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第2章 一元二次方程 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为
A．；1 B．； C．3； D．2；
3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是
A． B． C．1 D．2
4．方程的根是
A．， B．， C． D．，
5．如图是小明在解方程时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
6．在正数范围内定义运算“※”，其规则为※，则方程※的解是
A． B． C．， D．，
7．一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．已知为实数，且满足，则的值是
A．6 B．30 C．36 D．12
9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式的值的范围．
解：
．
无论取何实数，总有，．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：已知可取任何实数，则二次三项式的最值情况是
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1
10．下列说法关于的一元二次方程，其中正确的有
（1）当，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两实数根是，，那么；
（3）如果方程的两实数根是，，那么；
（4）如果方程的两实数根是，，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是： ．
12．关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解为 ．
13．已知方程是关于的一元二次方程，则 ．
14．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程，它的解是 ．
15．若一元二次方程满足；则有一个根为 ．若，则有一个根为 ．
16．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿边向终点移动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 秒，的面积为．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一个根．
19．已知关于的方程，试问：
（1）为何值时，该方程是关于的一元一次方程？
（2）为何值时，该方程是关于的一元二次方程？
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知该方程的两个根为，，且满足，求的值．
21．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求和的值．
解：，
，
，
，，
，．
（1）若，求的值；
（2）已知，，是等腰的三条边长，且，满足，求的周长．
22．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米．
（1）若矩形花园的面积为300平方米，求的值；
（2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
23．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断一元二次方程 （填“是”或“不是” “倍根方程”；
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求和的关系．
24．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
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第2章 一元二次方程 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
．方程中含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选．
2．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为
A．；1 B．； C．3； D．2；
【答案】
【解析】由已知方程，得
，
则该方程的一次项系数是3，常数项是．
故选．
3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】把代入方程得：，
解得：．
故选．
4．方程的根是
A．， B．， C． D．，
【答案】
【解析】，
，
，，
故选．
5．如图是小明在解方程时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
【答案】
【解析】，
，
，
则，即，
，
，．
他在解答过程中开始出错的步骤是第③步，
故选．
6．在正数范围内定义运算“※”，其规则为※，则方程※的解是
A． B． C．， D．，
【答案】
【解析】※，
即，
，
，
，，
，，
在正数范围内定义运算“※”，
．
故选．
7．一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】
【解析】原方程化为，
△，
原方程没有实数根，
故选．
8．已知为实数，且满足，则的值是
A．6 B．30 C．36 D．12
【答案】
【解析】令，
由，
得，，
或，
又，
，
即．
，
故选．
9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式的值的范围．
解：
．
无论取何实数，总有，．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：已知可取任何实数，则二次三项式的最值情况是
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1
【答案】
【解析】
，
无论取何实数，总有，
，
，
即无论取何实数，二次三项式有最大值1，
故选．
10．下列说法关于的一元二次方程，其中正确的有
（1）当，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两实数根是，，那么；
（3）如果方程的两实数根是，，那么；
（4）如果方程的两实数根是，，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】（1）△，
；
正确；
（2）一元二次方程的两根之和等于，即，
不正确；
（3）；
正确；
（4）
，
正确，
综上分析可知，共3个说法正确．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】一元二次方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解为 5 ．
【答案】5．
【解析】方程化为一般式为，
设方程的另一个解为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个解为5．
故答案为：5．
13．已知方程是关于的一元二次方程，则 2 ．
【答案】2．
【解析】方程是关于的一元二次方程，
，
解得，
故解得，
故答案为：2．
14．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程，它的解是 0或或2 ．
【答案】0或或2
【解析】，
，
，
或或，
，，．
故答案为：0或或2．
15．若一元二次方程满足；则有一个根为 1 ．若，则有一个根为 ．
【答案】1，．
【解析】，
，
原方程可化为，
，
，
，，
满足时，有一个根为1．
，
，
原方程可化为，
，
，
，，
满足时，有一个根为．
故答案为：1，．
16．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿边向终点移动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 1 秒，的面积为．
【答案】1．
【解析】设经过秒的面积为，
则 ， ，，
，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即经过1秒，的面积为．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
，；
（2），
，
则，即，
，
，．
18．已知是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一个根．
【解析】是关于的方程的一个根，
，
，
原方程变形为，
，
，，
方程的另一个根为3．
19．已知关于的方程，试问：
（1）为何值时，该方程是关于的一元一次方程？
（2）为何值时，该方程是关于的一元二次方程？
【解析】（1）要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况：
①，解得：，该方程是一元一次方程；
②，解得：，该方程是一元一次方程；
③，解得：，该方程是一元一次方程；
所以当或时，该方程是关于的一元一次方程；
（2）要使关于的方程是一元二次方程，必须且，
解得：，都满足，
所以时，该方程是关于的一元二次方程．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知该方程的两个根为，，且满足，求的值．
【解答】（1）证明：△，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程 两个根为，，
，，
，
，
解得：．
21．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求和的值．
解：，
，
，
，，
，．
（1）若，求的值；
（2）已知，，是等腰的三条边长，且，满足，求的周长．
【解析】（1）由题意，，
，即．
，且．
，．
．
（2）由题意，，
．
．
，．
，．
又，，是等腰的三条边长，
，．（若，，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．
的周长为：．
22．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米．
（1）若矩形花园的面积为300平方米，求的值；
（2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【解析】（1）米，
米，
由题意得：，
即，
解得：，，
即的值为10或30．
（2）不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由如下：
由题意得：，
即，
△，
该方程无实数根，
不能围成面积为500平方米的矩形花园．
23．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断一元二次方程 是 （填“是”或“不是” “倍根方程”；
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求和的关系．
【解析】（1）方程，
分解因式得：，
解得：，，
，
一元二次方程是“倍根方程”；
故答案为：是；
（2）关于的一元二次方程是“倍根方程”，
设方程的两根分别为，，
由根与系数的关系得：，，
解得：，，
则．
24．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
【解析】（1）一元二次方程的两个实数根为，，
则．
故答案为：；
（2）根据题意，一元二次方程的两个实数根为，，
，，
；
（3）实数，满足，且，
实数，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，
的值为或．
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