【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.2 平行四边形
一、选择题
1．如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l2交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：AD=CD， ∠ABC= 90°，
∴，时，BD有最小值，
.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即得时，BD有最小值，计算求解即可.
2．（2023七下·铜仁期末）如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是（ ）
A．10cm B．12cm C．13cm D．14cm
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ GH平分∠CGF，GI平分∠DGF， ∴
∵
∴
∴
过点G作GM⊥HI于点M，
则，又 HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，
∴GM=12cm，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】由题易知∠HGI=90°，所以△HGI是直角三角形。利用三角形的面积可求斜边HI上的高，也即两平行线AB和CD间的距离。
3．（2023七下·冷水滩期末）在同一平面内，已知，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当直线c在直线a、b之间时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7-3=4cm；
②当直线c在直线a、b之外时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7+3=10cm；
综上，直线a、c间的距离为4cm或10cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，①当直线c在直线a、b之间时，②当直线c在直线a、b之外时，再分别画出图象并求解即可.
4．（2017·鹤岗）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）
A．22 B．20 C．22或20 D．18
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．
【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
5．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出 四边形ABFE的周长即可．
6．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点
∴AF=FD
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB
∴AF=FD=CD
∵AD平行BC
结论正确
（2）延长EF，交CD延长线于M
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∵F是AD中点
∴AF=FD
在△AEF和△DFM中
∴△AEF≌△DFM（ASA）
∵FM=EF
∴EF=CF
结论正确
（3）∵EF=FM
∴
∵MC>BE
结论错误
（4）设，则
结论正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质：平行四边形的对边相等且平行，再根据全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DFM（ASA），再根据全等三角形的性质即可求出答案.
二、填空题
7．（2019八上·徐州月考）如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 .
【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠EOF＋∠EOG＝（180° ∠BAC）＋（180° ∠ACD）＝180°，
∴E、O、G三点共线，
∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4.
故答案为：4.
【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得OE＝OF＝OG，由平行线的性质可得∠BAC＋∠ACD＝180°，然后计算∠EOF＋∠EOG的度数，根据平角的意义可知E、O、G三点共线，再根据平行线间的距离即可求解.
8．（2023九上·湖北开学考）如图，三角形材料ABC，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，添加一块三角形材料ACE，加工成ADCE的材料，则ADCE的对角线DE的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，
∴由勾股定理得AB=3，
根据垂线段最短可得当DE⊥BC时，DE最短，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴DE的最小值应该等于AB=3.
故答案为：3.
【分析】首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，根据垂线段最短可得当DE⊥BC时，DE最短，根据平行四边形的性质得AE∥CD，进而根据平行线间的距离是一个定值可得DE的最小值应该等于AB的长度，据此可得答案.
9．（2023八下·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，在平面直角坐标系内确定点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，OB=4，OA=1，
又∵点C在y轴的正半轴上，且OB=2OC， OB=4
∴OC=2，
∴C（0，2）.
①当BC为对角线时，四边形ABD1C为平行四边形，
则CD1=AB=3，AB∥CD1，
故Dy=OC=2，
∴D1（3，2）；
②当AC为对角线时，四边形ABCD2为平行四边形，
CD2=AB=3，AB∥CD2，
故Dy=OC=2，
∴D2（-3，2）；
③当AB为对角线时，四边形AD3BC为平行四边形，
故Dy=OC=2，Dx=AB+2×OA=5，
∴D3（5，-2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是D1（3，2），D2（-3，2），D3（5，-2）．
故答案为：（3，2）（-3，2）（5，-2）.
【分析】首先根据坐标系中点的坐标求得AB=3，OB=4，OA=1，OC=2，根据平行四边形两组对边平行且相等，平行线之间的距离处处相等，进而分：①当BC为对角线时，四边形ABD1C为平行四边形，②当AC为对角线时，四边形ABCD2为平行四边形，③当AB为对角线时，四边形AD3BC为平行四边形，结合点的坐标与图形性质即可得出符合题意的D的坐标.
10．（2022八上·杭州期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是 .
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，
∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，
∴BE＝3，CF＝1，
∵∠BAC＝90°，BE⊥AF
∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴AE＝CF＝1，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝
∴S△ABC＝ AB AC＝5
故答案为：5.
【分析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由题意可得BE=3，CF=1，根据同角的余角相等可得∠CAF＝∠BAE，利用AAS证明△ABE≌△CAF，得到AE＝CF＝1，根据勾股定理可得AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
11．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接若，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接PF，PB，由题意可得：
AF=AB，FP=BP
在△AEP和△ABP中
∴△AEP≌△ABP（SSS）
∴∠1=∠2
在△AFO和△ABO中
∴△AFO≌△ABO（SAS）
在Rt△ABO中，AO=4
∴AE=8
故答案为：24
【分析】连接PF，PB，根据全等三角形判定定理可得△AEP≌△ABP，则∠1=∠2，再判断△AFO≌△ABO，得到，则，再根据平行四边形的面积公式即可求出答案.
三、作图题
12．（2023七下·长宁期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：
（1）画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论）
（2）在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离．
【答案】（1）解：如图所示，根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为．
根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离．
根据题意，得
，
即
．
解得
．
所以，直线与间的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
13．（2023八下·和平期末）如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．
（1）判断是否为直角： ．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形的面积为 ．
（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．
【答案】（1）不是
（2）14
（3）解：如图，点和四边形即为所求．（答案不唯一）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵CD2=12+22=5，BC2=22+52=29，BD2=42+42=32，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°，
故答案为：不是.
（2）S四边形ABCD=5×5-×1×5-×2×5-×1×3-1×1-×1×2=14，
故答案为：14.
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）根据要求作出图象即可.
四、解答题
14．（2023八下·防城期中）如图，已知的对角线，交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，，
∴≌（），
∴．
（2）解：在平行四边形中，
∵，
∴．
∵，．
中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，，再根据全等三角形的判断（ASA）得到OE=OF；
（2）根据平行四边形的对角线定理得到，再根据勾股定理得到OE的长，由（1）可知OE=OF，即可求出EF的长.
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在-一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
16．（2023八下·乾安期末）如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.2 平行四边形
一、选择题
1．如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l2交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023七下·铜仁期末）如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是（ ）
A．10cm B．12cm C．13cm D．14cm
3．（2023七下·冷水滩期末）在同一平面内，已知，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
4．（2017·鹤岗）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）
A．22 B．20 C．22或20 D．18
5．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
6．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019八上·徐州月考）如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 .
8．（2023九上·湖北开学考）如图，三角形材料ABC，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，添加一块三角形材料ACE，加工成ADCE的材料，则ADCE的对角线DE的最小值是 ．
9．（2023八下·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，在平面直角坐标系内确定点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
10．（2022八上·杭州期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是 .
11．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接若，，则四边形的面积为 ．
三、作图题
12．（2023七下·长宁期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：
（1）画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论）
（2）在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离．
13．（2023八下·和平期末）如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．
（1）判断是否为直角： ．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形的面积为 ．
（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．
四、解答题
14．（2023八下·防城期中）如图，已知的对角线，交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在-一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023八下·乾安期末）如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：AD=CD， ∠ABC= 90°，
∴，时，BD有最小值，
.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即得时，BD有最小值，计算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ GH平分∠CGF，GI平分∠DGF， ∴
∵
∴
∴
过点G作GM⊥HI于点M，
则，又 HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，
∴GM=12cm，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】由题易知∠HGI=90°，所以△HGI是直角三角形。利用三角形的面积可求斜边HI上的高，也即两平行线AB和CD间的距离。
3．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当直线c在直线a、b之间时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7-3=4cm；
②当直线c在直线a、b之外时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7+3=10cm；
综上，直线a、c间的距离为4cm或10cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，①当直线c在直线a、b之间时，②当直线c在直线a、b之外时，再分别画出图象并求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．
【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出 四边形ABFE的周长即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点
∴AF=FD
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB
∴AF=FD=CD
∵AD平行BC
结论正确
（2）延长EF，交CD延长线于M
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∵F是AD中点
∴AF=FD
在△AEF和△DFM中
∴△AEF≌△DFM（ASA）
∵FM=EF
∴EF=CF
结论正确
（3）∵EF=FM
∴
∵MC>BE
结论错误
（4）设，则
结论正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质：平行四边形的对边相等且平行，再根据全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DFM（ASA），再根据全等三角形的性质即可求出答案.
7．【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠EOF＋∠EOG＝（180° ∠BAC）＋（180° ∠ACD）＝180°，
∴E、O、G三点共线，
∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4.
故答案为：4.
【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得OE＝OF＝OG，由平行线的性质可得∠BAC＋∠ACD＝180°，然后计算∠EOF＋∠EOG的度数，根据平角的意义可知E、O、G三点共线，再根据平行线间的距离即可求解.
8．【答案】3
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，
∴由勾股定理得AB=3，
根据垂线段最短可得当DE⊥BC时，DE最短，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴DE的最小值应该等于AB=3.
故答案为：3.
【分析】首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，根据垂线段最短可得当DE⊥BC时，DE最短，根据平行四边形的性质得AE∥CD，进而根据平行线间的距离是一个定值可得DE的最小值应该等于AB的长度，据此可得答案.
9．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，OB=4，OA=1，
又∵点C在y轴的正半轴上，且OB=2OC， OB=4
∴OC=2，
∴C（0，2）.
①当BC为对角线时，四边形ABD1C为平行四边形，
则CD1=AB=3，AB∥CD1，
故Dy=OC=2，
∴D1（3，2）；
②当AC为对角线时，四边形ABCD2为平行四边形，
CD2=AB=3，AB∥CD2，
故Dy=OC=2，
∴D2（-3，2）；
③当AB为对角线时，四边形AD3BC为平行四边形，
故Dy=OC=2，Dx=AB+2×OA=5，
∴D3（5，-2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是D1（3，2），D2（-3，2），D3（5，-2）．
故答案为：（3，2）（-3，2）（5，-2）.
【分析】首先根据坐标系中点的坐标求得AB=3，OB=4，OA=1，OC=2，根据平行四边形两组对边平行且相等，平行线之间的距离处处相等，进而分：①当BC为对角线时，四边形ABD1C为平行四边形，②当AC为对角线时，四边形ABCD2为平行四边形，③当AB为对角线时，四边形AD3BC为平行四边形，结合点的坐标与图形性质即可得出符合题意的D的坐标.
10．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，
∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，
∴BE＝3，CF＝1，
∵∠BAC＝90°，BE⊥AF
∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴AE＝CF＝1，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝
∴S△ABC＝ AB AC＝5
故答案为：5.
【分析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由题意可得BE=3，CF=1，根据同角的余角相等可得∠CAF＝∠BAE，利用AAS证明△ABE≌△CAF，得到AE＝CF＝1，根据勾股定理可得AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接PF，PB，由题意可得：
AF=AB，FP=BP
在△AEP和△ABP中
∴△AEP≌△ABP（SSS）
∴∠1=∠2
在△AFO和△ABO中
∴△AFO≌△ABO（SAS）
在Rt△ABO中，AO=4
∴AE=8
故答案为：24
【分析】连接PF，PB，根据全等三角形判定定理可得△AEP≌△ABP，则∠1=∠2，再判断△AFO≌△ABO，得到，则，再根据平行四边形的面积公式即可求出答案.
12．【答案】（1）解：如图所示，根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为．
根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离．
根据题意，得
，
即
．
解得
．
所以，直线与间的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
13．【答案】（1）不是
（2）14
（3）解：如图，点和四边形即为所求．（答案不唯一）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵CD2=12+22=5，BC2=22+52=29，BD2=42+42=32，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°，
故答案为：不是.
（2）S四边形ABCD=5×5-×1×5-×2×5-×1×3-1×1-×1×2=14，
故答案为：14.
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）根据要求作出图象即可.
14．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，，
∴≌（），
∴．
（2）解：在平行四边形中，
∵，
∴．
∵，．
中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，，再根据全等三角形的判断（ASA）得到OE=OF；
（2）根据平行四边形的对角线定理得到，再根据勾股定理得到OE的长，由（1）可知OE=OF，即可求出EF的长.
15．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
16．【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
1 / 1
