浙教版九年级数学上册第1章二次函数单元复习题（含解析）

浙教版九年级数学上册第1章二次函数单元复习题
一、选择题
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
5．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
6．抛物线图像经过点，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
7．二次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是－4
C．当－4≤x≤3时，y≥0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
9．在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．二次函数中两个变量的x与y的3组对应值：点在该函数图象上．若当时，，给出下列3个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
x …… 3 7 ……
y …… m m ……
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
11．如果函数 是二次函数，那么m＝　 　．
12．将二次函数转化为的形式为　 　．
13．在二次函数y=ax22ax+b中，当0≤x≤3时，2≤y≤6，则ab=　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
三、解答题
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．
16． 已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1） 求此抛物线的顶点P的坐标．
（2） 将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
17．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 3 4 …
… 0 4 0 …
（1）直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围．
18．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
19．如图，抛物线的图像经过点，，直线经过点A，交抛物线于点D.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点E在线段上，连接且满足，点G是抛物线顶点，连接、，请你把图形补充完整，判断四边形的形状，并说明理由.
20．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
22．某农场要建一个饲养场（矩形 ）两面靠现有墙（ 位置的墙最大可用长度为21米， 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 ）的一边 长为x米.
（1）饲养场另一边 　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若饲养场 的面积为180平方米，求x的值；
（3）饲养场 的面积能围成面积比 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A：，当a=0时，该函数不是二次函数，A不符合题意；
B：，该函数是二次函数，B符合题意；
C：，该函数的一次函数，C不符合题意；
D：，该函数是一次函数，D不符合题意；故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将 化为顶点式，得 .
将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为 .
故答案为：B.
【分析】首先将原方程配成顶点式，得出其顶点坐标为（1，2），然后根据点的坐标的平移规律得出平移后新函数的顶点坐标为（3，5），从而利用抛物线的顶点式即可求出新函数的解析式.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、一次函数的系数a<0，二次函数开口向上a>0，不符合题意；
B、一次函数中a>0，b>0；二次函数开口向上a>0，对称轴>0即->0，解得b<0，不符合题意；
C、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向上a>0，对称轴<0即-<0，解得b>0，符合题意；
D、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向下a<0，对称轴>0即->0，解得b>0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象判断系数和常数项与0的大小关系；根据二次函数图象的性质和对称轴的位置判断系数与0的大小关系.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣5）2+7
∴当x=5时，y有最小值7．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质求解．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故答案为：A.
【分析】求出当y=0时，y＝x2﹣5x+6的x的值，根据x的值进行判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：把（-2，1）代入解析式中
得：
解得：b=-2
故答案为：A
【分析】把（-2，1）代入抛物线表达式中求解即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
8．【答案】C
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意
小康的成绩是函数值为0时的x值
即
解得x1=12 x2=-2（不符合题意舍去）
故答案为：B
【分析】二次函数图象是抛物线，可作为实心球飞行轨迹的数学模型，根据建立的坐标系分析出实心球的落地点横坐标就是函数值为0时的自变量x的值。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由表格数据可知，x=-3与x=7关于对称轴对称，该二次函数对称轴为直线，
若时，
∵，当，则，与条件矛盾，∴，故①正确；
，， 当时，由对称性得，由二次函数的性质开口向下，离对称轴越近函数值越小，
∴，故②正确；
将代入得，
此时，
∴，故③正确；
综上①②③正确．
故选D．
【分析】由表格数据可得二次函数对称轴为：，若，由，得时，可判断①正确，由二次函数的对称性得当，时，，结合二次函数的性质可判断②正确；将代入得，得，可判断③正确．
11．【答案】2
【解析】【解答】函数 是二次函数，
且
解得
m=2，
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义得到且求解m的值即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】解：y=2x2-12x+3=2(x2-6x+9-9)+3
=2(x-3)2-18+3
=2(x-3)2-15.
故答案为：y=2(x-3)2-15.
【分析】根据二次函数的配方步骤即可求解.
13．【答案】0或-8
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a，顶点为（1，b-a），
当a＞0时，顶点为最低点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最大=a(3-1)2+b-a=3a+b=6；x=1时，y最小=b-a=-2
∴a=2，b=0
∴ab=0；
当a＜0时，顶点为最高点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最小=a(3-1)2+b-a=3a+b=-2；x=1时，y最大=b-a=6
∴a=-2，b=4
∴ab=-8
故答案为：0或-8.
【分析】根据二次函数图象的特点来分析x取值范围内函数值的大小变化，会使解题思路更加清晰；本题由于没有已知a的符号，所以要分a＞0，a＜0两种情况来讨论，在取值范围内，开口方向不同，对应的最大最小值也不同；当a＞0时， y最大=3a+b，y最小=b-a；当a＜0时，y最小=3a+b，y最大=b-a；由-2≤y≤6，可分别求出不同的a，b的值 .
14．【答案】13
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
15．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过( 3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，
∴ ，
解得， ，
所以，抛物线的解析式为：y= x x+4；
【解析】【分析】将点 (－3，0)，(1，0)两点代入y＝ax2＋bx＋c，可得，再求出a、b、c的值即可.
16．【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得a的值，进而求得抛物线的表达式，从而求解；
（2）根据二次函数图象的平移变换得到平移后的表达式和顶点坐标为 ，结合顶点落在直线上，将点代入直线求得m的值，从而求解.
17．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
即有：，
∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：，
∴，
根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
即二次函数的解析式为：；
（2）解：将二次函数化为顶点式为：，
即：当时，函数值随x的增大而增大；
当时，函数值随x的增大而减小；
当时，函数值最大，为：
当时，函数值：
当时，函数值：
∴当时，函数值的取值范围为：．
18．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）解：根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【解析】【分析】(1)根据图形，一次函数图象经过点（12，28），（15，25），设y与x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得y与x的函数解析式.
(2)销售利润=每件利润×销量，销售利润=售价-成本价，所以W＝（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣（x﹣25）2+225，由a＝﹣1＜0可知，函数图象开口向下，故当x＜25时，W随x的增大而增大，当x＝20时，W取得最大值，最大值为200.
19．【答案】（1）解：∵抛物线的图像经过点，，
∴
解得：
∴抛物线为：
（2）解：四边形为菱形.理由如下：
如图，补全图形如下，连接 过作轴于 过D作轴于N，
∵直线经过点
∴ 直线为
∴
解得：
当时，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴ 解得：
∴
∵
∴
∵
∴
同理可得：
∴
∴四边形为菱形.
【解析】【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+6中可求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接EB， 过E作EQ⊥x轴于Q， 过D作DN⊥x轴于N，求出直线AD的解析式，联立抛物线解析式可得x、y，表示出点D的坐标，根据S△ABD=3S△ABE结合三角形的面积公式可得DN=6，则EQ=2，进而可求出点E的坐标，根据抛物线的解析式可得点G的坐标，利用两点间距离公式可得AE，同理可得BE=AG=BG=AE，据此解答.
20．【答案】（1）解：当时，
，
，
（2）解：，
又，
，
；
（3）证明：二次函数的对称轴为直线，
二次函数经过两点，
，即，
，
【解析】【分析】（1）当b=1时，y1=6+c，y2=c，据此进行比较；
（2）分别将x=-2、x=1代入可得y1=4+2b+c，y2=1-b+c，根据y1（3）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，由图象过（-2，y1）、（m，y1）两点可得|2|+=m-，则m=2+b，结合b的范围可得m的范围.
21．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，结合AE＝AH＝CG＝CF得BE＝DG，BF＝DH，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，然后根据S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB就可得到S与x的关系式；
（2）根据S与x的关系式结合二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）（48-3x）
（2）解：由题意得：x（48-3x）=180
解得：x1=6，x2=10，
∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15，
∴9≤x≤15，
∴x=10.
（3）能，理由如下，
设饲养场ABCD的面积为S，则有：
S=x（48-3x）
=-3x2+48x
=-3（x-8）2+192，
∵由（2）可知9≤x≤15，
∴由二次函数的性质可知，当x=9时，S有最大值189m2，
∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.
【解析】【解答】解：（1）BC的长为：45+1+1+1-3x=（48-3x）米
故答案为：（48-3x）；
【分析】（1）用45米加上三个1米，再减去3x即可；
（2）根据矩形面积等于长乘以宽，列出关于x的一元二次方程并求解，然后根据问题的实际意义作出取舍；
（3）设饲养场ABCD的面积为S，根据题意得出关于x的二次函数并根据二次函数的性质得出答案.
23．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），把点 A（-1，0）、B（0，3）和点（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）求出点M和点N的坐标，得出MN和AN的值，从而得出AN+MN=-（m-）2+，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）把m的值代入抛物线的解析式求出y的值，得出点M的坐标；根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，设点Q的坐标为（n，-n2+4），分三种情况讨论：①当AM为对角线时，②当AP为对角线时，③当AQ为对角线时，根据对角线互相平分分别列出关于n的等式，求出n的值，即可得出答案．
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