【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.3 中心对称
一、选择题
1．（2023八下·青岛期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．图甲和图乙中所有的小正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形．这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023八下·临渭期末）如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023八下·东阳期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
5．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
6．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
7．（2022八下·北仑期中）如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
8．（2019八下·吉安期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
9．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对称中心O，若AE=2 cm，四边形AEFB的面积为12 cm2，则CF= ，四边形ABCD的面积为 .
三、作图题
10．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O或中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边）．
①在图中画出点A′，并写出点A′坐标 ．
②写出a的取值范围为 ．
11．（2023九上·吉林月考）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A和点B均在格点上．
（1）在图①中画出以AB为边的四边形ABCD，要求该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C和点D均在格点上（画出一个即可） ；
（2）在图②中画出以AB为边的四边形ABEF，要求该四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
12．（2023·松原模拟） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为点、都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中以线段为边画一个等腰三角形；
（2）在图中以线段为边画一个轴对称的四边形；
（3）在图中以线段为边画一个中心对称的四边形，使其面积为．
13．（2023八下·东阳期末）在的方格中，选择个小方格涂上阴影，请仔细观察图中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 填写序号；
它们都是 图形填写“中心对称”或“轴对称”；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性．
14．（2022·平房模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出关于点D成中心对称的（点A的对称点是点M，点B的对称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为斜边的，且，点G在小正方形的顶点上．连接NG，请直接写出线段NG的长．
四、综合题
15．（2022八下·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为，．
（1）若将线段AB经过一次平移后得到对应线段，点的坐标为，请直接写出点的坐标；并直接写出线段AB上的点的对应点的坐标（用含a，b的代数式表示）（不需要在答题卡上画图）；
（2）直接写出（1）中线段AB经过一次平移得到线段的平移距离；
（3）若在平面直角坐标系中线段AB关于原点O成中心对称的线段是，请直接写出点的坐标（不需要在答题卡上画图）
16．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有 条，它们的共同特点是经过 的交点。
17．（2022·云冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请调出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
（2）请画出与△ABC关于原点对称的；
（3）直接写出，两点的坐标．
18．（2019八上·武汉月考）已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若 ，直接写出 ＝ .
19．（2016·义乌）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
20． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得线段可以看作是线段a经过1次中心对称和2次轴对称变化得到，
∴正确的结论为①③，
故答案为：C
【分析】根据轴对称和中心对称的性质结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图甲中的正方形放在图乙中的③的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在③的位置.
故选C.
【分析】中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转180°，两部分能完全重合；接下来试着将图1的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可.
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接AA'，BB’可得它们的交点为：（-1，0），如下图：
∵成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，
∴中心对称的坐标为 ：（-1，0）
故答案为：B.
【分析】根据成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵点B、C、A的对称点分别是点E、F、D，
∴连接BE，AD，CF，这三条线段都经过点I，
∴ 其对称中心是点I.
故答案为：C
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心，据此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
设图形①的长和宽分别为a，c，图形②的边长为b，图形③的边长为d，
∵ 只知道原住房平面图长方形的周长，
∴ 2（a+2b+c）为已知数，即为C，
由图形可知：，
则a-b=b-c，即a+c=2b，
将其代入C=2（a+2b+c），
可得C=8b=4（a+c），
图形①的周长=2（a+c）=，
图形②的周长=4b=，
图形③的周长=4d，
∴ 图形①②的周长不用测量就能知道，图形③的周长不测量无法知道.
故答案为：A.
【分析】设图形①的长和宽分别为a，c，图形②的边长为b，图形③的边长为d，表示出原住房平面图长方形的周长C=2（a+2b+c），再根据图形得到等量关系从而得到a+c=2b，推出C=8b=4（a+c），可判断出图形①②的周长均为，而图形③的周长不测量无法知道.
6．【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
7．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴△DEC≌△ABC，
∵AB=3，AC=1，
∴DE=3，CD=1，
∴AD=2，
又∵∠D=90°，
∴AE===.
故答案为：.
【分析】根据成中心对称图形的性质可得△DEC≌△ABC，由全等性质得DE=3，CD=1，从而得AD=2，再由勾股定理求得AE的长度即可.
8．【答案】6
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
9．【答案】2cm；24cm2
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】连接CA、BD，
∵直线EF经过平行四边形ABCD的对称中心O，
∴CA和BD相交于点O
四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD∥BC
∴∠EAO=∠FCO
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF=2cm
同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，
∵四边形AEFB的面积为12 cm2，
∴S四边形ABCD=2S四边形AEFB=2×12=24
故答案为：2cm，24cm2
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可知对角线交点就是点O，可证得△AOE≌△COF，就可求出CF的长；再根据中心对称图形的性质得出四边形ABCD的面积等于四边形AEFB的面积的2倍，即可求出结果。
10．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（﹣2，2）；4＜a＜6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，点A′的坐标为（﹣2，2）；
②观察图形可知：A′A1=4，点A′到BC的距离为6，所以4＜a＜6，
故答案为：①（﹣2，2）；②4＜a＜6
【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，先分别作出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接，即可解答。
（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可解答；②利用平移的性质，结合已知求出A′A1及点A′到BC的距离，就可得出a的取值范围。
11．【答案】（1）解：如图①所示，四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图②所示，四边形ABEF即为所求．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图即可；
（2）同理，根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图。
12．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求；
（3）解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据题意作四边形即可；
（3）根据题意要求作四边形求解即可。
13．【答案】（1）①③⑤；轴对称；
（2）解：如图所示，
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：(1)该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形；该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形；该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形，
选出的三个图案是；它们都是轴对称图形，
故答案为：；轴对称.
【分析】(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
(2)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
14．【答案】（1）解：如图，为所求作图形；
（2）解：如图，为所求作图形；
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：(1)，
在图上找到对应的点连线
【分析】（1）根据中心对称图形定义作出即可；
（2）先求出，再利用勾股定理求出NG的长即可。
15．【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）由题意得：点是由点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到，∴点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到点，点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到点．
（2）由（1）可得线段，连接，如图所示：
∴线段的平移距离为：．
（3）如上图所示：∵平面直角坐标系中线段AB关于原点O成中心对称的线段是，且，∴点的坐标为：．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据中心对称的性质求点的坐标即可。
16．【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
17．【答案】（1）解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的
∴，，，
即，，
如下图所示，为所求作的图形；
（2）解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为，，，和关于原点对称
∴，，
如下图所示，为所求作的图形；
（3）解：，
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据（1）和（2）的结论，得，．
【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称图形的定义找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出点和的坐标即可。
18．【答案】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝45°﹣ ，∠ADC＝90°﹣ ，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；
（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC ∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P. ∴EP＝DP， ∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称， ∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（SAS） ∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°， ∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴△PHC≌△PGC（AAS） ∴PH＝PG，且EP＝DP， ∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL）， ∴∠EPG＝∠HPD， ∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC， ∴∠HPG＝90°， ∴∠EPG+∠EPH＝90°， ∴∠DPH+∠EPH＝90°即∠DPE＝90° ∴△PDE为直角三角形；；8
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②如图2，
∵ ，
∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，
∴AB＝AC＝4 a，
∴CD＝4 a，
∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，
∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴CH＝HP＝CG＝GP＝ a，
∴DH＝CD﹣CH＝ a，
∵Rt△PEG≌Rt△PDH，
∴EG＝DH＝ a，
∴EC＝EG﹣CG＝ a，
∴AE＝ a，
∴ ＝ ＝8，
故答案为8.
【分析】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝45°﹣ ，∠ADC＝90°﹣ ，即可求解；（2）①如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证△AOB≌△COD，可得AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，由“AAS”可证△PHC≌△PGC，可得PH＝PG，由“HL”可证Rt△PEG≌Rt△PDH，可得∠EPG＝∠HPD，即可得结论；②设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝CD＝4 a，CH＝HP＝CG＝GP＝ a，可求AE，EC的长，由三角形的面积公式可求解.
19．【答案】（1）解：∵点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），点A的坐标为（1，0），
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为（2，2），点A经2次平移后得到的点的坐标（3，4）
（2）解：①连接CM，如图1：
由中心对称可知，AM=BM，
由轴对称可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：
∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为（13，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得： ，
解得： ，
∴y=﹣x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答．（1）根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；（2）①连接CM，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
20．【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.3 中心对称
一、选择题
1．（2023八下·青岛期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得线段可以看作是线段a经过1次中心对称和2次轴对称变化得到，
∴正确的结论为①③，
故答案为：C
【分析】根据轴对称和中心对称的性质结合题意即可求解。
2．图甲和图乙中所有的小正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形．这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图甲中的正方形放在图乙中的③的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在③的位置.
故选C.
【分析】中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转180°，两部分能完全重合；接下来试着将图1的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可.
3．（2023八下·临渭期末）如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接AA'，BB’可得它们的交点为：（-1，0），如下图：
∵成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，
∴中心对称的坐标为 ：（-1，0）
故答案为：B.
【分析】根据成中心对称的两个图形，对应点连线必过对称中心，据此判断.
4．（2023八下·东阳期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵点B、C、A的对称点分别是点E、F、D，
∴连接BE，AD，CF，这三条线段都经过点I，
∴ 其对称中心是点I.
故答案为：C
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心，据此可得答案.
5．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
设图形①的长和宽分别为a，c，图形②的边长为b，图形③的边长为d，
∵ 只知道原住房平面图长方形的周长，
∴ 2（a+2b+c）为已知数，即为C，
由图形可知：，
则a-b=b-c，即a+c=2b，
将其代入C=2（a+2b+c），
可得C=8b=4（a+c），
图形①的周长=2（a+c）=，
图形②的周长=4b=，
图形③的周长=4d，
∴ 图形①②的周长不用测量就能知道，图形③的周长不测量无法知道.
故答案为：A.
【分析】设图形①的长和宽分别为a，c，图形②的边长为b，图形③的边长为d，表示出原住房平面图长方形的周长C=2（a+2b+c），再根据图形得到等量关系从而得到a+c=2b，推出C=8b=4（a+c），可判断出图形①②的周长均为，而图形③的周长不测量无法知道.
二、填空题
6．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
7．（2022八下·北仑期中）如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴△DEC≌△ABC，
∵AB=3，AC=1，
∴DE=3，CD=1，
∴AD=2，
又∵∠D=90°，
∴AE===.
故答案为：.
【分析】根据成中心对称图形的性质可得△DEC≌△ABC，由全等性质得DE=3，CD=1，从而得AD=2，再由勾股定理求得AE的长度即可.
8．（2019八下·吉安期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】6
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
9．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对称中心O，若AE=2 cm，四边形AEFB的面积为12 cm2，则CF= ，四边形ABCD的面积为 .
【答案】2cm；24cm2
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】连接CA、BD，
∵直线EF经过平行四边形ABCD的对称中心O，
∴CA和BD相交于点O
四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD∥BC
∴∠EAO=∠FCO
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF=2cm
同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，
∵四边形AEFB的面积为12 cm2，
∴S四边形ABCD=2S四边形AEFB=2×12=24
故答案为：2cm，24cm2
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可知对角线交点就是点O，可证得△AOE≌△COF，就可求出CF的长；再根据中心对称图形的性质得出四边形ABCD的面积等于四边形AEFB的面积的2倍，即可求出结果。
三、作图题
10．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O或中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边）．
①在图中画出点A′，并写出点A′坐标 ．
②写出a的取值范围为 ．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（﹣2，2）；4＜a＜6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，点A′的坐标为（﹣2，2）；
②观察图形可知：A′A1=4，点A′到BC的距离为6，所以4＜a＜6，
故答案为：①（﹣2，2）；②4＜a＜6
【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，先分别作出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接，即可解答。
（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可解答；②利用平移的性质，结合已知求出A′A1及点A′到BC的距离，就可得出a的取值范围。
11．（2023九上·吉林月考）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A和点B均在格点上．
（1）在图①中画出以AB为边的四边形ABCD，要求该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C和点D均在格点上（画出一个即可） ；
（2）在图②中画出以AB为边的四边形ABEF，要求该四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
【答案】（1）解：如图①所示，四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图②所示，四边形ABEF即为所求．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图即可；
（2）同理，根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图。
12．（2023·松原模拟） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为点、都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中以线段为边画一个等腰三角形；
（2）在图中以线段为边画一个轴对称的四边形；
（3）在图中以线段为边画一个中心对称的四边形，使其面积为．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求；
（3）解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据题意作四边形即可；
（3）根据题意要求作四边形求解即可。
13．（2023八下·东阳期末）在的方格中，选择个小方格涂上阴影，请仔细观察图中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 填写序号；
它们都是 图形填写“中心对称”或“轴对称”；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性．
【答案】（1）①③⑤；轴对称；
（2）解：如图所示，
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：(1)该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形；该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形；该图案是轴对称图形；该图案是中心对称图形，
选出的三个图案是；它们都是轴对称图形，
故答案为：；轴对称.
【分析】(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
(2)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
14．（2022·平房模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出关于点D成中心对称的（点A的对称点是点M，点B的对称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为斜边的，且，点G在小正方形的顶点上．连接NG，请直接写出线段NG的长．
【答案】（1）解：如图，为所求作图形；
（2）解：如图，为所求作图形；
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：(1)，
在图上找到对应的点连线
【分析】（1）根据中心对称图形定义作出即可；
（2）先求出，再利用勾股定理求出NG的长即可。
四、综合题
15．（2022八下·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为，．
（1）若将线段AB经过一次平移后得到对应线段，点的坐标为，请直接写出点的坐标；并直接写出线段AB上的点的对应点的坐标（用含a，b的代数式表示）（不需要在答题卡上画图）；
（2）直接写出（1）中线段AB经过一次平移得到线段的平移距离；
（3）若在平面直角坐标系中线段AB关于原点O成中心对称的线段是，请直接写出点的坐标（不需要在答题卡上画图）
【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）由题意得：点是由点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到，∴点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到点，点先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到点．
（2）由（1）可得线段，连接，如图所示：
∴线段的平移距离为：．
（3）如上图所示：∵平面直角坐标系中线段AB关于原点O成中心对称的线段是，且，∴点的坐标为：．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（3）根据中心对称的性质求点的坐标即可。
16．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有 条，它们的共同特点是经过 的交点。
【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
17．（2022·云冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请调出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
（2）请画出与△ABC关于原点对称的；
（3）直接写出，两点的坐标．
【答案】（1）解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的
∴，，，
即，，
如下图所示，为所求作的图形；
（2）解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为，，，和关于原点对称
∴，，
如下图所示，为所求作的图形；
（3）解：，
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】根据（1）和（2）的结论，得，．
【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称图形的定义找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出点和的坐标即可。
18．（2019八上·武汉月考）已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若 ，直接写出 ＝ .
【答案】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝45°﹣ ，∠ADC＝90°﹣ ，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；
（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC ∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P. ∴EP＝DP， ∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称， ∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（SAS） ∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°， ∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴△PHC≌△PGC（AAS） ∴PH＝PG，且EP＝DP， ∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL）， ∴∠EPG＝∠HPD， ∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC， ∴∠HPG＝90°， ∴∠EPG+∠EPH＝90°， ∴∠DPH+∠EPH＝90°即∠DPE＝90° ∴△PDE为直角三角形；；8
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②如图2，
∵ ，
∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，
∴AB＝AC＝4 a，
∴CD＝4 a，
∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，
∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴CH＝HP＝CG＝GP＝ a，
∴DH＝CD﹣CH＝ a，
∵Rt△PEG≌Rt△PDH，
∴EG＝DH＝ a，
∴EC＝EG﹣CG＝ a，
∴AE＝ a，
∴ ＝ ＝8，
故答案为8.
【分析】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝45°﹣ ，∠ADC＝90°﹣ ，即可求解；（2）①如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证△AOB≌△COD，可得AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，由“AAS”可证△PHC≌△PGC，可得PH＝PG，由“HL”可证Rt△PEG≌Rt△PDH，可得∠EPG＝∠HPD，即可得结论；②设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝CD＝4 a，CH＝HP＝CG＝GP＝ a，可求AE，EC的长，由三角形的面积公式可求解.
19．（2016·义乌）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
【答案】（1）解：∵点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），点A的坐标为（1，0），
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为（2，2），点A经2次平移后得到的点的坐标（3，4）
（2）解：①连接CM，如图1：
由中心对称可知，AM=BM，
由轴对称可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：
∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为（13，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得： ，
解得： ，
∴y=﹣x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答．（1）根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；（2）①连接CM，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
20． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
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