浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元复习题（含解析）

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元复习题
一、选择题
1．已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（　　）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
2． 图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（　　）
A．144 B．120 C．72 D．60
3． 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在中，若，则的度数是（　　）
A．15° B．25° C．50° D．75°
5．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠B＝30°，则∠OAC的度数为（　　）
A．15° B．30° C．50° D．60°
6．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
7．如图，已知的半径为是直径，是弦，是的中点，连接分别与交于点，若点是的中点，则的长是（　　）
A．7 B．6 C．4 D．3
8．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，.若.则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．一个扇形的半径是，扇形的圆心角，那么这个扇形面积是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（　　）
A．36° B．45° C．48° D．60°
二、填空题
11． 如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB1C1，∠C＝90°，若∠BAC1＝20°，则∠B＝　 　度．
12．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为　 　．
13．如图，四边形为⊙O的内接四边形，已知，则度数为　 　．
14．如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9.其中正确的是　 　.（填序号）
三、解答题
15．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系．
16． 往半径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，求水的最大深度．
17．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．
求证：．
18．如图，内接于，，，BD为直径，，求弦DC的长.
19．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．
20．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
21．如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
22．如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
23．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F.
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数.
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】点到圆心的距离为3，小于圆的半径5，所以点在圆内，故答案为A。
【分析】考查点与圆的位置关系：比较点到圆心的距离与半径的大小，当点到圆心的距离大于半径，点在圆外；当点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
旋转的度数至少为，
故答案为：C
【分析】根据旋转的性质结合五角星的度数即可求解。
3．【答案】B
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标为，
∴，因而点P在上．
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出OP，进而根据点与圆的位置关系即可求解。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
∵是的中点，连接，
∴垂直平分，
∵点O和F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据垂径定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质求解。连接，由垂径定理证明垂直平分，由点O和F分别是、的中点得到，，再证明，得到，则，由即可得到的长．
8．【答案】D
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是的内接四边形，∠A=50°，
∴∠C=180°-∠A=180°-50°=130°，
∵，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
在△CDB中，∠CBD=，
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=40°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=40°+25°=65°，
故答案为：D.
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再利用弧与弦的关系和三角形的内角和求出∠CBD=，再利用圆周角和三角形内角和的性质求出∠ABD=180°-∠ADB-∠A=40°，最后利用角的运算求出∠ABC的度数即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解： 这个扇形面积为=3π.
故答案为：B.
【分析】扇形面积公式为据此计算即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】 解：连接AO
∵△AMN是等边三角形
∴∠ANM=60°
∴∠AOM=2∠ANM=120°
∵ABCDE是正五边形
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接AO，根据等边三角形性质及三角形内角和定理可得∠ANM=60°，根据圆周角定理可得∠AOM=2∠ANM=120°，根据正多边形内角和定理可得∠AOB=72°，则∠BOM=∠AOM-∠AOB即可求出答案.
11．【答案】60
【解析】【解答】因为Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB1C1，∠BAC1=20°，所以∠CAC1=50°，∠CAB=50°－20°=30°，所以∠B=180°-90°-30°=60°.
故答案为：60.
【分析】根据题意可以求出∠CAB，再根据三角形内角为180°求出∠B的度数。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=×90°=45°，
∵∠A=20°，
∴∠BPD=∠A+∠ADC=20°+45°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由垂直定义得∠AOC=90°，根据圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
13．【答案】110°
14．【答案】①③
【解析】【解答】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴当 最小时， 周长的最小.
∵ ，
∴当 最小时， 最小，此时 .
如图，过点O作 于点M，作 于点N，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，故②错误；
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，故③正确.
综上可知①③正确.
故答案为：①③.
【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质可得∠BOC=90°，OB=OC，∠OBG=∠OCH=45°，由同角的余角相等可得∠BOG=∠COH，利用ASA证明△BOG≌△COH，据此判断①；根据全等三角形的性质可得BG=CH，则BH+BG=BH+CH=BC=6，△GBH的周长为6+HG，由勾股定理可得HG=，故当OH、OG最小时，HG最小，此时OH⊥BC，OG⊥AB，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，则OM=PN=3，利用勾股定理可得HG，据此判断②；根据全等三角形的性质可得S△BOG=S△COH，推出S△BOC=S正方形ABCD，据此判断③.
15．【答案】解：连接AC，如图：
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴cm，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外.
【解析】【分析】先根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC的长，根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r；进行分析即可求解.
16．【答案】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48，
∴BD＝AB＝×48＝24，
∵⊙O的直径为52，
∴OB＝OC＝26，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm）．
【解析】【分析】 连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 由垂径定理可得BD＝AB＝24， 在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝10， 利用CD＝OC﹣OD即可求解.
17．【答案】证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C，
∵AC∥OD，
∴∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A，
∴∠COD＝∠BOD，
∴．
【解析】【分析】 连接OC， 可得出 ∠A＝∠C， 然后根据平行线的性质分别得出 ∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A， 即可得到 ∠COD＝∠BOD， 进而得出 ．
18．【答案】解：为的直径，
，
，
.
，
又，.
.
.
在中，，
，
在中，.
【解析】【分析】利用直径所对的圆周角是直角得出∠BAD=∠BCD=90°，结合∠BAC=120°求出∠CAD=30°，由同弧所对的圆周角相等，求出∠CBD=∠CAD=30°；利用圆内接四边形对角互补，求出∠BDC=60°；利用AB=AC求出∠ADB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
19．【答案】（1）解：如图，点O即为圆心；
（2）解：连接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=10cm，
∵BC=cm，
∴BD=cm，
∴AD==5cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-5）cm，
∴，
解得：R=10，
∴△OAB和△OAC为等边三角形，
∴∠BOC为120°，
∴弧BC的长为：=cm．
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，分别作弦AB、AC的垂直平分线，其交点即为所求；
（2） 连接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D，利用等腰三角形的性质以及勾股定理判断△OAB和△OAC为等边三角形， 求得 ∠BOC为120°， 利用弧长公式代入数据计算即可求解；
20．【答案】（1）解：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）解：设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）设正方形的边长为x，则，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
21．【答案】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据 是等腰三角形，可得，即可得到；
（2）先求出，OB=5，利用勾股定理求出BD的长，再求出即可。
22．【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
23．【答案】（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵ ，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵ ，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3）解： ，理由如下：
延长 交于点J，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，
， ，
，
连接 ，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
即 .
【解析】【分析】（1）连接PE，由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，由圆周角定理可得∠PEB＝∠ACB＝60°，∠PBD＝∠PBE，利用AAS证明△ABP≌△EBP，得到AB＝EB，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠DEP＝∠EBP，由外角的性质可得∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，则∠BFD＝∠DEP＋∠DEB=∠PEB，据此解答；
（3）延长CE、BP交于点J，由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠CED=180°，结合邻补角的性质可得∠JEF=∠ABC=60°，推出△JEF是等边三角形，EF=JE，根据对顶角的性质结合内角和定理可得∠JCP=∠PBA，连接PD，由圆内接四边形的性质可得∠PCB+∠PDB=180°，结合邻补角的性质可得∠ADP=∠PCB=60°，推出△ADP是等边三角形，的搭配AD=AP，结合线段的和差关系可得PC=DB，利用AAS证明△JPC≌△FDB，得到BF=JC，据此证明.
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