浙教版九年级数学上册第4章相似三角形单元复习题（含解析）

浙教版九年级数学上册第4章相似三角形单元复习题
一、选择题
1．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（　　）
A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6
6．如图，在正方形网格中：的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列格点三角形中，与图中格点相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（　　）
A． B． C．2：1 D．1：1
10．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（　　）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
二、填空题
11．已知 ，则的值为　 　
12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是　 　．
13． 五边形五边形，相似比为，若，则　 　.
14．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为　 　．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝6cm，求EF和FC的长．
16．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5，AC=9，DE=6，∠A=70°，∠B=40°．求：
（1）∠AED的度数．
（2）BC的长．
17．如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，.
求证：.
18．如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
19．如图，四边形ABCD的四边形EFGH ．若AB=18，EF=4，FG=6，∠B=77°，∠C=83°，∠E=117°，求线段BC的长和∠H的大小．
20．已知：a，b，c三个数满足关系式．
（1）填空：　 　：4：　 　．
（2）若，试求出的值．
（3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D为，连接.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）依题补图1：连接，过点P作轴于点Q；当和相似时，求m的值；
（3）如图2，过点P作直线，和轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标.
22．如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
23．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）求 的值．
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝ ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵
∴ ∠C=∠F=70°，∠A=∠D=45°
∴ ∠E=180°-∠F-∠D=65°
故答案为C
【分析】本题考查相似三角形的性质，对应角相等，掌握其性质是关键。由得∠C=∠F=70°，∠A=∠D=45°，则 ∠E可知。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD，即∠AOB=∠COD.
A、∠A=∠D，对应的两角相等，可以证明，A符合题意；
B、∠B=∠BOC，不是对应角，不可以证明，B不符合题意；
C、不是对应边成比例，不可以证明，C不符合题意；
D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理解题即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
6．【答案】D
7．【答案】A
【解析】【解答】设网格边长为1，
A：三角形的三边长分别为2，4，即
与图中格点相似 ， 符合题意；
B：三角形的三边长分别为2，，即
与图中格点不相似 ， 不符合题意；
C：三角形的三边长分别为，，3,即
与图中格点不相似 ， 不符合题意；
D:三角形的三边长分别为，，,即与图中格点不相似 ， 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设网格边长为1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中的三角形的三边长，利用三边是否对应成比例即可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，先证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例列方程，分别用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△OCE∽△DAE，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=2b，
∴ .
故答案为：.
【分析】首先根据比例的基本性质得出a=2b，然后把a=2b代入到中，即可得出答案。
12．【答案】4：9
【解析】【解答】
故答案为：4∶9.
【分析】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
13．【答案】6
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
14．【答案】4
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用等边三角形的性质和三角形内角和定理证明，得到，从而建立关于的一元二次方程，再利用，求出的值即可．
15．【答案】解：∵AE∥DF，
∴，即，
∴EF＝4，
∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，
∵DE∥AC，
∴，即 ，
∴CE＝，
∴CF＝CE+EF＝．
【解析】【分析】先根据平行线分线段成比例即可得到EF，进而即可得到BE，再根据平行线分线段成比例即可得到CE，进而即可求解。
16．【答案】（1）解：∵ ∠A=70°，∠B=40° ，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
∵△ABC∽△ADE ，
∴∠AED=∠C=70°.
（2）解：∵△ABC∽△ADE ，
∴AE：AC=DE：BC，
∵ AE=5，AC=9，DE=6 ，
∴5：9=6：BC，
∴BC=.
【解析】【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例进行解答即可.
17．【答案】∵AB＝2AD，AC＝2AE，
，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；
（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.
19．【答案】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH
∠B=77°，∠C=83°
∴∠F=∠B= 77°，∠G=∠C=83°，
∵∠E=117°，
∴∠H = 360°- 77°-83°-117°=83°，
∵AB=18，EF=4，FG=6，
∴
∴BC=27
【解析】【分析】根据相似多边形的性质得出 ∠F=∠B= 77°，∠G=∠C=83°， 进而根据四边形内角和为360°即可求得∠H的大小，根据比例式代入计算可得BC的长．
20．【答案】（1）6；3
（2）解：由（1）的结论，设，，，
∴，
∴．
（3）解：3
【解析】【解答】（1）解：根据题意，设，
∴，，，
∴，，
∴，
∴答案是：6，3．
（3）解：根据题意得，如图所示，
当点在第一象限时，且在反比例函数上，设，
∴，，
∴；
同理，当点在第三象限时，且在反比例函数上，设，且，
∴，，
∴，
综上所述，的面积为3．
【分析】（1）设，求出a、b、c的值，再将其代入计算即可；
（2）设，，，将其代入计算即可；
（3）设，求出，设，求出即可。
21．【答案】（1）解：把，代入得，
，解得，
该二次函数的表达为；
（2）解：如图：
设，
由，分两种情况：
当时，，
，
，
即，解得，或（舍去）；
当时，，
，
即，解或（舍去），
综上所述，m的值为或；
（3）解：如图，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
，
设直线的解析式为，
当直线与的图象只有一个交点时，
联立，
整理得，
，
解得，
当时，直线的解析式为，
此时直线与的图象只有一个交点，
令，则，解得，
此时.
【解析】【分析】（1）将A（0，8）、B（-8，0）代入可求出b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）设P（m，m2-m+8），然后分△POQ∽△BDO、△POQ∽△DBO，根据相似三角形的性质可得PQ与OQ的关系，据此可求出m的值；
（3）利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据两直线平行的条件可得直线PQ的解析式，联立二次函数的解析式并结合判别式为0可得n的值，得到直线PQ的解析式，然后令y=0，求出x的值，进而可得点Q的坐标.
22．【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.
23．【答案】（1）解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
在△AOB中，AB＝ ＝ ＝5，
∴sin∠ABC＝
（2）解：根据题意，设E（x，0），则
S△AOE＝ ×OA×x＝ ×4x＝ ，
解得x＝ ，
∴E（ ，0）或（﹣ ，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y＝kx+b，
则① ，
解得 ，
∴解析式为y＝ x﹣ ；
② ，
解得 ，
解析式为： y＝ x+
在△AOE与△DAO中， ，
，
∴ ，
又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）解：根据计算的数据，OB＝OC＝3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，
所以点F与B重合，
即F（﹣3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y＝﹣ x+4，直线L过（ ，2），且k值为 （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），
L解析式为y＝ x+ ，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（﹣ ，﹣ ），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝ ，勾股定理得出，AN＝ ，做A关于N的对称点即为F，AF＝ ，过F做y轴垂线，垂足为G，FG＝ ，
∴F（﹣ ， ）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣ ，﹣ ）；F4（﹣ ， ）．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出 x1＝3，x2＝4 ，再利用勾股定理可得AB=5，最后利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据三角形的面积公式，待定系数法求一次函数的解析式及利用相似三角形的判定方法进行作答即可；
（3）分类讨论，求解即可。
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