第2章 一元二次方程单元检测B卷(提升卷）-2023-2024学年浙教版八年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第2章一元二次方程 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
2．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　）
A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2
3．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥8 B．a＜8且a≠0 C．a≤8 D．a≤8且a≠0
4．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980
C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
6．若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2
7．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a＞0，b＞0，c＜0，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根
8．如图，有一块长28m，宽10m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是243m2．设小路宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243
C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243
9．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　）
A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500
C． D．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现有下列结论：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．
则正确的结论个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是 　 　．
12．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的最大整数值为 　 　．
13．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 　 　．
14．若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2024的值为 　 　．
15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　．
16．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，有下列说法：
①当k＝0时，方程无解； ②当k＝1时，方程有一个实数解；
③当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解； ④此方程总有实数解．
其中错误的是　 　．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x＝2；（用配方法）
（2）2x2+3＝3x；（用公式法）
（3）（x+2）2﹣3（x+2）＝0．（用适当的方法）
18．（8分）解下列方程：
（1）； （2）x2﹣6x＝4； （3）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （4）2x2﹣7x+3＝0．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
20．（8分）解下列方程．
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）
（2）下列例题的解答过程：
解方程：3（x﹣2）2+7（x﹣2）+4＝0．
解：设x﹣2＝y，则原方程化为：3y2+7y+4＝0．
∵a＝3，b＝7，c＝4，
∴b2﹣4ac＝72﹣4×3×4＝1．
∴．
∴．
当y＝﹣1时，x﹣2＝﹣1，∴x＝1；
当时，，∴．
∴原方程的解为：．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）2﹣5（x﹣3）﹣7＝0．
21．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率．
（2）若2021年保持前两年的年平均增长率不变，则预想该企业2021年的利润能否超过3.4亿？
22．（10分）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
23．（12分）2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．
（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．
（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？
24．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝；
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 　；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【思路点拨】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解析】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　）
A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2
【思路点拨】利用因式分解法求解即可．
【解析】解：∵（x﹣2）2＝x﹣2，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥8 B．a＜8且a≠0 C．a≤8 D．a≤8且a≠0
【思路点拨】先由非负数的性质求出m与n的值，再根据关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
【解析】解：∵+|n﹣2|＝0，
∴m﹣8＝0，n﹣2＝0，
∴m＝8，n＝2，
∵关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0，即ax2+8x+2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×a×2＝64﹣8a≥0，
解得：a≤8，
∵方程ax2+8x+2＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤8且a≠0．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有实数根，即可得△≥0．同时考查了非负数的性质与一元二次方程的定义．
4．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【思路点拨】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝1980．
【解析】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
【思路点拨】将x＝1代入原方程，可得出a+b＝3，再将其代入2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）中，即可求出结论．
【解析】解：将x＝1代入原方程得：a+b﹣3＝0，
∴a+b＝3，
∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣3＝2024．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
6．若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2
【思路点拨】由于把x＝2代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a+2b+c＝0，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：把x＝2代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a+2b+c＝0，
所以若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a＞0，b＞0，c＜0，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根
【思路点拨】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【解析】解：∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x1x2＝＜0．
∴两根异号，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．如图，有一块长28m，宽10m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是243m2．设小路宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243
C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243
【思路点拨】设道路的宽x m，根据利用平移的性质得出草坪的面积＝长为（28﹣x）m，宽为（10﹣x）m的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：设道路的宽x m，根据题意，得
（28﹣x）（10﹣x）＝243．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　）
A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500
C． D．
【思路点拨】当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50+]台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50+]台，
根据题意得：（x﹣80）[50+]＝2500．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现有下列结论：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．
则正确的结论个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】利用a+b+c＝0得到b＝﹣（a+c），则b2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，于是可对①进行判断；利用根与系数的关系和等式的性质可对②③进行判断；根据一元二次方程的解的定义可对④进行判断．
【解析】解：①一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则b＝﹣（a+c），
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
所以①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴x2＝﹣＞0，
∴a，c异号，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
所以②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
当c≠0时，ac+b+1＝0，
所以③不正确；
④∵x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴ax12+bx1+c＝0，
∴4a2x12+4abx1+4ac＝0，
∵（2ax1+b）2＝4a2x12+b2+4abx1，
∴4a2x12+4abx1+4ac+b2＝b2，
∴b2﹣4ac＝（2ax1+b）2，
所以④正确．
综上：说法正确的有①②④，3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是 　x1＝0，x2＝4　．
【思路点拨】观察已知方程，可发现将右边的x移到左边后，可提取公因式x，进而转化为两因式乘积形式，即可求解．
【解析】解：x（x﹣3）＝x，
移项，得x（x﹣3）﹣x＝0，
提取公因式x，得x（x﹣3﹣1）＝0，
整理，得x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题关键是熟记因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
12．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的最大整数值为 　0　．
【思路点拨】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到1﹣a≠0且Δ＝22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得1﹣a≠0且Δ＝22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0，
解得a＜且a≠1．
所以a的取值范围为a＜且a≠1，
故最大整数为0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 　x1＝1，x2＝5　．
【思路点拨】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中x的求解．
【解析】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是 x1＝3，x2＝7，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，
即此方程中x+2＝3或x+2＝7，
解得x＝1或x＝5，
故答案为：x1＝1，x2＝5．
【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键．
14．若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2024的值为 　2026　．
【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2024的值．
【解析】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
即m2+m＝1，
∴2m2+2m+2024＝2（m2+m）+2024＝2+2024＝2026．
故答案为：2026．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　4或1　．
【思路点拨】利用因式分解法，可求出x1，x2的值，分x1＝2，x2＝3及x1＝3，x2＝2两种情况考虑，即可求出x1※x2的值．
【解析】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2．
当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4；
当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1．
∴x1※x2＝4或1．
故答案为：4或1．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，通过解方程，求出x1，x2的值是解题的关键．
16．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，有下列说法：
①当k＝0时，方程无解；
②当k＝1时，方程有一个实数解；
③当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解；
④此方程总有实数解．
其中错误的是　①②　．
【思路点拨】当k≠0时，找出b2﹣4ac＝（1+k）2．①当k＝0时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将k＝1代入b2﹣4ac＝（1+k）2中，得出Δ＞0，由此得出②不正确；③将k＝﹣1代入b2﹣4ac＝（1+k）2中，得出Δ＝0，由此得出③正确；④结合①可知当k＝0时，方程有实数根，当k≠0时，由b2﹣4ac＝（1+k）2≥0可得出方程有实数根，从而得出④正确，结合上面所述即可得出结论．
【解析】解：当k≠0时，b2﹣4ac＝（1﹣k）2+4k＝（1+k）2．
①当k＝0时，原方程为x﹣1＝0，
解得：x＝1，①不正确；
②当k＝1时，b2﹣4ac＝（1+k）2＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，②不正确；
③当k＝﹣1时，b2﹣4ac＝（1+k）2＝0，
∴方程有两个相等的实数根，③正确；
④当k＝0时，同①方程有解；
当k≠0时，b2﹣4ac＝（1+k）2≥0，
方程有解．
∴④正确．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出b2﹣4ac＝（1+k）2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得出方程实数根的个数是关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣2x＝2；（用配方法）
（2）2x2+3＝3x；（用公式法）
（3）（x+2）2﹣3（x+2）＝0．（用适当的方法）
【思路点拨】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式判断方程没有实数解；
（3）利用因式分解法把方程转化为x+2＝0或x+2﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：（1）x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2x2+3＝3x，
2x2﹣3x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×3＝﹣15＜0，
∴方程没有实数解；
（3）（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
x+2＝0或x+2﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
18．解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣6x＝4；
（3）3x（2x+1）＝2（2x+1）；
（4）2x2﹣7x+3＝0．
【思路点拨】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）原方程化为（2x﹣5）2＝4，
两边开平方，得2x﹣5＝±2，
∴，；
（2）配方，得x2﹣6x+32＝4+32，
则（x﹣3）2＝13，
开平方，得，
∴；
（3）移项，得3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
则（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴；
（4）对于方程2x2﹣7x+3＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝3，
则Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×2×3＝25，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法并正确求解是解答的关键．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【思路点拨】（1）把x＝﹣1代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【解析】（1）解：把x＝﹣1代入方程可得1+（k+2）+k﹣1＝0，
解得k＝﹣1，
当k＝﹣1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
即方程的另一根为2；
（2）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8＞0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了根的判别式．
20．解下列方程．
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）
（2）下列例题的解答过程：
解方程：3（x﹣2）2+7（x﹣2）+4＝0．
解：设x﹣2＝y，则原方程化为：3y2+7y+4＝0．
∵a＝3，b＝7，c＝4，
∴b2﹣4ac＝72﹣4×3×4＝1．
∴．
∴．
当y＝﹣1时，x﹣2＝﹣1，∴x＝1；
当时，，∴．
∴原方程的解为：．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x﹣3）2﹣5（x﹣3）﹣7＝0．
【思路点拨】设x﹣3＝y，则原方程化为：2y2﹣5y﹣7＝0，再利用因式分解法解关于y的方程得y1＝，y2＝﹣1，然后计算对应的x的值得到原方程的解．
【解析】解：（1），
，
x﹣＝±，
，；
（2）设x﹣3＝y．则原方程化为：2y2﹣5y﹣7＝0．
∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣7，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣7）＝81．
∴．
∴，
当y＝﹣1时，x﹣3＝﹣1，
∴x＝2；当时，，
∴．
∴原方程的解为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了换元法解方程．
21．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率．
（2）若2021年保持前两年的年平均增长率不变，则预想该企业2021年的利润能否超过3.4亿？
【思路点拨】（1）设这两年该企业年利润的平均增长率为x，由题意：2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．列出一元二次方程，解方程取其正值即可；
（2）求出2021年该企业的年利润，再比较即可．
【解析】解：（1）设这两年该企业年利润的平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：这两年该企业年利润的平均增长率为20%；
（2）∵2021年该企业的年利润为2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4，
∴该企业2019年的利润能超过3.4亿元，
答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有[m，p] [q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5] [2，6]＝4×6+5×2＝34．
（1）求关于x的方程[x2，x﹣1] [3，2]＝0的根；
（2）若关于x的方程[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．
【思路点拨】（1）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
（2）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解析】解：（1）∵[x2，x﹣1] [3，2]＝0，
∴2x2+3（x﹣1）＝0，
∴2x2+3x﹣3＝0，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵[x2+1，x] [1﹣2k，k]＝0，
∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0，
整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k k≥0，k≠0，
解得：k≤且k≠0．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
23．2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．
（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．
（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？
【思路点拨】（1）设毛绒玩具10、11这两个月销售量的月平均增长率为x，利用该超市今年9月份销售毛绒玩具的数量＝该超市今年9月份销售“蓉宝”的数量×（1+10、11这两个月销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设毛绒玩具每个降价y元，则每个毛绒玩具的销售利润为（40﹣y﹣25）元，12月可售出（400+4y）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设毛绒玩具10、11这两个月销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：毛绒玩具10、11这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设毛绒玩具每个降价y元，则每个毛绒玩具的销售利润为（40﹣y﹣25）元，9月可售出（400+4y）个，
根据题意得：（40﹣y﹣25）（400+4y）＝4200，
整理得：y2+85y﹣450＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣90（不符合题意，舍去）．
答：当毛绒玩具每个降价5元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝；
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　　；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据题意可得，，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出答案；
（3）根据题意可知实数s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，进而可得，，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4ts可求出t﹣s的值，再将其代入，即可求得答案．
【解析】解：（1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则．
故答案为：；
（2）根据题意，一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，
∴，，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，
∴实数s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的值为或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，理解题意，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系为“，”是解题关键．
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