专题03 一元二次方程（一）（含解析）

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专题03 一元二次方程（一）
一、单选题
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若一元二次方程的一个根为1，则（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
3．用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
5．下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　）
A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴＝13，＝7
B．，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴，
C．，∴＝2，＝﹣2
D．两边同除以x，得x＝1
6．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
8．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
9．某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为240，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
11．若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
12．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0
二、填空题
13．的二次项系数是__、常数项是__．
14．关于x的方程是一元二次方程，则m＝________．
15．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
16．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝___．
17．已知实数，满足，则的值为________．
18．已知k是方程的一个根，那么______；______．
19．关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为______．
20．已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
三、解答题
21．解方程
（1）； （2）；
（3）（配方法）； （4）.
22．用适当的方法解一元二次方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
23．已知关于的方程.
（1）当为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
24．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
25．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
26．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．
（1）若，求m值；
（2）令，求T的取值范围．
27．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
28．某商场为迎接端午节，对销售粽子开展了一种促销活动．规则如下：如果顾客一次消费不超过一个定额M，那么就不优惠，原价付款；如果超过这个定额M，不超过部分不优惠，但超过部分会进行优惠，超过部分每元钱商品只需付元．已知小李消费了200元，实际只支付了176元；小张消费了75元，实际支付了75元．
(1)根据以上信息，请确定M的值；
(2)若小刘消费了580元，那么他实际支付可以少多少钱？
29．某水果店销售一批草莓，草莓的进价为10元/千克，市场调研发现：当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克．
(1)当草莓的售价定为12元/千克时，求该水果店每天草莓的销售量和销售利润．
(2)该水果店想在每天成本不超过200元的情况下，使得每天草莓的销售利润达到64元，售价应定为多少？
30．在一次聚会上，规定每两个人必须握一次手．
(1)若参加聚会的人数为5人，则共握手 次．
(2)若参加聚会的人共握手28次，参加聚会的有多少人？
(3)由握手问题联想到数学问题，若在线段AB上取点，…如图），那么在这个图形上的线段总数就是66条，则 ．
31．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
专题03 一元二次方程（一）
一、单选题
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解析】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋＋5＝0是分式方程；
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．若一元二次方程的一个根为1，则（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入方程中即可得到答案．
【解析】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴把代入方程得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
3．用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．
【解析】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【答案】D
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞﹣1且，
∴m的取值范围为m＞﹣1且．
∴当m＞﹣1且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关键．
5．下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　）
A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴＝13，＝7
B．，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴，
C．，∴＝2，＝﹣2
D．两边同除以x，得x＝1
【答案】B
【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、（x-3）（x-5）=10×2，整理得：，即 ，得：，故此项错误；
B、，变形得：，得：，，故此项正确；
C、，变形得：，即：，得：，
故此项错误；
D、变形：，则，得：，，故此项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设2月5日和6日较前一天的增长率均为x，根据题意列出方程即可求解．
【解析】解：2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是
，
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
7．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
【答案】D
【分析】要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法．
【解析】解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法；
②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可．
【解析】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：，
甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意；
乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键．
9．某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为240，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
【解析】解：设饲养室长为x（m），
由题意可得：，
即，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，正确表示出矩形的宽是解题关键．
10．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【答案】B
【分析】对等腰三角形的腰进行分类讨论，然后根据一元二次方程的判别式或一元二次方程的解求出m的值，再通过解一元二次方程求出等腰三角形的边，并验证即可．
【解析】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
∴．
∴m=4．
∴．
∴．
∴a=2，b=2．
此时2，2，3能够构成等腰三角形．
故m=4符合题意．
②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
把x=3代入得．
∴m=3．
∴．
∴，．
此时1，3，3能够构成等腰三角形．
∴m的值为4或3，共2个值．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确进行分类讨论思想是解题关键．
11．若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的求根公式以及根与系数的关系即可解答.
【解析】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0，
即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，
又a≠1，
∴a＝﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的综合运用，要注意根据题意舍弃一个根是解题关键.
12．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ ，
，
又∵，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x1=x2=1，
∴k=1，
当时，即，
即，
∴a（a-1）<0，
即或
解得0当时，即，
即，
∴a（a-1）>0，
即或
解得：a>1或a<0．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
二、填空题
13．的二次项系数是__、常数项是__．
【答案】 1 7
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【解析】解：的二次项系数是1，常数项是7，
故答案为：1，7．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．关于x的方程是一元二次方程，则m＝________．
【答案】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解析】解：依题意可得，
解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
15．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
【答案】
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
【解析】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
16．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝___．
【答案】﹣2
【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．
【解析】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；
可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，
小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，
解得p＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于．”是解题的关键．
17．已知实数，满足，则的值为________．
【答案】2.
【分析】把看作是一个整体，假设,则原式可转化为，解方程可得(即)的值，注意为非负数.
【解析】解：设，
则：
解得，
因为，
所以的值为2.
【点睛】本题考查了换元法，把某个式子看成一个整体，然后用一个字母代替，进行等量代换．
18．已知k是方程的一个根，那么______；______．
【答案】 2018 2017
【分析】利用k是方程x2-2018x+1=0的一个根得到k2-2018k+1=0，两边除以k可得k+=2018；再把k2=2018k-1代入中得到原式=k-1+，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解析】解：∵k是方程x2-2018x+1=0的一个根，
∴k2-2018k+1=0，
∴k-2018+=0，
∴k+=2018；
∴k2=2018k-1，
∴
=2018k-1-2017k+
=k-1+
=2018-1
=2017．
故答案为：2018；2017．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为______．
【答案】5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入已知等式中，得到关于的一元二次方程，结合原方程的判别式取舍即可求解．
【解析】解：一元二次方程的两个实数根分别是、，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
当时，，则原方程无实数解，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程，下列命题中是正确的有__________（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两实数数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
【答案】④
【分析】①根据，可以得到，然后代入，看最后的结果，再和小题中的结论对比，即可解答本题；
②根据根与系数的关系，可以得到a和c的关系，从而可以判断的值是否等于0；
③根据和根的判别式，可以判断方程的根的情况；
④根据方程有两个不相等的实数根，可以得到根的判别式大于0，然后即可判断方程的根的判别式的正负，从而可以解答本题．
【解析】解：①∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵方程两根为和3，
∴，，
∴，，
∴，故②错误；
③∵，
∴，
∵题目中a、c的值不确定，故的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；
④∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵方程，
∴，故方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否成立．
三、解答题
21．解方程
（1）； （2）；
（3）（配方法）； （4）.
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4）①当时， ；②当时，若， ；若，方程无解
【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）利用因式分解法即可求得方程的解；
（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；
（4）分m=0和两种情况考虑，当时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．
【解析】（1）
解：
或
，；
（2）
解：
或
，；
（3）
解：
，；
（4）
解：①当时，，解得：；
②当时，，若，即，；
若，即，方程无解．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．
22．用适当的方法解一元二次方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），
【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（3）运用公式法求解；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解析】原方程可化为，
∴，
用直接开平方法，得方程的根为，．
（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．
用直接开平方法，得原方程的根为，．
（3）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
，
∴，．
（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0
用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
23．已知关于的方程.
（1）当为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
【答案】(1)m=3;(2) ;(3) 且
【分析】（1）令二次项为0，即时求解即可；
（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；
（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.
【解析】（1）∵方程只有一个实数根，，解得
（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
且，且，解得且.
【点睛】本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．
24．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】（1）⑤；（2）开方有两个答案而只写了一个；（3）正确解答过程见解析．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可；
（2）根据一元二次方程的解法分析错误原因即可；
（3）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可．
【解析】解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第⑤步开始出现了错误．
故答案为：⑤．
（2）根据一元二次方程的解法分析⑤的错误原因是：开方有两个答案而只写了一个．
故答案为：开方有两个答案而只写了一个．
（3）正确解答过程如下：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
25．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．
【解析】（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
【点睛】本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．
26．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．
（1）若，求m值；
（2）令，求T的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】首先根据方程有两个不相等的实数根及是不小于的实数，确定的取值范围，根据根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形为，代入用含表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据的取值范围得到的值；
（2）化简，用含的式子表示出，根据的取值范围，得到的取值范围．
【解析】解：方程由两个不相等的实数根，
所以△
，
所以，又是不小于的实数，
．
，；
（1），
，
即．
整理，得．
解得；
，
所以．
（2）
．
当时，方程为，
解得或．
此时没有意义．
当时，，
所以．
即且．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的差的式子．
27．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【答案】(1)
(2)长为9m，宽为5m
【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：设花圃的宽AB长为x米，则长米，
故答案为:；
（2）解：由题意可得：，
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意．
答：花圃的长为9m，宽为5m．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键．
28．某商场为迎接端午节，对销售粽子开展了一种促销活动．规则如下：如果顾客一次消费不超过一个定额M，那么就不优惠，原价付款；如果超过这个定额M，不超过部分不优惠，但超过部分会进行优惠，超过部分每元钱商品只需付元．已知小李消费了200元，实际只支付了176元；小张消费了75元，实际支付了75元．
(1)根据以上信息，请确定M的值；
(2)若小刘消费了580元，那么他实际支付可以少多少钱？
【答案】(1)M的值为80；
(2)少100元钱．
【分析】（1）根据小李消费了200元，实际只支付了176元，列出方程计算即可求解；
（2）根据不超过部分不优惠，但超过部分会进行优惠，超过部分每元钱商品只需付元，列出算式计算即可求解．
【解析】（1）依题意有：M+（200-M）× =176，
解得M1=80，M2=220（不合题意舍去）．
故M的值为80；
（2）80+（580-80）×
=80+500×
=80+400
=480（元），
580-480=100（元）．
故他实际支付可以少100元钱．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
29．某水果店销售一批草莓，草莓的进价为10元/千克，市场调研发现：当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克．
(1)当草莓的售价定为12元/千克时，求该水果店每天草莓的销售量和销售利润．
(2)该水果店想在每天成本不超过200元的情况下，使得每天草莓的销售利润达到64元，售价应定为多少？
【答案】(1)该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元
(2)售价应定为14元/千克
【分析】（1）利用已知得出每天草莓的销售量，进而求出销售利润即可得出答案；
（2）设售价应定为x元/千克，根据销售利润=一千克的利润×销售量，一千克的利润=售价-进价，即可列方程求解．
【解析】（1）∵当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克．
∴当草莓的售价定为12元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为： （千克），
∴销售利润为：（元）；
答：该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元；
（2）售价应定为x元，依题意得：
，
解得：，
由（1）知，当草莓的售价定为12元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元，
∴每天成本为（元）＞200元，
∴不合题意，舍去，
当草莓的售价定为14元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为（千克），
∴每天成本为（元）＜200元，
∴符合题意，
答：售价应定为14元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．在一次聚会上，规定每两个人必须握一次手．
(1)若参加聚会的人数为5人，则共握手 次．
(2)若参加聚会的人共握手28次，参加聚会的有多少人？
(3)由握手问题联想到数学问题，若在线段AB上取点，…如图），那么在这个图形上的线段总数就是66条，则 ．
【答案】(1)10
(2)8人
(3)10
【分析】（1）由参加聚会的人数为5人，每人需给另外4人握手，即得握手总数为次；
（2）设参加聚会的有x人，每人需给另外（x﹣1）人握手，总握手次数为次，故，即可解得答案；
（3）在点P1，P2…Pm中，每一个点都和另外（m﹣1）个点组成线段，可得，即可得到答案．
（1）
解：∵参加聚会的人数为5人，
∴每人需给另外4人握手，
∴握手总数为（次），
故答案为：10；
（2）
解：设参加聚会的有x人，
则：，
解得，，（不合题意，舍去）．
参加聚会的有8人
（3）
解：在线段AB上取点P1，P2…Pm，共有（m+2）个点，每一个点都和另外（m+1）个点组成线段，
∴线段共有条，
∴，
解得m＝10或m＝﹣13（不符合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握x人握手，握手总次数是 ．
31．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【解析】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
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