【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.2 平行四边形
一、选择题
1．（北师大版数学八年级下册第六章平行四边形第1节平行四边形的性质 同步练习）如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八下·中牟期末）如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（ ）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
3．（2023八下·九江期末）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024九上·涪城开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且
∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE>CE；②S ABCD=AB·AC；③S△ABE=2S△AOE；④OE=AD，其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022八下·杭州期中）如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（ ）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
6．（2022八下·芜湖期中）在面积为的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝，BC＝，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2021八下·合肥期末）如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2017八下·蒙阴期末）两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0间的距离公式是d= 如：求：两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离．
解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0，因此，d= 两条平行线l1：3x+4y=10和l2：6x+8y﹣10=0的距离是 ．
10．（2023八下·新都期末）在中，，，，为外的一点，且．若点到边上的最短距离记为，当绕旋转时，的取值范围是 ．
11．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
12．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
13．（2023八下·开州期末）如图，矩形的边、上有两点、，沿着直线折叠使得点、分别落在、，交线段于点，射线恰好经过点，作平分交于，，且恰好落在线段的延长线上，若，则到直线的距离是 ．
三、作图题
14．（2023八下·无为期末）如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）：
（1）在图1中，作出的角平分线；
（2）在图2中，作出的角平分线．
四、解答题
15．（2023八下·泗水期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点到直线：的距离；
（2）直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离．
16．（2023八下·新城期末）如图，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是轴上一点，点是直线上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标．
17．（2023八下·海曙期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F、G分别是OD、AB的中点，且BC＝，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求 ABCD的面积．
五、综合题
18．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
19．（2017八下·禅城期末）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．
（1）如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；
（3）如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）
20．（2023八下·吉安期末）如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
21．（2023八下·涪陵期末）如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
（1）如图，若，，求的长度；
（2）如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．
（3）如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．
22．（2023八下·乐清期中）如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】A点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
B点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
C点F到边BC的距离等于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积=△EBC的面积，故本选项错误；
D点F到边BC的距离大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确．
故选D
【分析】根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答
2．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= ，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB= AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意.
满足条件的点C共有6个
故答案为：C.
【分析】如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，
则结论①错误；
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，
则结论②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC的中点，
∴，
∵AO=OC，
∴，
∴S△ABE=2S△AOE，
则结论③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=OC，
∵AE=CE，
∴OE⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴，
∵，
∴，
则结论④正确；
综上所述：成立的有3个，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
， ，
又 ，
，故 正确；
根据 只能判断 ，不能判断 ，即不能得出 ， 错误；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ， 错误；
，
，
此时 ，
即 点一定在对角线 上，
正确；
当 ，且 ，
（1）+(2)可得 ，（1）-(2)可得 ，
点 在 上，
故 正确；
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，然后利用三角形的面积公式分别求出 、 、 、 ，据从可判断①②③；可求出，当 ，且 ，联立两等式可得，，据此判断④⑤.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=6，
∴AE=3，AF=2．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=3，AE=3代入求出BE=6＞2，
∴E在BC延长线上，
同理DF=4＜3，即F在DC上（如图1），
∴CE=6-2，CF=3-4，
∴CE+CF=2+；
②如图2中，同①可得：BE=6，DF=4，
∴CE=6+2，CF=3+4，
∴CE+CF=10+5，
综上可得：CE+CF=2+或10+5．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，再求出BE、DF的值，再分两种情况，即可得出结论。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
四边形是平行四边形
，
是
的的中点，
，
，
，
故答案为：B
【分析】 取的中点G，连接，由平行四边形的性质可知△ADE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ADG，△AEG，△ABG是等腰三角形，然后利用角的关系求解。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
9．【答案】1
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线之间的距离
【解析】【解答】解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得6x+8y﹣20=0和6x+8y﹣10=0，
∴d= =1．
故答案为：1．
【分析】将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得6x+8y﹣20=0和6x+8y﹣10=0，据此求解即可．
10．【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 绕 旋转可看作 不动，点 绕点 旋转．
①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，此时 ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，此时 ．
根据题意可知四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【分析】分情况分析，①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．再分别画出图象并求出最大值及最小值，即可得到d的取值范围.
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
12．【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设所求距离为h。如图：过点F作FI平行BD'，交HE与I，
CD折叠到C'D'位置，，，CD=C'D'=AB=5
可知(同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么一定也垂直于另一条）
∴FD'C'I是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形）
FI=D'C'，FD'=C'I。
在三角形ABH和C'BH中
∴三角形ABH≌三角形C'BH（AAS）
∴BC'=AB=5，AH=C'H
又∵AD∥BC
∴（两直线平行，内错角相等）
∴BE=EH(等角对等边)
∵且
∴
∴BH∥EF(内错角相等，两直线平行）
又HF∥BE
∴四边形BHFE是平行四边形。
∴BH=EF BE=HF=2HG
∵且BC'=AB=C'D'=5 即HE是BD'的垂直平分线，
∴BH=HD'
∴BH=HD'=EF
在RtHC'D'和RtEIF中，
∴RtHC'D'≌RtEIF(HL)
∴C'I=IE
在三角形HGC'和三角形FGD'中，
∴三角形HGC'≌三角形FGD'(ASA)
∴FD'=HC'即FD'=HC'=C'I=IE
设C'H=x，则BE=EH=HC'+C'I+IE=3x，C'E=C'I+IE=2x
在RtBC'E中，根据勾股定理，，解得x=1
∴
∵S△HFD'=2S△HGD'
∴
∴
故答案为：
【分析】由问题入手，F到D'H的距离，就是三角形HFD'的高，此时底是HD'，如果知道面积和底，高可求。面积是三角形HGD'的2倍.按照这个思路，已知AB，易证HD'=BH，须知HC'长。由当前已知条件很难求得HC'。已知AB，还有勾股定理可用，已知的线段与HC'没有直接的和差倍半关系，我们想到旋转或平移试试。尝试如图，显而易见，HC'=FD'=C'I，在三角形BEC'中用勾股定理，求出HC'，至此可整理思路，写出全过程。
14．【答案】（1）解：如图1所示：即为的平分线；
（2）解：如图2所示，为的角平分线；
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)、两直线平行内错角相等∠DAC＝∠ACB，∵AE=EC ∴∠CAE=∠ACB ∴∠DAC=∠CAE，AC平分∠DAE .
(2) 平行四边形对角线互相平分，找到对角线交点，该交点是等腰三角形底边上的中点，同时等腰三角形三线合一，也是顶角平分线。
15．【答案】（1）解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：
．
（2）解：∵直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
当时，，即点在直线上，
∵直线：，其中，，
∴点到直线的距离为：．
∴、这两条平行直线之间的距离为．
【知识点】一次函数图象与几何变换；点到直线的距离；平行线之间的距离
【解析】【分析】
(1)运用点到直线的距离公式进行计算即可；
(2)先求出L2解析式，并写出L2上一点坐标，再求出此点到L1的距离即可。
16．【答案】（1）解：将代入中，得，
则，
直线：；
将代入中，得，
则，
直线：；
（2）解：令，则，
，
设，，
如图，，
点、、、为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
，
综上，满足条件的点坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式可求出b和k的值，可得到直线l1、l2的函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点C的坐标，设，，利用平行四边形的性质分情况讨论：当AQ为对角线时；当AP为对角线时；分别求出点Q的坐标.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝ BD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝2AD，∴AD＝DO，
∴BC＝BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE＝ ∠OBC，
∴∠OBE＝ ∠ADO
（2）解：①证明：∵BC＝BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，∴EG＝ AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝ CD ∴EG＝EF
∴△EFG是等腰三角形；
②解：由①得EF∥AB，EF=EG=BG
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠ABE=∠GFE=45°，
∵BE⊥AC∴AE＝BE，
设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，
∴BE＝AE＝3x，
在Rt△BEC中，BC＝10，
∴EC2+BE2＝BC2，
即x2+（3x）2＝10，解得x＝1，
∴AC＝4，BE＝3，∴S ABCD＝2S△ABC＝12．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝ BD，利用平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC，由BD＝2AD，可得AD=BC＝BO=OD，利用等腰三角形三线合一的性质可得∠OBE＝ ∠OBC= ∠ADO；
（2）①利用等腰三角形三线合一的性质可得EB⊥CO，即得∠BEA＝90°，根据直角三角形斜边上的中线及平行四边形的性质可得EG＝ AB=CD，利用三角形中位线定理可得EF＝ CD ，即得EG＝EF，根据等腰三角形的判定即得结论；②先证四边形BEFG是平行四边形，可得∠ABE=∠GFE=45°，由BE⊥AC可得AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，由EC2+BE2＝BC2，建立关于x方程并解之，即得AC、BE的长，根据S ABCD＝2S△ABC＝即可求解.
18．【答案】（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO
（2）△PAB
（3）解：能。连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）∵m∥n，
∴点C，P到直线n的距离与点A，B到直线m的距离相等.
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图1中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB，△BCP与
△APC，△ACO与△BPO.
故答案为△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO.
（2）∵m∥n，点C，P到直线n的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等。
故答案为△PAB。
【分析】(1) 根据直线m∥n， 利用同底等高的三角形的面积相等和面积的和差关系分别找出面积相等的三角形即可；
(2)根据平行线间的距离相等，利用同底等高的三角形的面积相等即可作答；
(3) 连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，利用(1)的△ACO与△BPO 面积相等的原理，即可说明.
19．【答案】（1）解：∵点O是BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四边形ABCD，
∴S四边形ABCO= S四边形ABCD．
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
设AE交OC于F．
∵OE∥AC，
∴S△AOE=S△COE，
∴S△AOF=S△CEF，
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．
（2）解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG．
设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．
（3）解：如图3，
连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，
理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），
∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，
∴S△CDE=S△CEF，
∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE．
即：直路左边的土地面积与原来一样多．
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】（1）首先作AH⊥BC，垂足为H．依据三角形的面积公式可得到S△ABD=BD AH，S△ADC=DC AH，然后结合条件BD=CD，可得到S△ABD=S△ADC，再判断出S四边形ABCO=S四边形ABCD，进而判断出S△AOE=S△COE，推出S△AOF=S△CEF，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；
（2）首先连接EF，FG，然后过点A作EF的平行线交CD于点G，由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”，
（3）首先连接CE，EF，然后过点D作DF∥EC交CM于F，然后依据夹在平行线间的距离处处相等得出DG=FH，于是可得到S△CDE=S△CEF.
20．【答案】（1）解：，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）解：∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2t，AQ=6-t，由∠A=60°，当AP=AQ时，△PAQ是等边三角形，据此列出方程并解之即可；
（2）由∠A=60°，当 △PAQ是直角三角形 ，可分两种情况： 或， 根据直角三角形的性质分别解答即可.
21．【答案】（1）解：过点E作，垂足为H，
∵在平行四边形中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，即：
∴，，
∴在中，，
∴
（2）证明：延长、交于点M，在上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）方法1：延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，
∴，
由平移可知，，且，
∵，，由（1）可知，
∴是等边三角形，，，
∴在平行四边形是菱形，，
∴，
∵在等边中，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
过点Q作，垂足为H，
∵在等边中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴当，，三点共线时，取得最小值，
此时，如图，
∵当，，三点共线时，交BD于K，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即：当平移将沿射线方向平移个单位时，，，三点共线，此时，值最小，
∴最小值为：．
方法2：如图，与交于点M，连接、、、取BC的中点，连接、，作，
由方法1可知：，，
∴，，
∴，，
∴，，
由平移可知，，且，
又∵在平行四边形中，，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵由方法1可知：平行四边形是菱形，
∴垂直平分线，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴当A、M、N三点共线时，最小，此时最小，最小值为．
【分析】（1）如图所示， ：过点E作，垂足为H， 在Rt△EBH中，根据BE=2，可求得BH=1，EH=，然后在Rt△EAH中，根据勾股定理，可求得AH=，从而得出AB=-1；
（2） 延长、交于点M，在上取点N，使，先证明△DMG是等边三角形，可以得出DG-BG=DM-MN =DN，所以只需证明DN=2DH即可，再根据SAS证明 ，得出BD=NG，由（1）知：AD=BD。所以AD=GN，又根据角之间的关系可以得出∠ADH=∠GNH，从而根据AAS可证△ADH≌△GNH，从而得出DH=NH，即DN=2DH，然后等量代换，即可得出结论；
（3）延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，可证，得出CD'=CM，从而把CD'+CA'转化为：CM+CA'，所以当A'，C，M三点共线时，CM+CA'的值最小，此时的最小值为A'M，且A'M=AQ，根据勾股定理可求得， 即的最小值为
22．【答案】（1）解：AF=FC，理由如下：
∵四边ABCD是平行四边形，
∴AD= BC，AD∥BC，
∴∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，
∵PD= BH，
∴AD-PD=BC-BH，
即AP=HC ，
∴△APF≌△CHF(ASA)，
∴AF=FC；
（2）解：将x=0代入y=-2x+12得y=12，即AD=12；
把y=0代入y=-2x+12得x=6，即MN=6；
∴AB=AD= 12，
∴AM+BN=12-6= 6，
∵AM=5BN ，
∴5BN+BN=6，
∴BN= 1；
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，
由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=12，
∴FA=FC=6，
，，
∵＞0，∴当x=2时，△FQH的面积最小为.
故答案为：.
【分析】（1）AF=FC，理由如下：由平行四边形的对边平行且相等得AD= BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，根据等量减去等量差相等得AP=CH，从而用AAS判断出△APF≌△CHF，根据全等三角形对应边相等得AF=FC；
（2）将x=0与y=0分别代入y=-2x+12算出对应的y与x的值，即可得出AD与MN的长，进而根据线段的和差可得AM+BN= 6，再将AM=5BN代入即可求出BN的长；
（3）连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，易得△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质及含30度角直角三角形的性质表示出QT，FJ、FK的长，进而根据建立出函数关系式，结合函数的性质即可解决此题.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.2 平行四边形
一、选择题
1．（北师大版数学八年级下册第六章平行四边形第1节平行四边形的性质 同步练习）如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】A点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
B点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
C点F到边BC的距离等于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积=△EBC的面积，故本选项错误；
D点F到边BC的距离大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确．
故选D
【分析】根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答
2．（2019八下·中牟期末）如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（ ）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= ，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB= AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意.
满足条件的点C共有6个
故答案为：C.
【分析】如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论.
3．（2023八下·九江期末）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
4．（2024九上·涪城开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且
∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE>CE；②S ABCD=AB·AC；③S△ABE=2S△AOE；④OE=AD，其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，
则结论①错误；
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，
则结论②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC的中点，
∴，
∵AO=OC，
∴，
∴S△ABE=2S△AOE，
则结论③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=OC，
∵AE=CE，
∴OE⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴，
∵，
∴，
则结论④正确；
综上所述：成立的有3个，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
5．（2022八下·杭州期中）如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（ ）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
， ，
又 ，
，故 正确；
根据 只能判断 ，不能判断 ，即不能得出 ， 错误；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ， 错误；
，
，
此时 ，
即 点一定在对角线 上，
正确；
当 ，且 ，
（1）+(2)可得 ，（1）-(2)可得 ，
点 在 上，
故 正确；
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，然后利用三角形的面积公式分别求出 、 、 、 ，据从可判断①②③；可求出，当 ，且 ，联立两等式可得，，据此判断④⑤.
6．（2022八下·芜湖期中）在面积为的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝，BC＝，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=6，
∴AE=3，AF=2．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=3，AE=3代入求出BE=6＞2，
∴E在BC延长线上，
同理DF=4＜3，即F在DC上（如图1），
∴CE=6-2，CF=3-4，
∴CE+CF=2+；
②如图2中，同①可得：BE=6，DF=4，
∴CE=6+2，CF=3+4，
∴CE+CF=10+5，
综上可得：CE+CF=2+或10+5．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，再求出BE、DF的值，再分两种情况，即可得出结论。
7．（2021八下·合肥期末）如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
四边形是平行四边形
，
是
的的中点，
，
，
，
故答案为：B
【分析】 取的中点G，连接，由平行四边形的性质可知△ADE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ADG，△AEG，△ABG是等腰三角形，然后利用角的关系求解。
8．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
二、填空题
9．（2017八下·蒙阴期末）两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0间的距离公式是d= 如：求：两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离．
解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0，因此，d= 两条平行线l1：3x+4y=10和l2：6x+8y﹣10=0的距离是 ．
【答案】1
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线之间的距离
【解析】【解答】解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得6x+8y﹣20=0和6x+8y﹣10=0，
∴d= =1．
故答案为：1．
【分析】将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得6x+8y﹣20=0和6x+8y﹣10=0，据此求解即可．
10．（2023八下·新都期末）在中，，，，为外的一点，且．若点到边上的最短距离记为，当绕旋转时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 绕 旋转可看作 不动，点 绕点 旋转．
①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，此时 ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，此时 ．
根据题意可知四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【分析】分情况分析，①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．再分别画出图象并求出最大值及最小值，即可得到d的取值范围.
11．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
12．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
13．（2023八下·开州期末）如图，矩形的边、上有两点、，沿着直线折叠使得点、分别落在、，交线段于点，射线恰好经过点，作平分交于，，且恰好落在线段的延长线上，若，则到直线的距离是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设所求距离为h。如图：过点F作FI平行BD'，交HE与I，
CD折叠到C'D'位置，，，CD=C'D'=AB=5
可知(同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么一定也垂直于另一条）
∴FD'C'I是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形）
FI=D'C'，FD'=C'I。
在三角形ABH和C'BH中
∴三角形ABH≌三角形C'BH（AAS）
∴BC'=AB=5，AH=C'H
又∵AD∥BC
∴（两直线平行，内错角相等）
∴BE=EH(等角对等边)
∵且
∴
∴BH∥EF(内错角相等，两直线平行）
又HF∥BE
∴四边形BHFE是平行四边形。
∴BH=EF BE=HF=2HG
∵且BC'=AB=C'D'=5 即HE是BD'的垂直平分线，
∴BH=HD'
∴BH=HD'=EF
在RtHC'D'和RtEIF中，
∴RtHC'D'≌RtEIF(HL)
∴C'I=IE
在三角形HGC'和三角形FGD'中，
∴三角形HGC'≌三角形FGD'(ASA)
∴FD'=HC'即FD'=HC'=C'I=IE
设C'H=x，则BE=EH=HC'+C'I+IE=3x，C'E=C'I+IE=2x
在RtBC'E中，根据勾股定理，，解得x=1
∴
∵S△HFD'=2S△HGD'
∴
∴
故答案为：
【分析】由问题入手，F到D'H的距离，就是三角形HFD'的高，此时底是HD'，如果知道面积和底，高可求。面积是三角形HGD'的2倍.按照这个思路，已知AB，易证HD'=BH，须知HC'长。由当前已知条件很难求得HC'。已知AB，还有勾股定理可用，已知的线段与HC'没有直接的和差倍半关系，我们想到旋转或平移试试。尝试如图，显而易见，HC'=FD'=C'I，在三角形BEC'中用勾股定理，求出HC'，至此可整理思路，写出全过程。
三、作图题
14．（2023八下·无为期末）如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）：
（1）在图1中，作出的角平分线；
（2）在图2中，作出的角平分线．
【答案】（1）解：如图1所示：即为的平分线；
（2）解：如图2所示，为的角平分线；
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)、两直线平行内错角相等∠DAC＝∠ACB，∵AE=EC ∴∠CAE=∠ACB ∴∠DAC=∠CAE，AC平分∠DAE .
(2) 平行四边形对角线互相平分，找到对角线交点，该交点是等腰三角形底边上的中点，同时等腰三角形三线合一，也是顶角平分线。
四、解答题
15．（2023八下·泗水期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点到直线：的距离；
（2）直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离．
【答案】（1）解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：
．
（2）解：∵直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
当时，，即点在直线上，
∵直线：，其中，，
∴点到直线的距离为：．
∴、这两条平行直线之间的距离为．
【知识点】一次函数图象与几何变换；点到直线的距离；平行线之间的距离
【解析】【分析】
(1)运用点到直线的距离公式进行计算即可；
(2)先求出L2解析式，并写出L2上一点坐标，再求出此点到L1的距离即可。
16．（2023八下·新城期末）如图，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是轴上一点，点是直线上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入中，得，
则，
直线：；
将代入中，得，
则，
直线：；
（2）解：令，则，
，
设，，
如图，，
点、、、为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
，
综上，满足条件的点坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式可求出b和k的值，可得到直线l1、l2的函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点C的坐标，设，，利用平行四边形的性质分情况讨论：当AQ为对角线时；当AP为对角线时；分别求出点Q的坐标.
17．（2023八下·海曙期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F、G分别是OD、AB的中点，且BC＝，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝ BD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝2AD，∴AD＝DO，
∴BC＝BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE＝ ∠OBC，
∴∠OBE＝ ∠ADO
（2）解：①证明：∵BC＝BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，∴EG＝ AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝ CD ∴EG＝EF
∴△EFG是等腰三角形；
②解：由①得EF∥AB，EF=EG=BG
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠ABE=∠GFE=45°，
∵BE⊥AC∴AE＝BE，
设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，
∴BE＝AE＝3x，
在Rt△BEC中，BC＝10，
∴EC2+BE2＝BC2，
即x2+（3x）2＝10，解得x＝1，
∴AC＝4，BE＝3，∴S ABCD＝2S△ABC＝12．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝ BD，利用平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC，由BD＝2AD，可得AD=BC＝BO=OD，利用等腰三角形三线合一的性质可得∠OBE＝ ∠OBC= ∠ADO；
（2）①利用等腰三角形三线合一的性质可得EB⊥CO，即得∠BEA＝90°，根据直角三角形斜边上的中线及平行四边形的性质可得EG＝ AB=CD，利用三角形中位线定理可得EF＝ CD ，即得EG＝EF，根据等腰三角形的判定即得结论；②先证四边形BEFG是平行四边形，可得∠ABE=∠GFE=45°，由BE⊥AC可得AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，由EC2+BE2＝BC2，建立关于x方程并解之，即得AC、BE的长，根据S ABCD＝2S△ABC＝即可求解.
五、综合题
18．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
【答案】（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO
（2）△PAB
（3）解：能。连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）∵m∥n，
∴点C，P到直线n的距离与点A，B到直线m的距离相等.
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图1中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB，△BCP与
△APC，△ACO与△BPO.
故答案为△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO.
（2）∵m∥n，点C，P到直线n的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等。
故答案为△PAB。
【分析】(1) 根据直线m∥n， 利用同底等高的三角形的面积相等和面积的和差关系分别找出面积相等的三角形即可；
(2)根据平行线间的距离相等，利用同底等高的三角形的面积相等即可作答；
(3) 连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，利用(1)的△ACO与△BPO 面积相等的原理，即可说明.
19．（2017八下·禅城期末）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．
（1）如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；
（3）如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）
【答案】（1）解：∵点O是BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四边形ABCD，
∴S四边形ABCO= S四边形ABCD．
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
设AE交OC于F．
∵OE∥AC，
∴S△AOE=S△COE，
∴S△AOF=S△CEF，
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．
（2）解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG．
设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．
（3）解：如图3，
连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，
理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），
∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，
∴S△CDE=S△CEF，
∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE．
即：直路左边的土地面积与原来一样多．
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】（1）首先作AH⊥BC，垂足为H．依据三角形的面积公式可得到S△ABD=BD AH，S△ADC=DC AH，然后结合条件BD=CD，可得到S△ABD=S△ADC，再判断出S四边形ABCO=S四边形ABCD，进而判断出S△AOE=S△COE，推出S△AOF=S△CEF，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；
（2）首先连接EF，FG，然后过点A作EF的平行线交CD于点G，由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”，
（3）首先连接CE，EF，然后过点D作DF∥EC交CM于F，然后依据夹在平行线间的距离处处相等得出DG=FH，于是可得到S△CDE=S△CEF.
20．（2023八下·吉安期末）如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
【答案】（1）解：，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）解：∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2t，AQ=6-t，由∠A=60°，当AP=AQ时，△PAQ是等边三角形，据此列出方程并解之即可；
（2）由∠A=60°，当 △PAQ是直角三角形 ，可分两种情况： 或， 根据直角三角形的性质分别解答即可.
21．（2023八下·涪陵期末）如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
（1）如图，若，，求的长度；
（2）如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．
（3）如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：过点E作，垂足为H，
∵在平行四边形中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，即：
∴，，
∴在中，，
∴
（2）证明：延长、交于点M，在上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）方法1：延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，
∴，
由平移可知，，且，
∵，，由（1）可知，
∴是等边三角形，，，
∴在平行四边形是菱形，，
∴，
∵在等边中，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
过点Q作，垂足为H，
∵在等边中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴当，，三点共线时，取得最小值，
此时，如图，
∵当，，三点共线时，交BD于K，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即：当平移将沿射线方向平移个单位时，，，三点共线，此时，值最小，
∴最小值为：．
方法2：如图，与交于点M，连接、、、取BC的中点，连接、，作，
由方法1可知：，，
∴，，
∴，，
∴，，
由平移可知，，且，
又∵在平行四边形中，，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵由方法1可知：平行四边形是菱形，
∴垂直平分线，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴当A、M、N三点共线时，最小，此时最小，最小值为．
【分析】（1）如图所示， ：过点E作，垂足为H， 在Rt△EBH中，根据BE=2，可求得BH=1，EH=，然后在Rt△EAH中，根据勾股定理，可求得AH=，从而得出AB=-1；
（2） 延长、交于点M，在上取点N，使，先证明△DMG是等边三角形，可以得出DG-BG=DM-MN =DN，所以只需证明DN=2DH即可，再根据SAS证明 ，得出BD=NG，由（1）知：AD=BD。所以AD=GN，又根据角之间的关系可以得出∠ADH=∠GNH，从而根据AAS可证△ADH≌△GNH，从而得出DH=NH，即DN=2DH，然后等量代换，即可得出结论；
（3）延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，可证，得出CD'=CM，从而把CD'+CA'转化为：CM+CA'，所以当A'，C，M三点共线时，CM+CA'的值最小，此时的最小值为A'M，且A'M=AQ，根据勾股定理可求得， 即的最小值为
22．（2023八下·乐清期中）如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
【答案】（1）解：AF=FC，理由如下：
∵四边ABCD是平行四边形，
∴AD= BC，AD∥BC，
∴∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，
∵PD= BH，
∴AD-PD=BC-BH，
即AP=HC ，
∴△APF≌△CHF(ASA)，
∴AF=FC；
（2）解：将x=0代入y=-2x+12得y=12，即AD=12；
把y=0代入y=-2x+12得x=6，即MN=6；
∴AB=AD= 12，
∴AM+BN=12-6= 6，
∵AM=5BN ，
∴5BN+BN=6，
∴BN= 1；
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，
由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=12，
∴FA=FC=6，
，，
∵＞0，∴当x=2时，△FQH的面积最小为.
故答案为：.
【分析】（1）AF=FC，理由如下：由平行四边形的对边平行且相等得AD= BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，根据等量减去等量差相等得AP=CH，从而用AAS判断出△APF≌△CHF，根据全等三角形对应边相等得AF=FC；
（2）将x=0与y=0分别代入y=-2x+12算出对应的y与x的值，即可得出AD与MN的长，进而根据线段的和差可得AM+BN= 6，再将AM=5BN代入即可求出BN的长；
（3）连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，易得△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质及含30度角直角三角形的性质表示出QT，FJ、FK的长，进而根据建立出函数关系式，结合函数的性质即可解决此题.
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