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2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：理解方程根、系数的定义与性质，理解根与系数的关系，掌握根与系数的计算方法。
1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A． B． C．7 D．3
2．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是
A． B．2 C．3 D．
3．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是
A． B． C． D．6
4．如果、是一元二次方程的两个实数根，则多项式的值是
A． B．4 C．5 D．7
5．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
6．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是
A． B．5 C．或5 D．2或
7．下列说法关于的一元二次方程，其中正确的有
（1）当，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两实数根是，，那么；
（3）如果方程的两实数根是，，那么；
（4）如果方程的两实数根是，，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．方程x2﹣6x﹣5＝0的两根之和为 ．
9．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
10．若方程的两个实数根为，，则的值为 ．
11．已知，是关于的方程的两个实数根，且，，则的值是 ．
12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则的取值范围是 ，若、满足：，则 ．
13．已知；关于的方程，
（1）求证；无论为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
（2）若，且方程的两个根分别是与，求的值．
14．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值，并求，的值．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程两根之和为，求的值．
16．已知关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求实数的值．
17．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值．
18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等实数根，．
（1）若，求此时方程的解；
（2）当时，求的取值范围．
19．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的实数，当是最小整数时，试求该方程的根．
21．关于的一元二次方程．
（1）若，，求方程的两根；
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程的两个实数根满足写出一组满足条件的，的值．
22．方程是关于的一元二次方程．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若等腰三角形的三边分别用、、表示，其中一边长为4，另外两边、长恰好是这方程的两个根，求的周长．
23．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
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2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：理解方程根、系数的定义与性质，理解根与系数的关系，掌握根与系数的计算方法。
1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A． B． C．7 D．3
【答案】
【分析】设方程的另一个根为，根据两根之和等于5，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设方程的另一个根为，
则，
解得：．
故选．
2．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是
A． B．2 C．3 D．
【答案】
【分析】设方程的一个根，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解析】设方程的一个根，另一个根为，根据题意得：
，
将代入，得．
故选．
3．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是
A． B． C． D．6
【答案】
【分析】根据根与系数的关系，可得出和的值，再代入即可．
【解析】、是一元二次方程的两个根，
，，
，
故选．
4．如果、是一元二次方程的两个实数根，则多项式的值是
A． B．4 C．5 D．7
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】是一元二次方程的根，
，
，
，
、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故选．
5．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【答案】
【分析】先由根与系数的关系得：，，因为是方程的根，所以，则，最后整体代入可得结论．
【解析】，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，，
，
．
故选．
6．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是
A． B．5 C．或5 D．2或
【答案】
【分析】一元二次方程的两根互为相反数，那么其两根之和为0．构建方程求解即可．
【解析】设，是一元二次方程的两根，
，，
又关于的一元二次方程的两根互为相反数，
，
解得或．
两根互为相反数，
，
两根之积是，
故选．
7．下列说法关于的一元二次方程，其中正确的有
（1）当，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两实数根是，，那么；
（3）如果方程的两实数根是，，那么；
（4）如果方程的两实数根是，，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．的两个根，，满足，，逐项进行判断即可．
【解析】（1）△，
；
正确；
（2）一元二次方程的两根之和等于，即，
不正确；
（3）；
正确；
（4）
，
正确，
综上分析可知，共3个说法正确．
故选．
8．方程x2﹣6x﹣5＝0的两根之和为 ．
【答案】6．
【分析】根据根与系数的关系，可以求得方程x2﹣6x﹣5＝0的两根之和．
【解析】∵方程x2﹣6x﹣5＝0，
∴方程x2﹣6x﹣5＝0的两根之和为﹣＝6，
故答案为：6．
9．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】．
【分析】利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
【解析】，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
10．若方程的两个实数根为，，则的值为 ．
【答案】25．
【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“，是方程的两个实数根”，得到，，代入，经过整理变化，即可得到答案．
【解析】根据题意得：，，
．
故答案为：25．
11．已知，是关于的方程的两个实数根，且，，则的值是 ．
【答案】．
【分析】根据题意，得到，，求出，的值，代入代数式求值即可．
【解析】由题意，得：，，
，，
；
故答案为：．
12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则的取值范围是 ，若、满足：，则 ．
【答案】，．
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值．
【解析】方程有两个实数根，，
△，
解得：；
原方程的两个实数根为、，
，，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：，．
13．已知；关于的方程，
（1）求证；无论为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
（2）若，且方程的两个根分别是与，求的值．
【分析】（1）根据根的判别式，即可得证；
（2）根据根与系数的关系可得，，化简所求式并代入可解答．
【解答】（1）证明：△，
无论为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，方程为：，
方程的两个根分别是与，
，，
．
14．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值，并求，的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得，，则可先求出，再求出的值；
（2）利用根与系数的关系得，则利用可求出，再利用求出的值．
【解析】（1）根据根与系数的关系得，，
，
，，
，；
（2）根据根与系数的关系得，
，
，
，
，
．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程两根之和为，求的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的不等式，解不等式即可求出的值，再根据二次项系数非零，即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出，结合方程两根之和为，即可得出关于的分式方程，解方程即可得出值．
【解析】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
解得：．
又，
的取值范围是且．
（2）方程有两个不相等的实数根，，
，
方程两根之和为，
，
解得或，
经检验，或是方程的解，
的取值范围是且．
．
16．已知关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求实数的值．
【分析】根据题意得到，，即可得到答案．
【解析】依题意可得：，，
，
，
即，
解得．
17．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可．
【解析】（1）根据题意得△，
解得；
（2）设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
解得，，
即方程的另一个根为，的值为．
18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等实数根，．
（1）若，求此时方程的解；
（2）当时，求的取值范围．
【分析】（1）把相应的值代入，再解方程即可；
（2）利用根与系数的关系进行解答即可．
【解析】（1）由题意得：，
整理得：，
解得：，；
（2）有两个不相等实数根，，
，
，
，
解得：，
△，
解得：，
的取值为：．
19．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得，，则利用，求出的值．
【解析】（1）一元二次方程有，两个实数根，
△，
解得；
（2）依题意：，，
，
，
，
解得或6，
经检验或6都是方程的解，
，
．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的实数，当是最小整数时，试求该方程的根．
【分析】（1）利用根的判别式△，即可求出答案；
（2）根据题意，利用根与系数的关系得到，，求出的范围，再根据“是最小整数时”确定的值，解一元二次方程，从而得解．
【解析】（1）根据题意得△，
解得；
（2）设，是方程的两根，
根据题意得，，
解得，
，
，
为最小整数，
，
当时，原方程为，解得，．
21．关于的一元二次方程．
（1）若，，求方程的两根；
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程的两个实数根满足写出一组满足条件的，的值．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）由方程的系数结合根的判别式、，可得出△，进而可找出方程有两个不相等实数根；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得，；接下来结合已知条件，求得，故可以取，．
【解析】（1）若，，则，
，
或，
，；
（2）关于的一元二次方程，则△，
，
△
，
原方程有两个不相等的实数根；
（3）由一元二次方程根与系数的关系，得，，
又，
，
，
故可以取，．
22．方程是关于的一元二次方程．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若等腰三角形的三边分别用、、表示，其中一边长为4，另外两边、长恰好是这方程的两个根，求的周长．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知△，据此得出的取值范围即可；
（2）分和或两种情况进行讨论即可．
【解析】（1）方程 有两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）①当时，则，
解得，
把 代入原方程得，
方程可化为 解方程得，
，
，
能够成三角形，
的周长；
②当或时，
把 代入方程，
解得，
当时，方程化为 解得，，
即为或，不符合题意，舍去．
所以综合①②，的周长为10．
23．阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足，且，求的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据题意可得，，将其代入中，即可求出答案；
（3）根据题意可知实数，是一元二次方程的两个实数根，进而可得，，结合 可求出的值，再将其代入，即可求得答案．
【解析】（1）一元二次方程的两个实数根为，，
则．
故答案为：；
（2）根据题意，一元二次方程的两个实数根为，，
，，
；
（3）实数，满足，且，
实数，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，
的值为或．
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