【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.1 多边形
一、选择题
1．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
2．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ ）边形
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（华师大版七年级数学下册第九章多边形第2节多边形的内角和与外角和 同步练习）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
4．（2024七上·七星关期末）下列说法正确的是（ ）
A．平角的度数是360°
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm
D．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是六边形
5．（2023八上·大安月考）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则的度数是（ ）
A．42° B．36° C．52° D．32°
6．（2023八上·巴东月考）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（ ）.
A．15 B．17 C．19 D．13
7．（2023八上·武鸣期中） 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
8．（2023八上·金乡县月考）如图，、、是五边形的三个外角，边、的延长线相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
10．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
11．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
12．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
13．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
14．（2022七下·姜堰期中）如图，正n边形A1A2A3……An（每条边相等，每个内角都相等）竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1-∠2=36°，则n= ．
三、综合题
15．如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF.
（1）已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数.
（2）直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系.
16．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条；经过C点可以做 条；经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 对角线.
17．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
（1）观察探究：请观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？
18．（2023八上·临海期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数 60° ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
2．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为5+2=7，
那么它是七边形．
故答案为：B．
点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
4．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；多边形的对角线；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：A：平角的度数是180°，说法错误，不符合题意；
B：用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
C：已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm，说法正确，符合题意；
D：过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是八边形，说法错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平角，两点确定一条直线，线段，多边形等对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为=108°，
正六边形的内角为=120°，
∴∠1=360°-90°-108°-120°=42°.
故答案为：A.
【分析】分别求出正方形、正五边形和正六边形内角的度数，再利用360°分别减去各内角的度数即得的度数 .
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据任意n边形内角和：180°(n-2)，
∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，
∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°，
∴0<(n-2)180°-2580°<180°，
解得：16∵n为正整数，
∴n=17，
故选项A、C、D不符合题意，故B符合题意；
故答案为B。
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数；
原因：因为任意n边形外角和总为为360°，一个内角和一个外角和为180°，n边形有n对内角外角，所以有任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3且为自然数
多边形内角取值范围为0到180°.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠DEF，∠EDF是五边形ABCDE的两个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠DEF+∠EDF），
又∠DEF+∠EDF+∠F=180，∠F=α，
∴∠DEF+∠EDF=180°-α，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（180°-α）=180°+α。
故答案为：D.
【分析】首先根据多边形外角和的性质得出∠1+∠2+∠3=360°-（∠DEF+∠EDF），再根据三角形内角和求得∠DEF+∠EDF=180°-α，从而得出∠1+∠2+∠3=180°+α。
9．【答案】9；90；27
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设边数为n
则
∴
∵n为正整数
∴n=9
∴其外角为
这个多边形一共有条对角线
故答案为：9；90；27.
【分析】利用外角大于0度，小于180度的范围，得到，由n是正整数，得出n的值，再由题意得出外角的度数，然后利用多边形对角线公式得出结果。
10．【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
11．【答案】5；4；n-1
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】①a5= ；
②a6-a5= ；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2．
12．【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
13．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
14．【答案】5
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，作，
，，
=36°，
，
设正多边形的内角为x，则，
，
，
，
，
解得°，
，
这个多边形的边数为，
故答案为：5．
【分析】作，可推出，设正多边形的内角为x，则，，再根据∠3=∠4列出方程可求出x值，即得外角∠4的度数，利用多边形的外角和360°除以外角的度数，即得边数.
15．【答案】（1）解：∵ 在四边形ABCD 中，∠A=150°，∠D=80°，
∴.
又∵ CE是∠BCD的角平分线，
∴.
又∵ BF是∠ABG的角平分线，
∴.
在四边形BCEF中，
∴∠E+∠F的度数为.
（2）解：2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得，，
，
代入化简可得2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【分析】(1)、根据四边形的内角和先求出，再根据角平分线的定义写出和，最后根据四边形BCEF的内角和求解即可.
(2)、由(1)得∠E+∠F与∠A+∠D的关系，化简即可.
16．【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有2条对角线，(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有5条对角线， 六边形经过任意一点可以做3条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有9条对角线，(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有 条对角线，(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有35条对角线.
【分析】对角线的定义和对角线的公式进行探索求即可。
17．【答案】（1）解：由题可得当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为.
（2）解：每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n-3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为个．
数学社团有18名同学，当n=18时，=135．
∴数学社团的同学们一共将拨打135个电话．
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【分析】(1)依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
(2)依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量.
18．【答案】（1）60°；45°；36°；30°；
（2）解：因为180°÷16=11.25，n不为正整数，
所以不存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
等边三角形：2∠α=外角==120°，则∠α=60°；
正方形：2∠α=外角==90°，则∠α=45°；
正五边形：2∠α=外角==72°，则∠α=36°；
正六边形：2∠α=外角==60°，则∠α=30°；
正n边形：2∠α=外角=，则∠α= ；
【分析】（1）根据计算和观察，可发现规律：正多边形的外角=2∠α，即可求得；
（2）直接利用（1）得到的规律，将 ∠α＝16° 代入，若能找到正整数n，则存在，否则不存在.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.1 多边形
一、选择题
1．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
2．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ ）边形
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为5+2=7，
那么它是七边形．
故答案为：B．
点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
3．（华师大版七年级数学下册第九章多边形第2节多边形的内角和与外角和 同步练习）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
4．（2024七上·七星关期末）下列说法正确的是（ ）
A．平角的度数是360°
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm
D．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是六边形
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；多边形的对角线；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：A：平角的度数是180°，说法错误，不符合题意；
B：用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
C：已知线段AB＝2cm，延长线段AB到C，使BC＝6cm，则AC＝8cm，说法正确，符合题意；
D：过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是八边形，说法错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平角，两点确定一条直线，线段，多边形等对每个选项逐一判断求解即可。
5．（2023八上·大安月考）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则的度数是（ ）
A．42° B．36° C．52° D．32°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为=108°，
正六边形的内角为=120°，
∴∠1=360°-90°-108°-120°=42°.
故答案为：A.
【分析】分别求出正方形、正五边形和正六边形内角的度数，再利用360°分别减去各内角的度数即得的度数 .
6．（2023八上·巴东月考）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（ ）.
A．15 B．17 C．19 D．13
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据任意n边形内角和：180°(n-2)，
∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，
∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°，
∴0<(n-2)180°-2580°<180°，
解得：16∵n为正整数，
∴n=17，
故选项A、C、D不符合题意，故B符合题意；
故答案为B。
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数；
原因：因为任意n边形外角和总为为360°，一个内角和一个外角和为180°，n边形有n对内角外角，所以有任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3且为自然数
多边形内角取值范围为0到180°.
7．（2023八上·武鸣期中） 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
8．（2023八上·金乡县月考）如图，、、是五边形的三个外角，边、的延长线相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠DEF，∠EDF是五边形ABCDE的两个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠DEF+∠EDF），
又∠DEF+∠EDF+∠F=180，∠F=α，
∴∠DEF+∠EDF=180°-α，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（180°-α）=180°+α。
故答案为：D.
【分析】首先根据多边形外角和的性质得出∠1+∠2+∠3=360°-（∠DEF+∠EDF），再根据三角形内角和求得∠DEF+∠EDF=180°-α，从而得出∠1+∠2+∠3=180°+α。
二、填空题
9．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
【答案】9；90；27
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设边数为n
则
∴
∵n为正整数
∴n=9
∴其外角为
这个多边形一共有条对角线
故答案为：9；90；27.
【分析】利用外角大于0度，小于180度的范围，得到，由n是正整数，得出n的值，再由题意得出外角的度数，然后利用多边形对角线公式得出结果。
10．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
11．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
【答案】5；4；n-1
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】①a5= ；
②a6-a5= ；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2．
12．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
13．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
14．（2022七下·姜堰期中）如图，正n边形A1A2A3……An（每条边相等，每个内角都相等）竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1-∠2=36°，则n= ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，作，
，，
=36°，
，
设正多边形的内角为x，则，
，
，
，
，
解得°，
，
这个多边形的边数为，
故答案为：5．
【分析】作，可推出，设正多边形的内角为x，则，，再根据∠3=∠4列出方程可求出x值，即得外角∠4的度数，利用多边形的外角和360°除以外角的度数，即得边数.
三、综合题
15．如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF.
（1）已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数.
（2）直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系.
【答案】（1）解：∵ 在四边形ABCD 中，∠A=150°，∠D=80°，
∴.
又∵ CE是∠BCD的角平分线，
∴.
又∵ BF是∠ABG的角平分线，
∴.
在四边形BCEF中，
∴∠E+∠F的度数为.
（2）解：2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得，，
，
代入化简可得2（∠E+∠F）=∠A+∠D+180°.
【分析】(1)、根据四边形的内角和先求出，再根据角平分线的定义写出和，最后根据四边形BCEF的内角和求解即可.
(2)、由(1)得∠E+∠F与∠A+∠D的关系，化简即可.
16．（2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.1 多边形 同步训练）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 条对角线；同样，经过B点可以做 条；经过C点可以做 条；经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有2条对角线，(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有5条对角线， 六边形经过任意一点可以做3条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有9条对角线，(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有 条对角线，(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线，其中会出现重复，因此四边形共有35条对角线.
【分析】对角线的定义和对角线的公式进行探索求即可。
17．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
（1）观察探究：请观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？
【答案】（1）解：由题可得当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为.
（2）解：每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n-3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为个．
数学社团有18名同学，当n=18时，=135．
∴数学社团的同学们一共将拨打135个电话．
【知识点】多边形的对角线；探索图形规律
【解析】【分析】(1)依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
(2)依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量.
18．（2023八上·临海期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数 60° ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）60°；45°；36°；30°；
（2）解：因为180°÷16=11.25，n不为正整数，
所以不存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
等边三角形：2∠α=外角==120°，则∠α=60°；
正方形：2∠α=外角==90°，则∠α=45°；
正五边形：2∠α=外角==72°，则∠α=36°；
正六边形：2∠α=外角==60°，则∠α=30°；
正n边形：2∠α=外角=，则∠α= ；
【分析】（1）根据计算和观察，可发现规律：正多边形的外角=2∠α，即可求得；
（2）直接利用（1）得到的规律，将 ∠α＝16° 代入，若能找到正整数n，则存在，否则不存在.
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