【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定
一、选择题
1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
2．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
3．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
4．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
5．（2021八下·杭州期末）如图，在 中， 分别是 边的中点， 是对角线 上的两点，且 .有下列结论：① ；② ；③四边形 是平行四边形；④ .则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形以及平行线的性质可得∠GBF=∠HDE，然后证明△GBF≌△HDE，得到GF=EH，∠BGF=∠DHE，推出四边形EGFH是平行四边形，据此判断即可.
二、填空题
6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
7．（2019·伊春）如图，在四边形 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件： ．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理，可进行添加条件。
8．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ，点 是对角线 与 的交点，且 ，请再添加一个条件，使得四边形 成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达）
【答案】OB=OD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
三、作图题
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．
（1）在图1中画出一个 ABCD；
（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．
【答案】（1）解：如图1： ABCD即为所求；
（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；
（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。
11．（2023九上·江岸月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）判断四边形的形状；
（2）在图中，先在上画点，使，再在上画点，使；
（3）在图中的上画点，使．
【答案】（1）解：，，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图中，点，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对边相等且平行的四边形为平行四边形，据此即可得证；
（2）按照题意，画出合适的线段使得，即可；
（3）按照题意，画出合适的线段使得，即可；
12．（2023九上·潼南月考）是平行四边形的对角线，平分，交于点
（1）请用尺规作的平分线，交于点（只保留作图痕迹，不写结论，不写作法）
（2）根据图形，证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空
证明：四边形是平行四边形
▲ （两直线平行，内错角相等）
平分平分
▲ ， ▲
▲ ▲
又四边形是平行四边形
四边形是平行四边形 ▲ （填推理的依据）
【答案】（1）解：
（2）解：证明：四边形是平行四边形
（两直线平行，内错角相等）
平分平分
，
又四边形是平行四边形
四边形是平行四边形 ▲ （填推理的依据）
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图步骤：以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交CD、BC于两点M、N，以这两点为圆心，大于为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点E；
（2）根据平行四边形的性质得到AB//CD，∠BAD=∠BCD，进一步得到∠ECF=∠BFC，再根据角平分线的定义得到由此可得∠EAF=∠BFC，进一步得AE//CF，再结合CE//AF可判断四边形AECF为平行四边形.
四、解答题
13．（2023·镇江）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）解：如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据B是线段AC的中点，可得到AB＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠BCD，然后根据平行线的判定定理得到BE∥CD，再根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答．
14．（2023九上·西安开学考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，延长到，使，连接、、求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
是边上的中线，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接DF，根据中点的性质可得：，，又根据平行四边形的性质可得：且，可证得，，从而证得：四边形是平行四边形.
15．（2023九上·永修期中） 如图，矩形中，点P，Q分别为边上的点，．BD平分．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，进而根据角平分线的性质等角对等边得出，即可得证；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解．
16．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
17．（2023八下·裕华期末）如图， 中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
【答案】（1）3
（2）解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1） 方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
故答案为：3.
【分析】（1）方案甲：连接，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故正确；方案乙： 证明≌，可得AN=CM，结合AN∥CM，可证四边形为平行四边形，故正确；方案丙：证明≌，可得，，则， 可得AN∥CM，从而证四边形为平行四边形，故丙正确.
（2）利用（1）选择一种证明即可.
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定
一、选择题
1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
2．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
3．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
5．（2021八下·杭州期末）如图，在 中， 分别是 边的中点， 是对角线 上的两点，且 .有下列结论：① ；② ；③四边形 是平行四边形；④ .则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
7．（2019·伊春）如图，在四边形 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
8．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ，点 是对角线 与 的交点，且 ，请再添加一个条件，使得四边形 成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达）
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
三、作图题
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．
（1）在图1中画出一个 ABCD；
（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．
11．（2023九上·江岸月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）判断四边形的形状；
（2）在图中，先在上画点，使，再在上画点，使；
（3）在图中的上画点，使．
12．（2023九上·潼南月考）是平行四边形的对角线，平分，交于点
（1）请用尺规作的平分线，交于点（只保留作图痕迹，不写结论，不写作法）
（2）根据图形，证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空
证明：四边形是平行四边形
▲ （两直线平行，内错角相等）
平分平分
▲ ， ▲
▲ ▲
又四边形是平行四边形
四边形是平行四边形 ▲ （填推理的依据）
四、解答题
13．（2023·镇江）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
14．（2023九上·西安开学考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，延长到，使，连接、、求证：四边形是平行四边形．
15．（2023九上·永修期中） 如图，矩形中，点P，Q分别为边上的点，．BD平分．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
16．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
17．（2023八下·裕华期末）如图， 中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案
（1）正确的方案有 种；
（2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形以及平行线的性质可得∠GBF=∠HDE，然后证明△GBF≌△HDE，得到GF=EH，∠BGF=∠DHE，推出四边形EGFH是平行四边形，据此判断即可.
6．【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
7．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件： ．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理，可进行添加条件。
8．【答案】OB=OD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
9．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
10．【答案】（1）解：如图1： ABCD即为所求；
（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；
（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。
11．【答案】（1）解：，，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图中，点，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对边相等且平行的四边形为平行四边形，据此即可得证；
（2）按照题意，画出合适的线段使得，即可；
（3）按照题意，画出合适的线段使得，即可；
12．【答案】（1）解：
（2）解：证明：四边形是平行四边形
（两直线平行，内错角相等）
平分平分
，
又四边形是平行四边形
四边形是平行四边形 ▲ （填推理的依据）
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图步骤：以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交CD、BC于两点M、N，以这两点为圆心，大于为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点E；
（2）根据平行四边形的性质得到AB//CD，∠BAD=∠BCD，进一步得到∠ECF=∠BFC，再根据角平分线的定义得到由此可得∠EAF=∠BFC，进一步得AE//CF，再结合CE//AF可判断四边形AECF为平行四边形.
13．【答案】（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）解：如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据B是线段AC的中点，可得到AB＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠BCD，然后根据平行线的判定定理得到BE∥CD，再根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答．
14．【答案】证明：连接，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
是边上的中线，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接DF，根据中点的性质可得：，，又根据平行四边形的性质可得：且，可证得，，从而证得：四边形是平行四边形.
15．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，进而根据角平分线的性质等角对等边得出，即可得证；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解．
16．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
17．【答案】（1）3
（2）解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1） 方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确．
故答案为：3.
【分析】（1）方案甲：连接，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故正确；方案乙： 证明≌，可得AN=CM，结合AN∥CM，可证四边形为平行四边形，故正确；方案丙：证明≌，可得，，则， 可得AN∥CM，从而证四边形为平行四边形，故丙正确.
（2）利用（1）选择一种证明即可.
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