【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定
一、选择题
1．（2023八下·祥云期末）如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·界首期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
3．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
4．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
5．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题
6．（2022八下·滨城期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
7．（2021八下·丹东期末）如图，四边形中，，cm，cm，点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段将四边形截出一个平行四边形时，此时的运动时间为 s．
8．（2019八下·中牟期末）如图，在 中， ， ， ，过点A作 且点F在点A的右侧.点D从点A出发沿射线AF方向以 /秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线EB方向以 /秒的速度运动，在线段PE上取点C，使得 ，设点D的运动时间为 秒.当 秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
9．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
10．（2023八下·富县期末）如图，在菱形中，线段在对角线上运动，，，，则周长的最小值为 ．
11．（2023八下·西安月考）如图，在 ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．
三、解答题
12．凸四边形ABCD满足∠CBD=2∠ADB，∠ABD=2∠CDB，AB=CB．求证AD=CD．
四、综合题
13．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
15．（2023八下·滨江期中）如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒．
（1） 含的代数式表示；
（2）如图2，连接，，，当时，求的面积；
（3）如图3，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为 .
16．（2023八下·揭东期末）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A： ，一组对边平行且相等才可证明是平行四边形，故不选
B：，可证得 AB//CD，进而证明是平行四边形，故正确
C：，邻边相等，不能证明是平行四边形，故不选
D：，只能证明 AD//BC ，不能证明其他，故不选
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的判断定理。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，描述正确，不选
B：一组对边平行、另一组对边相等的四边形，不一定是平行四边形，符合题意
C：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，描述正确，不选
D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，通过平行可以证得∠B=∠D，描述正确，不选
故答案为：B.
【分析】记牢平行四边形的判定方法，没有直接给的条件尝试间接证明。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
6．【答案】或或
【知识点】平行四边形的判定；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，
∴，
∵，且点M位于y轴正半轴，
∴，
∴
当时，，解得，
∴，
以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：
①，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
②，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
③，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
【分析】分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
7．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t，由题意可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，
∵AB∥CD
∴当四边形APQD是平行四边形时，DQ=AP，
∴t=6-2t，
解得t=2；
当四边形BPQC是平行四边形时，CQ=BP，
∴9-t=2t，
解得t=3，
∴当t=2或3时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【分析】设运动时间为t，可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，由AB∥CD
可知当DQ=AP或CQ=BP时，可截出一个平行四边形，据此分别建立方程并解答即可.
8．【答案】 或14
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①当点P在线段BE上时，
∵AF∥BE
∴当AD=BC时，此时四边形ABCD为平行四边形
由题意可知：AD=x，PE=2x
∵PC=2cm，
∴CE=PE－PC=（2x－2）cm
∴BC=BE－CE=（14－2x）cm
∴x=14－2x
解得：x= ；
②当点P在EB的延长线上时，
∵AF∥BE
∴当AD=CB时，此时四边形ACBD为平行四边形
由题意可知：AD=x，PE=2x
∵PC=2cm，
∴CE=PE－PC=（2x－2）cm
∴BC= CE－BE =（2x－14）cm
∴x=2x－14
解得：x=14；
综上所述：当 秒或14秒时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为： 秒或14秒.
【分析】根据点P所在的位置分①当点P在线段BE上时，②当点P在EB的延长线上时两类讨论，分别画出图形，利用平行四边形的对边相等列出方程，从而求出结论.
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH ∥BD，且使得AH=EF=1，连接CH交BD于点F，连接AC，
∵AH=EF，AH∥BD，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵AH∥BD，
∴AC⊥AH，
在中，由勾股定理得，
，
∴AE+AF的最小值为，
∴△AEF的周长最小值为.
故答案为：.
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形EFHA是平行四边形，由平行四边形的对边相等得EA=FH ，根据菱形的对称性得FA=FC，则AE+AF=FH+CF=CH，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；再根据菱形的性质及平行线的性质证得AC⊥AH，判断出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理可得答案.
11．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=3cm，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，当点Q从C到B过程中，
则AP=0.5t，CQ=t，PD=3-0.5t，BQ=3-t，
∴3-0.5t=3-t，
解得：t=0，不合题意；
当点P到达B返回过程中，PD=3-0.5t，BQ=t-3，
∴3-0.5t=t-3，
解得：t=4，
∴当运动时间为4时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 ；
故答案为：4.
【分析】由PD∥BQ，可知以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分两种情况：当点Q从C到B过程中和当点P到达B返回过程中，据此分别列出方程并求解即可.
12．【答案】证明：如图，延长DB至点P，使BP=AB，连接AP， CP，则∠CPD =∠CBD=∠ADB，
∠APD=∠ABD=∠CDB，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴PD平分AC．
∵AB=BC，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD=∠CDB，
∴DB是∠ADC的平分线．
又∵BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AD=CD．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】要证 AD=CD ，可证△ADB≌△CDB，题目已知 AB=CB ，又因为公共边BD=BD ,还需证得全等条件∠ABD=∠CBD.通过延长DB至点P，使BP=AB，可得∠CPD =12∠CBD=∠ADB，∠APD=12∠ABD=∠CDB，所以AP//CD,AD//PC,四边形APCD为平行四边形，那么PD平分AC，根据”三线合一“可知，BD也是等腰△ABC顶角平分线，所以∠ABD=∠CBD，于是可证△ADB≌△CDB，故得证 AD=CD.
13．【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
14．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
15．【答案】（1）4-t(0＜t≤2）
（2）解：如图2中，
四边形BPDQ是平行四边形，
∴，，
∵，
四边形APQD是平行四边形，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，∠A=30°，
∴BC=AB=4，AC=，
由题意得CQ=t，
∴BQ=4-t（0＜t≤2）；
故答案为：4-t（0＜t≤2）；
（3）如图2，∵BP=4t，AB=8，
∴AP=8-4t，
在Rt△APE中，∠A=30°，
∴PE=PA=4-2t，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PD=BQ=4-t，
∴DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，
∵∠EFD=∠CFQ，∠D=∠CQF，
∴△EFD≌△CFQ（AAS），
∴EF=CF；
如图3，当D'与Q重合，
由对称性质得PD=PQ，
∴PQ=BQ，
∵∠A=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴4t=4-t，
∴t=；
如图4，点D'在斜边AB上，
由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，
∵∠PDF=∠B=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，
∴4-t=2t，
解得t=，
∴t的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据含30°角直角三角形性质得BC=4，根据路程、速度和时间的关系可得CQ=t，进而根据BQ=BC-CQ可得答案；
（2）根据四边形BPDQ是平行四边形，证明四边形APQD是平行四边形，可得t=1，再用AAS证明△EFD ≌△CFO，得FD=FQ，EF=CF=，最后利用三角形的面积公式可解答；
(3)易得BP=4t，则AP=8-4t，由含30°角直角三角形的性质得PE=PA=4-2t，由平行四边形性质得PD=BQ=4-t，则DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，由AAS证△EFD≌△CFQ，得EF=CF；如图3，当D'与Q重合，由对称性质得PD=PQ，推出PQ=BQ，进而判断出△PBQ是等边三角形，得PB=BQ，据此建立方程求解可得t的值；如图4，点D'在斜边AB上，由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，进而判断出△PDF是等边三角形，得PD=DF，据此建立方程，求解可得t的值，综上即可得出答案.
16．【答案】（1）解：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）结论成立，
理由如下：如图2，过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；
（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；
（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定
一、选择题
1．（2023八下·祥云期末）如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A： ，一组对边平行且相等才可证明是平行四边形，故不选
B：，可证得 AB//CD，进而证明是平行四边形，故正确
C：，邻边相等，不能证明是平行四边形，故不选
D：，只能证明 AD//BC ，不能证明其他，故不选
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的判断定理。
2．（2023八下·界首期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，描述正确，不选
B：一组对边平行、另一组对边相等的四边形，不一定是平行四边形，符合题意
C：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，描述正确，不选
D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，通过平行可以证得∠B=∠D，描述正确，不选
故答案为：B.
【分析】记牢平行四边形的判定方法，没有直接给的条件尝试间接证明。
3．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
4．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
5．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
二、填空题
6．（2022八下·滨城期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】或或
【知识点】平行四边形的判定；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，
∴，
∵，且点M位于y轴正半轴，
∴，
∴
当时，，解得，
∴，
以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：
①，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
②，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
③，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
【分析】分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
7．（2021八下·丹东期末）如图，四边形中，，cm，cm，点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段将四边形截出一个平行四边形时，此时的运动时间为 s．
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t，由题意可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，
∵AB∥CD
∴当四边形APQD是平行四边形时，DQ=AP，
∴t=6-2t，
解得t=2；
当四边形BPQC是平行四边形时，CQ=BP，
∴9-t=2t，
解得t=3，
∴当t=2或3时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【分析】设运动时间为t，可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，由AB∥CD
可知当DQ=AP或CQ=BP时，可截出一个平行四边形，据此分别建立方程并解答即可.
8．（2019八下·中牟期末）如图，在 中， ， ， ，过点A作 且点F在点A的右侧.点D从点A出发沿射线AF方向以 /秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线EB方向以 /秒的速度运动，在线段PE上取点C，使得 ，设点D的运动时间为 秒.当 秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】 或14
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①当点P在线段BE上时，
∵AF∥BE
∴当AD=BC时，此时四边形ABCD为平行四边形
由题意可知：AD=x，PE=2x
∵PC=2cm，
∴CE=PE－PC=（2x－2）cm
∴BC=BE－CE=（14－2x）cm
∴x=14－2x
解得：x= ；
②当点P在EB的延长线上时，
∵AF∥BE
∴当AD=CB时，此时四边形ACBD为平行四边形
由题意可知：AD=x，PE=2x
∵PC=2cm，
∴CE=PE－PC=（2x－2）cm
∴BC= CE－BE =（2x－14）cm
∴x=2x－14
解得：x=14；
综上所述：当 秒或14秒时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为： 秒或14秒.
【分析】根据点P所在的位置分①当点P在线段BE上时，②当点P在EB的延长线上时两类讨论，分别画出图形，利用平行四边形的对边相等列出方程，从而求出结论.
9．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
10．（2023八下·富县期末）如图，在菱形中，线段在对角线上运动，，，，则周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH ∥BD，且使得AH=EF=1，连接CH交BD于点F，连接AC，
∵AH=EF，AH∥BD，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵AH∥BD，
∴AC⊥AH，
在中，由勾股定理得，
，
∴AE+AF的最小值为，
∴△AEF的周长最小值为.
故答案为：.
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形EFHA是平行四边形，由平行四边形的对边相等得EA=FH ，根据菱形的对称性得FA=FC，则AE+AF=FH+CF=CH，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；再根据菱形的性质及平行线的性质证得AC⊥AH，判断出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理可得答案.
11．（2023八下·西安月考）如图，在 ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=3cm，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，当点Q从C到B过程中，
则AP=0.5t，CQ=t，PD=3-0.5t，BQ=3-t，
∴3-0.5t=3-t，
解得：t=0，不合题意；
当点P到达B返回过程中，PD=3-0.5t，BQ=t-3，
∴3-0.5t=t-3，
解得：t=4，
∴当运动时间为4时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 ；
故答案为：4.
【分析】由PD∥BQ，可知以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分两种情况：当点Q从C到B过程中和当点P到达B返回过程中，据此分别列出方程并求解即可.
三、解答题
12．凸四边形ABCD满足∠CBD=2∠ADB，∠ABD=2∠CDB，AB=CB．求证AD=CD．
【答案】证明：如图，延长DB至点P，使BP=AB，连接AP， CP，则∠CPD =∠CBD=∠ADB，
∠APD=∠ABD=∠CDB，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴PD平分AC．
∵AB=BC，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD=∠CDB，
∴DB是∠ADC的平分线．
又∵BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AD=CD．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】要证 AD=CD ，可证△ADB≌△CDB，题目已知 AB=CB ，又因为公共边BD=BD ,还需证得全等条件∠ABD=∠CBD.通过延长DB至点P，使BP=AB，可得∠CPD =12∠CBD=∠ADB，∠APD=12∠ABD=∠CDB，所以AP//CD,AD//PC,四边形APCD为平行四边形，那么PD平分AC，根据”三线合一“可知，BD也是等腰△ABC顶角平分线，所以∠ABD=∠CBD，于是可证△ADB≌△CDB，故得证 AD=CD.
四、综合题
13．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
14．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
15．（2023八下·滨江期中）如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒．
（1） 含的代数式表示；
（2）如图2，连接，，，当时，求的面积；
（3）如图3，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为 .
【答案】（1）4-t(0＜t≤2）
（2）解：如图2中，
四边形BPDQ是平行四边形，
∴，，
∵，
四边形APQD是平行四边形，
，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，∠A=30°，
∴BC=AB=4，AC=，
由题意得CQ=t，
∴BQ=4-t（0＜t≤2）；
故答案为：4-t（0＜t≤2）；
（3）如图2，∵BP=4t，AB=8，
∴AP=8-4t，
在Rt△APE中，∠A=30°，
∴PE=PA=4-2t，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PD=BQ=4-t，
∴DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，
∵∠EFD=∠CFQ，∠D=∠CQF，
∴△EFD≌△CFQ（AAS），
∴EF=CF；
如图3，当D'与Q重合，
由对称性质得PD=PQ，
∴PQ=BQ，
∵∠A=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴4t=4-t，
∴t=；
如图4，点D'在斜边AB上，
由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，
∵∠PDF=∠B=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，
∴4-t=2t，
解得t=，
∴t的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据含30°角直角三角形性质得BC=4，根据路程、速度和时间的关系可得CQ=t，进而根据BQ=BC-CQ可得答案；
（2）根据四边形BPDQ是平行四边形，证明四边形APQD是平行四边形，可得t=1，再用AAS证明△EFD ≌△CFO，得FD=FQ，EF=CF=，最后利用三角形的面积公式可解答；
(3)易得BP=4t，则AP=8-4t，由含30°角直角三角形的性质得PE=PA=4-2t，由平行四边形性质得PD=BQ=4-t，则DE=PD-PE=4-t-（4-2t）=t=CQ，由AAS证△EFD≌△CFQ，得EF=CF；如图3，当D'与Q重合，由对称性质得PD=PQ，推出PQ=BQ，进而判断出△PBQ是等边三角形，得PB=BQ，据此建立方程求解可得t的值；如图4，点D'在斜边AB上，由对称得：∠DPF=∠D'PF=60°，进而判断出△PDF是等边三角形，得PD=DF，据此建立方程，求解可得t的值，综上即可得出答案.
16．（2023八下·揭东期末）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）结论成立，
理由如下：如图2，过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；
（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；
（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.
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