专题01 二次根式（一）（含解析）

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专题01 二次根式（一）
一、单选题
1．下列判断正确的是　　
A．带根号的式子一定是二次根式
B．一定是二次根式
C．一定是二次根式
D．二次根式的值必定是无理数
2．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥-1 C．x≠-1 D．x≥-1，且x≠2
3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
4．下列各式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
8．若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（ ）
A．a B． C． D．
10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较大小： －______－； _______；________．
12．化简：______．
13．计算：=__________．
14．若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
15．若，化简___________．
16．已知有理数满足，则的值是______.
17．若两不等实数a，b满足，，则的值为 _____．
18．如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)
(2)
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)______的解法是正确的；
(2)化简代数式，（其中）；
(3)若，直接写出的取值范围．
23．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若和都有意义，x的值是多少？
解：和都有意义，
且．
又，且，
．
问题：若，求的值．
24．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
25．阅读下列材料，并回答问题：
，即，
的整数部分为3，小数部分为．
(1)仿照上述方法，求的整数部分与小数部分；
(2)设的整数部分为，小数部分为，求的值．
26．先观察解题过程，再解决以下问题：
比较与的大小．
解：，，
，又，
（1）比较与的大小．
（2）试比较与的大小．
27．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
28．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
29．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
(1)请用含有（为正整数）的式子填空：_______，_______；
(2)求的值．
30．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
专题01 二次根式（一）
一、单选题
1．下列判断正确的是　　
A．带根号的式子一定是二次根式
B．一定是二次根式
C．一定是二次根式
D．二次根式的值必定是无理数
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解析】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；
B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；
C、一定是二次根式，故此选项正确；
D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．
2．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥-1 C．x≠-1 D．x≥-1，且x≠2
【答案】D
【分析】由题意得，x+1≥0且x-2≠0，
【解析】解得x≥-1且x≠2，
故选D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0．
3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：，①错误；，②错误，③正确；，④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．下列各式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【解析】解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
5．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．
【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，
B、，是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、，不是最简二次根式，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断．
【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．
7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【解析】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
【解析】解：根据题意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（ ）
A．a B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答．
【解析】解：∵，，
∴，，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【解析】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
二、填空题
11．比较大小： －______－； _______；________．
【答案】 > > <
【分析】分别根据两个负数的大小比较方法比较大小，根据二次根式的性质比较被开方数的的大小，第三个根据作差的方法比较大小即可
【解析】，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
12．化简：______．
【答案】##
【分析】根据二次根式的性质，即由此即可求解．
【解析】解：根据二次根式的性质得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．
13．计算：=__________．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并即可.
【解析】原式==.
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
14．若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）．
【答案】
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.
【解析】解：由题意可得：长方形宽，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.
15．若，化简___________．
【答案】
【分析】首先利用二次根式的性质得出，进而化简求出即可．
【解析】解：∵ ，有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
16．已知有理数满足，则的值是______.
【答案】
【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
17．若两不等实数a，b满足，，则的值为 _____．
【答案】4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．
【解析】∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴原式＝．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是，本题属于基础题型．
18．如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．
【答案】
【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决．
【解析】解：由题意可得：每三个数一循环，，
在数列中是第个，
，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是，
由题意可得：每三个数一循环，，
在数列中是第个，
，表示的数正好是第轮的第一个，
即表示的数是1，
故（与表示的两个数的积是：．
故答案为．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)5+2
(2)3
【分析】（1）先把各二次根式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再合并即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的加减运算与乘法运算的运算法则”是解本题的关键．
20．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）先化简各式，再进行除法运算，最后进行加减运算．
【解析】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（2）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（3）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算即可得到结果
（4）先将二次根式用平方差公式和完全平方公式展开，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键
22．求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)______的解法是正确的；
(2)化简代数式，（其中）；
(3)若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)小芳
(2)3
(3)
【分析】（1）由知，据此可得，从而作出判断；
（2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；
（3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应值，合并即可．
【解析】（1）解：，
，
则，
所以小芳的解法是正确的，
故答案为：小芳；
（2），
；
（3）
当时，，
解得：；
当时，；
当时，，
解得：，
综上，的取值范围是：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
23．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若和都有意义，x的值是多少？
解：和都有意义，
且．
又，且，
．
问题：若，求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数非负，建立不等式组求出x，y的值，带入计算即可.
【解析】解：由题意得：
，
，
解得，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、解不等式组；根据二次根式的性质确定x的值是解题的关键．
24．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)长方形的周长是；
(2)张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，据此计算即可求解．
【解析】（1）解：长方形的周长
．
答：长方形的周长是；
（2）解：蔬菜地的面积
．
（元）．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
25．阅读下列材料，并回答问题：
，即，
的整数部分为3，小数部分为．
(1)仿照上述方法，求的整数部分与小数部分；
(2)设的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】(1)的整数部分为6，小数部分为
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据无理数估算方法解答即可；
（2）先估算，得到，，再代入计算即可．
【解析】（1）解：，即，
的整数部分为6，小数部分为；
（2），即，
的整数部分为，小数部分为，
，
即的值是．
【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，正确掌握无理数的估算方法及二次根式混合运算法则是解题的关键．
26．先观察解题过程，再解决以下问题：
比较与的大小．
解：，，
，又，
（1）比较与的大小．
（2）试比较与的大小．
【答案】（1）＜；（2）＜
【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【解析】（1）∵，，
∴，，
又∵，
∴＜，即：＜；
（2）∵()()=1，()()=1，
∴，，
又∵＞，
∴＜，即：＜．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
27．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出，再由海伦公式计算即可；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式计算即可．
【解析】（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，
∴，
由海伦公式得：；
（2）∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式得：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
28．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【解析】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
29．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
(1)请用含有（为正整数）的式子填空：_______，_______；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；
（2）代入值化简整理后即可得到答案．
【解析】（1）解：由已知条件可知，，
故答案为：，；
（2）解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
30．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【解析】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
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