专题02 二次根式（二）（含解析）

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专题02 二次根式（二）
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若使式子成立，则x的取值范围是（　　）
A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5
5．下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知为实数，的值等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．16
7．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，化简
C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则
8．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．3 D．－3
9．已知那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有　　
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
二、填空题
11．计算__________ ___________
12．不等式的解集是 ___．
13．若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
14．当时，化简 _________________．
15．已知，则的值是_____________．
16．（1）已知，则的值为___．
（2）若x，y满足2x2+4xy+y2﹣3y+3＝0，则x﹣y＝___．
17．先观察下列分母有理化：
，；
；；
从计算结果中找出规律再利用这一规律计算：其结果为___________．
18．设，求不超过的最大整数______．
三、解答题
19．已知，其中，求．
20．化简：．
21．如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
(1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当，，，求剩余部分的面积．
22．已知，求的值．
23．若表示不超过x的最大整数（如等），求的值．
24．（1）用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
25．观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
26．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
27．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为，则此三角形的面积为：
同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
其中
（1）在中，若，，，用其中一个公式求的面积．
（2）请证明：
28．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
29．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．
30．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
31．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．
例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：
（1）求的值．
（2）设S＝++…+，求S的整数部分．
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．
专题02 二次根式（二）
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解析】解：一定是二次根式；
当m＜0时，不是二次根式；
对于任意的数x，x2+1＞0，则一定是二次根式；
是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，则不是二次根式；
是二次根式；
当a＜时，2a+1可能小于0，则不一定是二次根式．
综上所述，一定是二次根式的有，共3个，
故选：A．
【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案．
【解析】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为不能化简，所以C符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子．
3．若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质把各个选项进行化简，判断即可．
【解析】解：A、，故不成立，不合题意；
B、，故成立，符合题意；
C、，故不成立，不合题意；
D、，故不成立，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
4．若使式子成立，则x的取值范围是（　　）
A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解析】解：由题意可得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质．
5．下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．
【解析】解：A．，不符合题意；
B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
6．已知为实数，的值等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．16
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，求得x、y的值，然后代入所求求值即可．
【解析】∵x 2 0，即x 2，①
2-x 0，即x 2，②
由①②知，x=2；
∴y=4，
∴yx=42=16.
故选D.
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
7．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，化简
C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则
【答案】B
【分析】A选项考查二次根式比较大小，B，C选项考查二次根式的化简，D选项考查估算，具体做法见详解．
【解析】解：，，18<20，所以，故A错误；
当时，x-3<0，=-（x-3）+（3-x）=6-2x，故B正确；
由可得，a<0，所以，故C错误；
因为，所以x=3，y=，所以，故D 错误．
故答案为：B
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，运算等，牢固掌握相关知识是关键．
8．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】C
【分析】先根据二次根式的性质把化简为，然后结合去绝对值符号，最后合并即可．
【解析】解：
=
=，
∵，
∴，，
∴原式=
=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．已知那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用倒数法比较大小即可．
【解析】解：∵
∴，，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键．
10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有　　
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可．
【解析】解：
，
甲正确；
，
，
，
解得，
，乙错误；
，
，
，
丙正确；
已知，
，
，
，
则，
丁错误；
，
戊正确，
正确的有甲丙戊，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化．
二、填空题
11．计算__________ ___________
【答案】 2
【分析】根据二次根式的除法法则化简即可；逆用积的乘方公式化简即可．
【解析】3+；
[( 2)( +2)]2015 (+2)= ( +2)= 2，
故答案为； 2.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
12．不等式的解集是 ___．
【答案】##
【分析】先移项化为再把未知数的系数化“1”，可得答案.
【解析】解：
移项得：
即
而
即
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数.
13．若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
【答案】
【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b＞0时，=；
当b＜0时，=.
故答案为.
14．当时，化简 _________________．
【答案】
【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．
【解析】由二次根式的定义得：，
，
，
又除法运算的除数不能为0，
，
，
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15．已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
16．（1）已知，则的值为___．
（2）若x，y满足2x2+4xy+y2﹣3y+3＝0，则x﹣y＝___．
【答案】 -4
【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）将等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得到x，y，代入计算即可．
【解析】解：（1）∵
=
=
=12，
∴==；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴x+y=0，y-2=0，
∴x=-2，y=2，
∴x-y=-2-2=-4，
故答案为：，-4．
【点睛】本题考查了平方差公式，分母有理化，完全平方公式的应用，解题的关键是利用运算法则和乘法公式将式子合理变形．
17．先观察下列分母有理化：
，；
；；
从计算结果中找出规律再利用这一规律计算：其结果为___________．
【答案】2018
【分析】根据题意发现规律：（n为自然数），进而求解．
【解析】原式，
，
，
，
故答案为：2018．
【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，发现规律：（n为自然数）是解题的关键．
18．设，求不超过的最大整数______．
【答案】
【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．
【解析】解：
，
，
不超过的最大整数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
三、解答题
19．已知，其中，求．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【解析】，
，
，
，
或（舍去），
，
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
20．化简：．
【答案】2y2
【分析】根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可．
【解析】解：∵x＞0，，有意义，
∴y＞0，
∴原式
＝
＝2y2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义条件，二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除混合运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.
21．如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
(1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当，，，求剩余部分的面积．
【答案】(1)
(2)124
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．
【解析】（1）解：剩余部分的面积为：；
（2）解：当，，时，
．
答：剩余部分的面积为124.
【点睛】本题考查了列代数式，求代数式的值，二次根式的运算，把剩余部分的面积看成长方形的面积减去四周四个小正方形的面积是解题的关键．
22．已知，求的值．
【答案】
【分析】由题意，得到，则，然后把分式进行化简，再代入计算，即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
23．若表示不超过x的最大整数（如等），求的值．
【答案】2016
【分析】根据的运算法则分别计算每个算式，然后计算求解即可．
【解析】
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
24．（1）用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
【答案】（1）5，55，555，5555；（2）（n个3，n个4）=55…5（n个5）；（3）55555，计算机验证正确
【分析】（1）直接利用计算器计算得出答案；
（2）利用计算结果可得出数字变化规律；
（3）根据（2）中发现的规律猜想结果，再用计算机验证．
【解析】解：（1）5，
55，
555，
5555，
故答案为：5，55，555，5555；
（2）观察题（1）中各式的计算结果，可得出：
（n个3，n个4）=55…5（n个5）；
（3）由（2）可得：
55555，
计算机验证正确．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简以及计算器的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
25．观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．
【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；
（2）根据（1）即可得到等式．
【解析】解：（1）猜想：
验证：；
（2）（为正整数，）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．
26．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
【答案】（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）
【分析】（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.
（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.
（3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算.
【解析】解：（1）；
.
（2）猜想的结果为1.
证明：
（3）
【点睛】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键.
27．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为，则此三角形的面积为：
同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
其中
（1）在中，若，，，用其中一个公式求的面积．
（2）请证明：
【答案】（1）；（2） 证明见解析
【分析】（1）将，，代入中计算即可；
（2）对和分别平方，再进行整理化简得出，即可得出．
【解析】解：（1）将，，代入得：
（2）
=
=
=
∵，
∴
=
=
∴
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
28．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
【答案】（1） （2） （3）62
【分析】（1）分子分母分别乘 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
【解析】（1） ，
，
故答案为 ， ，
（2）原式=
（3），
∴
【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
29．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．
【答案】(1)（，）；（，）
(2)+
(3)（﹣，﹣）
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简；
（3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标．
（1）
∵
∴点（，）的“横负纵变点”为（，）
∵
∴点（，）的“横负纵变点”为（，）
故答案为：（，）；（，）．
（2）
∴化简得：．
（3）
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点（，）
∵
∴（，）
故的坐标为：（，）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
30．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）10，
【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【解析】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
31．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．
例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：
（1）求的值．
（2）设S＝++…+，求S的整数部分．
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）2019；（3）
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将原式进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围．
【解析】解：（1）＝＝|++|＝；
（2）S＝++…+，
＝++…+，
＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，
＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，
＝2019+，
故整数部分为2019；
（3）由题意得，
+|﹣﹣|，
＝|++|+|﹣﹣|，
＝||+||，
又y+z＝3yz，
原式＝||+||，
因为||+||取最小值，
所以﹣3≤≤3，而x＞0，
因此，，
答：x的取值范围为．
【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．
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