第2章 一元二次方程单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版八年级数学下册单元检测卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+xy＝1 B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣2x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
3．方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　）
A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3
4．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0有一个根为0，那么k的值只能是（　　）
A．1 B．1，﹣3 C．﹣3 D．以上都不对
6．解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后得到（x﹣3）2＝p，则p的值是（　　）
A．13 B．9 C．5 D．4
7．已知关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5
8．已知关于x的一元二次方程x2+2bx﹣1＝0下列对该方程的根的判断，正确的是（　　）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
9．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　）
A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300
C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300
10．某品牌巧克力四月份的销售额为50万元，为了扩大销量，厂家在某电商平台开始了直播网购，六月份销售额为200万元．设第二季度该品牌巧克力销售额平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝200 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200
C．50（1+x）+50（1+x）2＝200 D．50+50（1+x）＝200
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为 　 　．
12．如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　 　步开始出错．（填序号）
解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③
13．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣m2+m的值是 　 　．
14．若（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝27，则x2+y2的值为 　 　．
15．已知△ABC为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程2x2﹣7x+5＝0的两个根，那么该三角形的周长是 　 　．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若方程有一根x＝﹣1，则b﹣a﹣c＝0；
②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝5，那么方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝4；
④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
其中正确的是 　 　．（填序号）
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）按要求解方程：
（1）（公式法）3x2﹣10x+3＝0；
（2）（配方法）x2+4x﹣5＝0；
（3）（因式分解法）16﹣x2＝3（x﹣4）．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
（3）3x（x﹣2）＝x﹣2．
19．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）如果等腰△ABC的一条边长为7，其余两边的长恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．
21．（10分）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
（1）经过第一轮传染后，共有 　 　人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
（2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
22．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
23．（12分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
24．（12分）提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）．
当y1＝4时，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+xy＝1 B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣2x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0
【思路点拨】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解析】解：A．x+xy＝1中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x2+1＝（x+1）2，化简可得2x＝0，是一元一次方程，不符合题意；
C．x2﹣2x+1＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【思路点拨】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴这个方程是x2+2x﹣4＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
3．方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　）
A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3
【思路点拨】根据因式分解法，可得答案．
【解析】解：因式分解，得
（x﹣3）（2x﹣5）＝0
于是，得
2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
4．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【思路点拨】根据各方程的特点逐一判别即可．
【解析】解：①3x2﹣27＝0适合直接开平方法；
②x2﹣3x﹣1＝0适合公式法；
③（x+2）（x+4）＝x+2适合因式分解法；
④2（3x﹣1）2＝3x﹣1适合因式分解法；
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0有一个根为0，那么k的值只能是（　　）
A．1 B．1，﹣3 C．﹣3 D．以上都不对
【思路点拨】把x＝0代入原方程，求出k的值，再根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0，即可解答．
【解析】解：把x＝0代入得：k2+2k﹣3＝0，
解得：k1＝1，k2＝﹣3，
∵（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0，
解得：k≠1，
∴k＝﹣3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义是关键．
6．解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后得到（x﹣3）2＝p，则p的值是（　　）
A．13 B．9 C．5 D．4
【思路点拨】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【解析】解：∵x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
则x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴p＝13，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．已知关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5
【思路点拨】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k﹣3≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．
【解析】解：当k﹣3＝0，即k＝3时，方程化为﹣4x+2＝0，解得x＝；
当k﹣3≠0时，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3．
综上所述，k的取值范围为k≤5．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．已知关于x的一元二次方程x2+2bx﹣1＝0下列对该方程的根的判断，正确的是（　　）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
【思路点拨】结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac可得出Δ＝4b2+4＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解析】解：∵a＝1，b＝2b，c＝﹣1，
∴Δ＝（2b）2﹣4ac
＝4b2+4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．
9．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　）
A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300
C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300
【思路点拨】当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据整个挂图的面积是6300cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，
根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．某品牌巧克力四月份的销售额为50万元，为了扩大销量，厂家在某电商平台开始了直播网购，六月份销售额为200万元．设第二季度该品牌巧克力销售额平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝200 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200
C．50（1+x）+50（1+x）2＝200 D．50+50（1+x）＝200
【思路点拨】利用六月份的销售额＝四月份的销售额×（1+第二季度该品牌巧克力销售额平均每月的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：50（1+x）2＝200．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为 　﹣5　．
【思路点拨】通过整式乘法、移项、合并同类项将原方程化成一般形式即可．
【解析】解：（2x+1）（x﹣3）＝x2+1，
∴2x2﹣5x﹣3＝x2+1，
∴x2﹣5x﹣4＝0．
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）是解答本题的关键．
12．如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　步开始出错．（填序号）
解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③
【思路点拨】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】解：如上图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
13．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣m2+m的值是 　2023　．
【思路点拨】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算．
【解析】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以2024﹣m2+m＝2024﹣（m2﹣m）＝2024﹣1＝2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．若（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝27，则x2+y2的值为 　6　．
【思路点拨】运用乘法公式展开，变形，直接开方即可求解．
【解析】解：（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝27，
∴[（x2+y2）+3][（x2+y2）﹣3]＝27，
∴（x2+y2）2﹣9＝27，
∴（x2+y2）2＝36，
∴x2+y2＝±6，
∵x2≥0，y2≥0，
∴x2+y2≥0，
∴x2+y2＝6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查乘法公式的运用，直接开方求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
15．已知△ABC为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程2x2﹣7x+5＝0的两个根，那么该三角形的周长是 　6　．
【思路点拨】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出①当等腰三角形的三边为，，1时，②当等腰三角形的三边为，1，1时，看看是否符合三角形的三边关系定理，再求出等腰三角形的周长即可．
【解析】解：解方程2x2﹣7x+5＝0得：x＝或x＝1，
①当等腰三角形的三边为，，1时，符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形的周长是++1＝6；
②当等腰三角形的三边为，1，1时，不符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形不存在；
所以等腰三角形的周长是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若方程有一根x＝﹣1，则b﹣a﹣c＝0；
②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝5，那么方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝4；
④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
其中正确的是 　①②③　．（填序号）
【思路点拨】分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可．
【解析】解：①若方程有一根x＝﹣1，则b﹣a﹣c＝0，故正确；
②若a+b+c＝0，则可知方程有一个根为x＝1，
则b2﹣4ac≥0，故正确；
③若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝5，
则x﹣1＝1或4，
所以方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝4，故正确；
④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
当c≠0时，则一定有ac+b+1＝0成立，故错误．
所以其中正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．按要求解方程：
（1）（公式法）3x2﹣10x+3＝0；
（2）（配方法）x2+4x﹣5＝0；
（3）（因式分解法）16﹣x2＝3（x﹣4）．
【思路点拨】（1）根据解一元二次方程﹣公式法的方法解方程即可；
（2）根据解一元二次方程﹣配方法的方法解方程即可；
（3）根据解一元二次方程﹣公因式分解的方法解方程即可．
【解析】解：（1）3x2﹣10x+3＝0，
∵a＝3，b＝﹣10，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×3＝64，
∴，
解得x1＝3，．
（2）x2+4x﹣5＝0
配方，得 （x+2）2＝9，
∴x+2＝3 或 x+2＝﹣3，
解得x1＝1，x2＝﹣5．
（3）由 16﹣x2＝3（x﹣4），
得 （4+x）（4﹣x）﹣3（x﹣4）＝0，
即（4﹣x）（4+x+3）＝0，
∴4﹣x＝0 或 x+7＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18．解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；
（3）3x（x﹣2）＝x﹣2．
【思路点拨】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，
（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，
2x﹣1+3﹣x＝0或2x﹣1﹣3+x＝0，
∴x1＝﹣2，．
（3）3x（x﹣2）＝x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，3x﹣1＝0，
∴x1＝2，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．
19．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
【思路点拨】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，因为（k﹣3）2≥0，可以得到Δ＞0；
（2）将x＝3代入方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0，求出k的值，进而得出方程的解．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，
而（k﹣3）2≥0，
∴Δ＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是3，
∴32﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
即k的值为3，方程的另一个根是1．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）如果等腰△ABC的一条边长为7，其余两边的长恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．
【思路点拨】（1）根据判别式可得不等式，解之即可；
（2）分类讨论：若x1＝7时，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，当m＝10时，由根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根据三角形三边的关系，m＝10舍去；当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根据三角形三边的关系，m＝2舍去．
【解析】解：（1）根据题意得：Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，
解得：m≥2；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
综上所述，m的值是4，这个三角形的周长为17．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
21．某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
（1）经过第一轮传染后，共有 　（2+2x）　人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
（2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
【思路点拨】（1）利用经过第一轮传染后感染了病毒的人数＝2+每轮传染中平均一个人传染的人数×2，即可用含x的代数式表示出经过第一轮传染后感染了病毒的人数；
（2）根据“经过两轮传染后，一共有288人感染了病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【解析】解：（1）∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴经过第一轮传染后，共有（2+2x）人感染了病毒．
故答案为：（2+2x）；
（2）设每轮传染中平均一个传染了x人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人，
依题意得：2+2x+x（2+2x）＝288，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α 2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值．
【解析】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1，
则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，
∴m＝4或m＝1，
当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26；
当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α，
根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α 2α＝32，
解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11，
∴m的值为13或﹣11．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了阅读理解能力．
23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
【思路点拨】（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（2）解：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；
（2）不能，理由如下：
设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，
依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
24．提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）．
当y1＝4时，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
【思路点拨】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可．
【解析】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0，
设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，
（y﹣6）（y﹣7）＝0，
y﹣6＝0或y﹣7＝0，
解得，：y1＝6，y2＝7，
当 x2﹣2＝6 时，；
当 x2﹣2＝7 时，x＝±3，
所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3．
【点睛】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)