式
＝2﹣x+4﹣x
＝6﹣2x．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
20．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则2ab＝　﹣20　；
（2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值；
（3）若x，y为实数，且，求x+y的值．
【思路点拨】（1）由题意可得，求出a，b的值，即可得出答案．
（2）由题意可得，求出m，n的值，即可得出答案．
（3）根据二次根式有意义的条件可得y﹣3≥0，3﹣y≥0，即可得y﹣3＝3﹣y＝0，则y＝3，进而可得x＝±8，从而可得答案．
【解析】解：（1）由题意得，，
解得，
∴2ab＝2×2×（﹣5）＝﹣20．
故答案为：﹣20．
（2）由题意得，，
解得，
∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5．
（3）由题意得，y﹣3≥0，3﹣y≥0，
∴y﹣3＝3﹣y＝0，
解得y＝3，
∴x2＝64，
解得x＝±8，
∴x+y＝11或﹣5．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质：绝对值，熟练掌握二次根式有意义的条件、非负数的性质是解答本题的关键．
21．已知直角三角形的两条直角边长分别为 和 ．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
【思路点拨】（1）根据直角三角形的面积＝×两直角边，再利用勾股定理进行计算即可；
（2）设斜边上的高为x，根据直角三角形的面积＝×两直角边＝斜边×斜边上的高，求出斜边上的高，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出答案．
【解析】解：（1）∵直角三角形的面积＝×两直角边，
∴这个三角形的面积＝，
＝，
＝，
＝5，
斜边长＝，
＝，
＝，
（2）设斜边上的高为x，
∵直角三角形的面积＝×两直角边＝斜边×斜边上的高，
∴，
，
∴斜边上的中线＝．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质．
22．请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．
【思路点拨】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解析】解：（1）∵x＝﹣2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
则x3＝x x2＝×＝﹣2，
∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
23．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：＝；
（1）化简：；
（2）计算：；
【思路点拨】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
【解析】解：（1）；
（2）由题意可得，
＝
＝；
【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
＝（）2+1＝2，s1＝；＝12+（）2＝3，S2＝；…
＝12+（）2＝4，S3＝；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝　n　，Sn＝　　．
（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出+++…+的值．
【思路点拨】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入Sn＝2求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【解析】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1＝，OA2＝，OA3＝…OAn＝，所以＝n．Sn＝ 1 ＝故：答案为n 与
（2）当Sn＝2时，有：2＝，解之得：n＝32
即：说明它是第32个三角形．
（3）+++…+
＝++…+
＝11.25
即：+++…+的值为11.25．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
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