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2.2一元二次方程的解法
本节内容包括：一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法（含根的判别式）、因式分解法、换元法以及配方法的应用（拓展、难点）.
一．一元二次方程的解法——直接开平方法
1．方程：的解是
A． B． C．， D．
2．方程的解为
A．， B．， C．， D．，
3．关于的方程无实数根，那么满足的条件是
A． B． C． D．
4．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是
A． B． C． D．
5．若和是一元二次方程的两个解，且，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入的值为
A． B．或 C．或 D．
7．若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
8．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ．
9．若关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是 ．
10．解方程
（1）；
（2）．
二．一元二次方程的解法——配方法
1．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．0
3．珍珍将方程化为的形式时，得到的值为2，的值为6，则珍珍所得结果
A．正确 B．不正确，的值应为
C．不正确，的值应为2 D．不正确，的值应为4
4．若关于的方程有唯一解，则该解应在
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
5．方程的解为 ．
6．若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为 ．
7．解一元二次方程：
（1）；
（2）．
8．解方程：
（1）（用配方法）；
（2）（用配方法）；
（3）（用直接开平方法）；
（4）（用直接开平方法）．
9．我们知道：若，则或．因此，小南在解方程时，采用了以下的方法：
解：移项，得
两边都加上1，得
所以
则或
所以或
小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法．请用配方法解方程：
（1）；
（2）．
10．下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程：
解：，
二次项系数化为1，得第一步，
移项，得第二步，
配方，得，即第三步，
由此可得第四步，
，第五步，
（1）“配方法”所依据的公式是 ；（填“完全平方式”或“平方差公式”
（2）上面解答过程，从第 步开始出现错误；
（3）写出正确的解答过程；
（4）根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议．
三．一元二次方程的解法——公式法
1．用公式法解方程时，，，的值依次是
A．0，， B．1，3， C．1，， D．1，，
2．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是
A． B． C． D．
3．用公式法解方程，所得解正确的是
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是
A． B． C． D．
5．已知是一元二次方程的较小的根，则下面对的估值正确的是
A． B． C． D．
6．当，，时，代数式的值是 ．
7．已知关于的一元二次方程，它的根是 ．
8．下面是小明同学解方程的过程：
，，（第一步），
（第二步）．
，（第三步）．
，（第四步）．
小明是从第 步开始出错．
9．解下列一元二次方程
（1）（公式法）
（2）（公式法）
10．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值；
（2）若，解此方程．
四．根的判别式
1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
3．一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．下列一元二次方程中，能求出实数根的是
A． B． C． D．
5．已知等腰的底边长为5，其腰长恰好是方程的根，则的值是
A．2 B．4 C．1 D．3
6．若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．，且 D．，且
7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实根的个数是
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．已知实数，现甲、乙、丙、丁四人对关于的方程讨论如下，则下列判断正确的是
甲：该方程一定是关于的一元二次方程 乙：该方程有可能是关于的一元二次方程 丙：当时，该方程没有实数根 丁：当且时，该方程有两个实数根
A．甲和丙说得对 B．甲和丁说得对 C．乙和丙说得对 D．乙和丁说得对
9．对于实数，，定义新运算：※，若关于的方程1※有两个相等的实数根，则的值是
A．4 B． C． D．
10．一元二次方程的根的判别式△ 0．（填“”“ ”或“”
11．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
12．请在横线上填写一个恰当的整数，使方程 有两个不相等的实数根．
13．关于的一元二次方程．若，，则原方程有两个 （填“相等”或“不相等” 的实数根；若原方程无实数根，则的取值范围是 ．
五．一元二次方程的解法——因式分解法
1．一元二次方程的根是
A． B． C．， D．，
2．方程的根是
A ． B ． C ．， D ．，
3．用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是
A． B．
C． D．
4．某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于的方程，下列解法完全正确的个数为
甲 乙 丙
两边同时除以， 得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ，．
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．3 B．4 C．7 D．3或4
6．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为
A．1或 B． C．1 D．2
7．方程的解为 ．
8．对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较小值．如：，，按照这个规定，方程，的解为 ．
9．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
10．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
六．一元二次方程的解法——换元法
1．若实数，满足，则的值为
A．1 B． C．1或 D．或3
2．若，则等于
A．8 B．8或 C． D．以上都不对
3．已知实数满足，则代数式的值为
A．7 B． C．7或 D．或1
4．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是
A．或3 B．1或3 C．或 D．1或
5．已知，则 ．
6．若实数满足方程，那么代数式的值是 ．
7．若，设，原式可化为，即，解得，．故的值为3或．仿照上面的方法，计算当时，的值为 ．
8．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在中，令，则有，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：求方程的根．
9．阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．①
解得，
当时，．．；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程：．
10．阅读下列题目的解题过程：
已知，求的值．
小明这样解：设，则原式可化为，即，解得．
，．
（1）上述解答过程是否有误，如果有请改正；
（2）请你用上述方法把在实数范围内分解因式．
七．拓展——配方法的应用
1．若，的最小值是
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
2．已知，则的值为
A．4 B．2 C． D．
3．已知、满足等式，，则，的大小关系是
A． B． C． D．
4．已知，，满足，则的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是
A． B． C． D．
6．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为
A． B．2 C． D．3
7．请同学们学习材料①若，则；②．解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知，化简分式并求值：．
9．阅读材料：若，求，的值．
解：，，
，，
，，．
请解答下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长；
10．阅读与思考
【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
【知识运用】
周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最值．
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2.2一元二次方程的解法
本节内容包括：一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法（含根的判别式）、因式分解法、换元法以及配方法的应用（拓展、难点）.
一．一元二次方程的解法——直接开平方法
1．方程：的解是
A． B． C．， D．
【答案】
【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求25的平方根．
【解析】移项得，，．故选．
2．方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程，再解即可．
【解析】，
，
则，，
，，
故选．
3．关于的方程无实数根，那么满足的条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．
【解析】当时，方程无解．
即．
故选．
4．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【解析】
开方得，
故选．
5．若和是一元二次方程的两个解，且，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】解关于的方程，再求即可．
【解析】解一元二次方程得，
，，
和是一元二次方程的两个解，且，
则，，
，
故选．
6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为，则输入的值为
A． B．或 C．或 D．
【答案】
【分析】根据程序计算器列方程，解方程可解答．
【解析】由题意得：，
，
，
．
故选．
7．若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解析】，
或，
故选．
8．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ．
【答案】．
【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．若关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是 ．
【答案】，．
【分析】先利用直接开平方解，得；再解，得，再通过观察可得，两个方程的解只差3，即可求解．
【解析】，
移项得，，
直接开平方得，，
；
，
移项得，，
直接开平方得，，
，
关于的方程的解是，，
方程的解是：，，
故答案为：，．
10．解方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程．
【解析】（1），
，
，
即，；
（2），
，
，
即，．
二．一元二次方程的解法——配方法
1．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用完全平方公式把方程的左边变形，得到答案．
【解析】，
则，
，
故选．
2．一元二次方程配方后可变形为，则的值是
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【分析】利用配方法将原方程变形成与的形式，即可求解．
【解析】，
，
，
，
，
故选．
3．珍珍将方程化为的形式时，得到的值为2，的值为6，则珍珍所得结果
A．正确 B．不正确，的值应为
C．不正确，的值应为2 D．不正确，的值应为4
【答案】
【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【解析】，
，
，
，，
故选．
4．若关于的方程有唯一解，则该解应在
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
【答案】
【分析】由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【解析】关于的方程有唯一解，
能配成完全平方式，
，
，
，
关于的方程的唯一解为，
，
该解在7和8之间．
故选．
5．方程的解为 ．
【答案】．
【分析】利用配方法得到，然后解方程即可．
【解析】，
，
．
6．若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为 ．
【答案】11．
【分析】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方后得新方程，根据题目中两个方程相等确定、，最后求出．
【解析】，
移项，得，
配方，得．
．
一元二次方程配方后得到方程，
，．
．
．
故答案为：11．
7．解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解析】（1），
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，；
（2），
移项，得，
除以2，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，．
8．解方程：
（1）（用配方法）；
（2）（用配方法）；
（3）（用直接开平方法）；
（4）（用直接开平方法）．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）根据直接开平方法解方程；
（4）根据直接开平方法解方程．
【解析】（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，；
（4），
，
，
，
，．
9．我们知道：若，则或．因此，小南在解方程时，采用了以下的方法：
解：移项，得
两边都加上1，得
所以
则或
所以或
小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法．请用配方法解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【解析】（1），
，
，
，
所以，；
（2）
，
，
，
所以，．
10．下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程：
解：，
二次项系数化为1，得第一步，
移项，得第二步，
配方，得，即第三步，
由此可得第四步，
，第五步，
（1）“配方法”所依据的公式是 ；（填“完全平方式”或“平方差公式”
（2）上面解答过程，从第 步开始出现错误；
（3）写出正确的解答过程；
（4）根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议．
【分析】（1）根据完全平方式配方；
（2）根据配方法判断即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）根据配方法解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见．
【解析】（1） “配方法”所依据的公式是完全平方式．
故答案为：完全平方式；
（2）上面解答过程，从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
（3）解：，
二次项系数化为1，得，
移项，得，
配方，得，即，
由此可得，
，；
（4）配方法解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）．
三．一元二次方程的解法——公式法
1．用公式法解方程时，，，的值依次是
A．0，， B．1，3， C．1，， D．1，，
【答案】B
【分析】方程整理为一般形式，找出，，的值即可．
【解析】整理得：，
这里，，．
故选．
2．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
【解析】若一元二次方程能用公式法求解，则；故选．
3．用公式法解方程，所得解正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据公式法的步骤解决问题即可．
【解析】
，，，
△，
；
故选．
4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据解一元二次方程公式法，即可解答．
【解析】关于的一元二次方程的根为，
，，，
这个方程是，
故选．
5．已知是一元二次方程的较小的根，则下面对的估值正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．
【解析】一元二次方程，
，，，
△，
，
则较小的根，即，
故选．
6．当，，时，代数式的值是 ．
【答案】．
【分析】把，，的值代入代数式计算即可求出值．
【解析】当，，时，
代数式．
故答案为：．
7．已知关于的一元二次方程，它的根是 ．
【答案】，．
【分析】采用公式法求解一元二次方程即可．
【解析】，
，，，
△，
解得，．
故答案为：，．
8．下面是小明同学解方程的过程：
，，（第一步），
（第二步）．
，（第三步）．
，（第四步）．
小明是从第 步开始出错．
【答案】一．
【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．
【解析】原方程化为：，
，，．
故答案为：一．
9．解下列一元二次方程
（1）（公式法）
（2）（公式法）
【分析】首先确定，，的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△，即可代入公式计算即可．
【解析】（1），，，
△，
，
，．
（2），，，
△，
，
，．
10．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值；
（2）若，解此方程．
【分析】（1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可；
（2）先确定方程为，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解析】（1）把代入方程得，
解得；
（2）当时，方程化为，
，，，
△，
，
，．
四．根的判别式
1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．
【解析】、△，
方程有两个相等的实数根，不合题意；
、△，
方程有两个不相等的实数根，符合题意；
、△，
方程没有实数根，不合题意；
、△，
方程没有实数根，不合题意．
故选．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得且△，解不等式组即可．
【解析】关于的一元二次方程有实数根，
且△，
解得且．
故选．
3．一元二次方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况．①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．
【解析】根据题意可得，，，，
△，
有两个相等的实数根．
故选．
4．下列一元二次方程中，能求出实数根的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用解一元二次方程根的判别式进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】、，
整理得：，
△，
原方程有两个不相等的实数根，
故符合题意；
、，
整理得：，
△，
原方程没有实数根，
故不符合题意；
、，
△，
原方程没有实数根，
故不符合题意；
、，
△，
原方程没有实数根，
故不符合题意；
故选．
5．已知等腰的底边长为5，其腰长恰好是方程的根，则的值是
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】
【分析】根据题意△，即可得到，解关于的方程即可．
【解析】由题意得，△，则，
解得或3，
当时，一元二次方程为
解得，因为，舍去；
当时，一元二次方程为
解得，因为，符合题意；
故的值为3，
故选．
6．若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．，且 D．，且
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再分类讨论：当，方程变形为，此一元一次方程有解；当，△，方程有两个实数解，得到且，然后综合两种情况即可得到实数的取值范围．
【解析】，
，，
，，
方程即为方程．
当，方程变形为，此一元一次方程的解为；
当，△，解得，即且时，方程有两个实数根，
综上所述实数的取值范围为．
故选．
7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实根的个数是
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】
【分析】根据一次函数不过第一象限，得到，再求出判别式的符号，进而得出结果即可．
【解析】直线不经过第一象限，
，
，
当，方程为一元一次方程，即，
解得；
方程有一个实数根，
当时，方程为一元二次方程，
△，
方程有2个实数根．
故选．
8．已知实数，现甲、乙、丙、丁四人对关于的方程讨论如下，则下列判断正确的是
甲：该方程一定是关于的一元二次方程 乙：该方程有可能是关于的一元二次方程 丙：当时，该方程没有实数根 丁：当且时，该方程有两个实数根
A．甲和丙说得对 B．甲和丁说得对 C．乙和丙说得对 D．乙和丁说得对
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义对甲和乙的说法进行判断；根据根的判别式的意义对丙和丁的说法进行判断．
【解析】当，即时，方程为一元二次方程，所以乙的判断正确；
当，即，方程变形为，此时方程为一元一次方程，所以甲的判断错误；
若，解方程得，
若，当△时，方程有两个实数根，即，解得且，所以丁的判定正确；
若，当△时，方程有两个实数根，即，解得，所以丙的判定错误．
故选．
9．对于实数，，定义新运算：※，若关于的方程1※有两个相等的实数根，则的值是
A．4 B． C． D．
【答案】
【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到△，再解方程即可．
【解析】※，
※，
整理得，
而关于的方程1※有两个相等的实数根，
△，
解得．
故选．
10．一元二次方程的根的判别式△ 0．（填“”“ ”或“”
【答案】．
【分析】根的判别式△，把相应值代入求值即可．
【解析】，，，
△．
故答案为：．
11．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先根据一元二次方程得出、、的值，再根据方程没有实数根列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解析】由一元二次方程可知，，，
方程没有实数根，
△，
解得．
故答案为：．
12．请在横线上填写一个恰当的整数，使方程 有两个不相等的实数根．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】设常数项为，由原方程有两个不相等的实数根，可得出△，即关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的任意一个整数，即可得出结论．
【解析】设常数项为，
根据题意得：，
解得：，
的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
13．关于的一元二次方程．若，，则原方程有两个 （填“相等”或“不相等” 的实数根；若原方程无实数根，则的取值范围是 ．
【答案】不相等，．
【分析】依据题意，把，代入方程，根据根的判别式即可解决问题；由原方程无实数根，可得出根的判别式小于零，据此可解决问题．
【解析】当，时，原方程为：，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根；
原方程无实数根，
△，
即，
，
令，则，
代入得，
，，，
使得方程无实数根，
则△，
解得，
，
故答案为：不相等，．
五．一元二次方程的解法——因式分解法
1．一元二次方程的根是
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解析】，
，
，
或，
解得：，．
故选．
2．方程的根是
A ． B ． C ．， D ．，
【答案】C
【分析】根据因式分解法， 可得答案 ．
【解析】 因式分解， 得
于是， 得
或，
解得，，
故选．
3．用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】移项，然后利用平方差公式分解因式解即可．
【解析】，
，
，
，
，
故选．
4．某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于的方程，下列解法完全正确的个数为
甲 乙 丙
两边同时除以， 得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ，．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方；
丙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；
故选．
5．已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．3 B．4 C．7 D．3或4
【答案】
【分析】先把方程化为，可得，，再根据等腰三角形的定义可得答案．
【解析】，
，
或，
解得：，，
等腰三角形的两边长分别3或4；
该等腰三角形的底边长为3或4；
故选．
6．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为
A．1或 B． C．1 D．2
【答案】
【分析】根据题意易得：关于的方程两个实数根为或，然后利用解一元二次方程因式分解法可得的根为或，再根据互为“同伴方程”的定义可得或，即可解答．
【解析】关于的方程的参数同时满足和，
关于的方程两个实数根为或，
，
或，
的根为或，
与互为“同伴方程”，
或，
故选．
7．方程的解为 ．
【答案】，．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解析】，
或，
解得，，
故答案为：，．
8．对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较小值．如：，，按照这个规定，方程，的解为 ．
【答案】，．
【分析】根据题意可得：从而整理可得：，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
【解析】，，
，
整理得：，
，
或，
，，
故答案为：，．
9．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解方法解方程．
【解析】（1），
或，
所以，；
（2），
，
所以，．
10．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）运用直接开平方法即可解答；
（2）运用因式分解法即可解答；
（3）运用配方法即可解答；
（4）化成一般式，求得△的值即可判断方程无实数解．
【解析】（1），
直接开平方得或，
解得，；
（2），
，
或，
，；
（3），
，
，即，
，
，；
（4），
，
，，，
△，
原方程无实数解．
六．一元二次方程的解法——换元法
1．若实数，满足，则的值为
A．1 B． C．1或 D．或3
【答案】
【分析】利用换元法求解即可．
【解析】设，
，
，
或，
解得或，
或，
故选．
2．若，则等于
A．8 B．8或 C． D．以上都不对
【答案】
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【解析】另，则，
，
或，
解得：或，
，
，
故选．
3．已知实数满足，则代数式的值为
A．7 B． C．7或 D．或1
【答案】
【分析】将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可．
【解析】设，则原方程可化为：，
解得，；
当时，，即，△，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；
当时，，即，△，故的值为6；
．
故选．
4．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是
A．或3 B．1或3 C．或 D．1或
【答案】
【分析】先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的，从而得到和，解方程即可．
【解析】方程的解是，，
方程，
，，
，，
，，
故选．
5．已知，则 ．
【答案】3或．
【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可．
【解析】设，则原方程转化为，
整理，得．
解得，．
所以或．
故答案为：3或．
6．若实数满足方程，那么代数式的值是 ．
【答案】2023或2005．
【分析】设，则原方程化成：，解方程求出，再把所求代数式的前两项提取公因数3，再把的值整体代入，进行计算即可．
【解析】设，则原方程化成：，
，
，
，，
，，
的值为4或，
当时，
，
当时，
，
综上可知：代数式的值是2023或2005，
故答案为：2023或2005．
7．若，设，原式可化为，即，解得，．故的值为3或．仿照上面的方法，计算当时，的值为 ．
【答案】5．
【分析】，则原方程化为，求出方程的解是，，再求出答案即可．
【解析】，
设，则原方程化为：，
，
解得：，，
不论、为何值，不能为负数，
的值只能是5．
故答案为：5．
8．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在中，令，则有，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：求方程的根．
【分析】设，把方程变形后利用因式分解法求出解得到的值，进而求出的值即可．
【解析】设，则，
分解因式得：，
所以或，
解得：，，
当，即时，
解得：，；
当，即时，
解得：．
，，是原方程的根．
9．阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．①
解得，
当时，．．；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程：．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据换元法可以解答此方程．
【解析】（1）由题意可得，
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元、换元；
（2），
令，则原方程可化为：，
解得，或，
（舍去），，
解得，，，
故原方程的解是，．
10．阅读下列题目的解题过程：
已知，求的值．
小明这样解：设，则原式可化为，即，解得．
，．
（1）上述解答过程是否有误，如果有请改正；
（2）请你用上述方法把在实数范围内分解因式．
【分析】（1）根据平方的非负性可得，即可判断正误；
（2）设，利用完全平方公式将原式变形为，再利用平方差公式分解因式．
【解析】（1）有误，．
应舍去，
．
（2）设，
则原式可化为，
原式
．
七．拓展——配方法的应用
1．若，的最小值是
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
【答案】
【分析】依据题意，由变形为，又对于任意的，都有，，从而可得，进而可以判断得解．
【解析】由题意得，
．
又对于任意的，都有，，
．
．
的最小值是2023．
故选．
2．已知，则的值为
A．4 B．2 C． D．
【答案】
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，计算即可．
【解析】，
，
，
，，
，，
，
故选．
3．已知、满足等式，，则，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用作差法判断即可．
【解析】，
，
．
故选．
4．已知，，满足，则的值是
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】
【分析】依据题意，将变形为，从而，故可得，，，求出，，，再代入计算可以得解．
【解析】由题意，，
．
．
，，．
，，．
．
故选．
5．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【解析】，
，
，
，，
，，
，．
三角形的三条边为，，，
，
．
又这个三角形的最大边为，
．
故选．
6．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为
A． B．2 C． D．3
【答案】
【分析】首先由得，由此可得出，进而得，据此可得当时，的最小值．
【解析】，
，
，
即，
，
当时，的最小值3．
故选．
7．请同学们学习材料①若，则；②．解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】依据题意，
由，再结合恒成立，且，，从而，故可以判断得解．
【解析】由题意，作差：
．
恒成立，且，，
．
．
故选．
8．已知，化简分式并求值：．
【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据配方法、偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可．
【解析】原式
，
，
，
，
，，
则原式．
9．阅读材料：若，求，的值．
解：，，
，，
，，．
请解答下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边，，的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长；
【分析】（1）根据利用完全平方公式进行因式分解进行求解；
（2）先利用完全平方公式及三角形的三边关系可进行求解．
【解析】（1），
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
，
，，
，，
，，
的三边，，的长都是互不相等的正整数，
，
．
10．阅读与思考
【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
【知识运用】
周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最值．
【分析】（1）（2）先把多项式化成完全平方式和一个数的和的形式，再利用非负性确定最小（大值．
【解析】（1）
．
，
，
的最小值是1．
（2）
．
，
．
的最大值是5．
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