第1章 二次根式单元检测B卷(提升卷）-2023-2024学年浙教版八年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第1章 二次根式 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的化简结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　）
A． B． C． D．
4．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　）
A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．计算3+2﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．+
8．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
9．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　）
A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5
10．若，则代数式x2﹣6x﹣8的值是（　　）
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．若，且a+b＜0，则a﹣b的值是 　 　．
13．化简：＝　 　；＝　 　；＝　 　．
14．已知，则xy＝　 　．
15．表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，请化简|a﹣c|＝　 　．
16．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：　 　．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（10分）化简：
（1）． （2）． （3）． （4）． （5）．
18．（8分）计算：
（1）+2﹣（﹣）； （2）﹣6×2÷4；
（3）（+）（﹣）﹣（+2）2； （4）16﹣5+﹣3．
19．（8分）已知 ，，求下列代数式的值：
（1）a2b+b2a； （2）a2+ab+b2．
20．（6分）已知a，b为一个等腰三角形的两边长，且满足等式，求此等腰三角形的周长．
21．（10分）先化简再求值：当a＝﹣3时，求的值．甲、乙两人的解答如下：
甲：原式＝a+；
乙：原式＝a+．
（1）　 　的解答是错误的，错误的原因是 　 　；
（2）若a＝﹣9，计算的值．
22．（10分）已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，．
（1）求此长方形的周长；
（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．
23．（8分）我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．
例如：2＝＝．
（1）请仿照上例化简．
①3
②﹣
（2）请化简a．
24．（12分）阅读材料：小华在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小华进行了以下探索：
设a+b（其中a，b，m，n均为整数），
则有a+b．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小华就找到了一种类似把a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小华的方法探索并解决下列问题．
（1）a，b，m，n均为正整数，若a+b，用含m，n的式子分别表示a，b，则a＝　 　，b＝　 　；
（2）当a，b，m，n均为正整数时，利用（1）中探索的结论解答下面问题：
①（1）若a+b，则a＝　 　，b＝　 　；
②若a+4，求正整数a的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的化简结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【思路点拨】根据二次根式的性质进行计算即可．
【解析】解：＝|﹣4|＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，＝|a|＝．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答
【解析】解：A、＝3，故A不符合题意；
B、＝＝，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案．
【解析】解：A、3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；
C、2x﹣6≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D、x﹣3＞0，解得x＞3，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．
4．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　）
A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷
【思路点拨】将“+”、“﹣”、“×”、“÷”代入计算，即可求解．
【解析】解：，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是：+或×，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解析】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
6．下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】利用二次根式的性质对（1）进行判断；利用二次根式的减法运算对（2）进行判断；利用二次根式的除法运算性质对（3）进行判断；利用平方差公式对（4）进行判断．
【解析】解：（）2＝2，所以（1）正确；
﹣＝2﹣＝，所以（2）正确；
÷＝＝＝3，所以（3）正确；
（+）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，所以（4）正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
7．计算3+2﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．+
【思路点拨】分别化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：演示＝3×+2×﹣×2
＝+﹣
＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
【思路点拨】根据图形可以求得图中阴影部分的面积＝大矩形面积﹣正方形面积，本题得以解决．
【解析】解：由题意可得，大正方形的边长为＝3，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为（3﹣）＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
9．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　）
A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5
【思路点拨】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：∵7＜m＜9，
∴5﹣m＜0，m﹣10＜0，
∴
＝m﹣5+10﹣m
＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当a≥0时，；当a＜0时，．
10．若，则代数式x2﹣6x﹣8的值是（　　）
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
【思路点拨】对原式配方再根据已知条件代入求解即可．
【解析】解：∵，
∴；
∴x2﹣6x﹣8
＝（x﹣3）2﹣17
＝
＝2023﹣17
＝2006．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≤5且x≠﹣3　．
【思路点拨】要使代数式有意义，则根式里面的被开方数需要大于等于0，且分母不能为0．
【解析】解：由题可知，
，
解得x≤5且x≠﹣3．
故答案为：x≤5且x≠﹣3．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．若，且a+b＜0，则a﹣b的值是 　﹣7或﹣1　．
【思路点拨】根据绝对值和算术平方根的定义得到a＝±4，b＝±3，再由a+b＜0得到a＝﹣4，b＝±3，据此代值计算即可．
【解析】解：∵，
∴a＝±4，b＝±3，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝±3，
当a＝﹣4，b＝3时，a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；
当a＝﹣4，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1，
∴a﹣b的值是﹣7或﹣1，
故答案为：﹣7或﹣1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出a＝﹣4，b＝±3是解题的关键．
13．化简：＝　2　；＝　　；＝　12　．
【思路点拨】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：；；；
故答案为：2；；12．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，会用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．
14．已知，则xy＝　6　．
【思路点拨】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出xy的值即可．
【解析】解：∵式子与在实数范围内有意义，
∴，解得x＝2，
∴y＝3，
∴xy＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
15．表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，请化简|a﹣c|＝　2c　．
【思路点拨】首先根据数轴推出a＜b＜0，c＞0，继而推出a﹣c＜0，b﹣c＜0，b+a＜0，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉绝对值号和根号，然后去括号进行合并同类项即可．
【解析】解：∵a＜b＜0，c＞0，
∴a﹣c＜0，b﹣c＜0，b+a＜0，
∴原式＝﹣（a﹣c）﹣（b﹣c）+（b+a）
＝﹣a+c﹣b+c+b+a
＝2c．
故答案为：2c．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的性质，数轴上点的性质，合并同类项等知识点，关键在于根据数轴推出a﹣c＜0，b﹣c＜0，b+a＜0．
16．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：　＝（n+1）（n为正整数）　．
【思路点拨】观察所给的等式易得第n个等式应为：＝（n+1）（n为正整数）．
【解析】解：第n个等式应为：＝（n+1）（n为正整数）．
故答案为：＝（n+1）（n为正整数）．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．化简：
（1）． （2）． （3）． （4）． （5）．
【思路点拨】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）利用二次根式的性质化简；
（3）利用二次根式的性质化简；
（4）利用二次根式的性质化简；
（5）利用分母有理化的方法化简．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和分母有理化的方法是解题的关键．
18．计算：
（1）+2﹣（﹣）； （2）﹣6×2÷4；
（3）（+）（﹣）﹣（+2）2； （4）16﹣5+﹣3．
【思路点拨】（1）先化简，再去括号，最后合并同类二次根式即可；
（2）先化简，再按照从左到右的顺序运算即可，注意结果需最简；
（3）分别按照平方差公式和完全平方公式计算去括号，再合并同类二次根式，注意结果需最简；
（4）先把每项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：（1）原式＝+﹣（﹣）
＝+﹣+
＝﹣；
（2）原式＝×÷
＝÷
＝﹣4；
（3）原式＝13﹣2﹣（3+4+8）
＝11﹣3﹣4﹣8
＝；
（4）原式＝﹣+﹣
＝7﹣2．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，按照运算法则和运算顺序计算即可，注意结果要化为最简二次根式．
19．已知 ，，求下列代数式的值：
（1）a2b+b2a； （2）a2+ab+b2．
【思路点拨】（1）根据a、b的值，可以计算出ab和a+b的值，然后将所求式子变形，再将ab和a+b的值代入计算即可；
（2）根据a、b的值，可以计算出ab和a+b的值，然后将所求式子变形，再将ab和a+b的值代入计算即可．
【解析】解：（1）∵，，
∴ab＝3，a+b＝2，
∴a2b+b2a
＝ab（a+b）
＝3×2
＝6；
（2）∵，，
∴ab＝3，a+b＝2，
∴a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（2）2﹣3
＝28﹣3
＝25．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．已知a，b为一个等腰三角形的两边长，且满足等式，求此等腰三角形的周长．
【思路点拨】根据二次根式的意义得3a﹣9≥0，3﹣a≥0，求得a的值，进而求出b的值，再根据三角形边的关系即可求出答案．
【解析】解：根据题意，得3a﹣9≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴b﹣6＝0，
∴b＝6，
∴腰为6，底为3，
∴等腰三角形的周长为6+6+3＝15．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式有意义的条件、三角形三边关系、等腰三角形的性质，掌握这几个知识点的应用是解题关键．
21．先化简再求值：当a＝﹣3时，求的值．甲、乙两人的解答如下：
甲：原式＝a+；
乙：原式＝a+．
（1）　乙　的解答是错误的，错误的原因是 　去绝对值时，没有判断1﹣a的正负情况　；
（2）若a＝﹣9，计算的值．
【思路点拨】（1）利用二次根式的性质＝|a|，化简即可；
（2）利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：（1）∵a＝﹣3，
∴1﹣a＞0，
则原式＝a+
＝a+|1﹣a|
＝a+（1﹣a）
＝a+1﹣a
＝1，
所以乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断1﹣a的正负情况；
故答案为：乙，去绝对值时，没有判断1﹣a的正负情况；
（2）∵a＝﹣9，
∴1﹣a＞0，
则原式＝a+
＝a+|1﹣a|
＝a+（1﹣a）
＝a+1﹣a
＝1．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
22．已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，．
（1）求此长方形的周长；
（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．
【思路点拨】（1）先把a，b化成最简二次根式，再利用矩形周长＝2×邻边的和求解即可；
（2）根据已知条件可知，正方形的边长＝矩形的周长，正方形的面积＝（边长）2计算即可．
【解析】解：（1）∵a＝＝，b＝＝2，
∴矩形的周长为：2（a+b）＝2×（）＝6；
（2）设这个正方形的边长为m，
由题意得，4m＝6，
解得，m＝，
∴S正方形＝（）2＝4.5．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
23．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．
例如：2＝＝．
（1）请仿照上例化简．
①3
②﹣
（2）请化简a．
【思路点拨】（1）利用已知计算方法将根号外的因数平方后移到根号内部即可；
（2）利用已知计算方法将根号外的因式平方后移到根号内部即可，注意符号．
【解析】解：（1）①3＝＝，
②﹣＝﹣＝﹣；
（2）a＝﹣＝﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
24．阅读材料：小华在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小华进行了以下探索：
设a+b（其中a，b，m，n均为整数），
则有a+b．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小华就找到了一种类似把a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小华的方法探索并解决下列问题．
（1）a，b，m，n均为正整数，若a+b，用含m，n的式子分别表示a，b，则a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）当a，b，m，n均为正整数时，利用（1）中探索的结论解答下面问题：
①（1）若a+b，则a＝　4　，b＝　2　；
②若a+4，求正整数a的值．
【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开得到a+b＝m2+3n2+2mn，从而可分别用m、n表示a、b；
（2）①由于a+b＝（1+）2＝4+2，从而得到a＝4，b＝2
②由于a＝m2+3n2，b＝2mn＝4，则mn＝2．利用有理数的整除性得到m＝1，n＝2或m＝2，n＝1．然后计算出对应的a的值．
【解析】解：（1）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：
（2）①∵a+b＝（1+）2＝1+3+2＝4+2；
∴a＝4，b＝2，
故答案为：4，2；
②由（1）可得，a＝m2+3n2，b＝2mn＝4，
∴mn＝2．
而a，m，n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1．
∴当m＝1，n＝2时，a＝m2+3n2＝1+3×22＝13．
当m＝2，n＝1时，a＝m2+3n2＝4+3×12＝7．
∴a＝13或7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
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