【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线
一、选择题
1．（2023九上·长春月考） 如图， 已知在 中， 是 A C边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O：③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC B． C． D．
2．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
3．（2023九上·长春月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC'<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分別以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相父于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC． B．∠BOD=∠COD C．DE∥AB D．DB=DE
4．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023九上·杭州开学考）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·德惠期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
7．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
8．（2016·历城模拟）如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为 ．
9．（2021八下·兖州期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，如果，那么等于 ．
10．（2021九上·马关期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则 ．
11．（2023九上·北京市月考）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，若是边的中点，，，则的长为 ．
12．（2023九上·长春月考）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC=10，DM=2，则AB等于
13．（2023九上·朝阳月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN'的中点，则DE的最小值是
三、解答题
14．在△ABC中， BC=8， AB=1.
（1） 若AC 是整数，求AC 的长；
（2）已知BD 是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长
15．（2023九上·宽城月考）在中，，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若，．请直接写出DE的长为 ．
四、实践探究题
16．（2024九上·交城期中） 综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC，AE=AF，∠BAC+∠EAF=180°.△AEF绕着A顺时针旋转，旋转角为（），点M为BF的中点.
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据作图过程知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，且点D是BC的中点，
∴∠BOD=∠COD
∵BE 是 A C边上的中线，
∴点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥AB，DE=，
∴A，B，C都正确；
又知BD=，AB≠BC，
∴DB≠DE，
∴D错误。
故答案为：D.
【分析】首先根据作图得出MN垂直平分BC，根据垂直平分线的性质可得OB=OC，且点D是BC的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BOD=∠COD，根据三角形中位线定理得出DE∥AB，DE=，根据中点定义知BD=，又知道AB≠BC，故而得出DB≠DE，综合以上结论可知下列结论错误的是 D.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，故A正确；
∴ ∠BOD=∠COD，故B正确；
∵ BE是AC边上的中线 ，BD=CD，
∴DE是△ABCDE中位线，
∴ DE∥AB ，DE=AB，故C正确；
∵BD=CD=BC，DE=AB，且 AB≠BC ，
∴DB≠DE，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可知MN垂直平分BC，可得OB=OC，利用等腰三角形的性质可得∠BOD=∠COD，据此判断A、B，易得DE是△ABCDE中位线，可得DE∥AB ，DE=AB，据此判断C，根据BD=CD=BC，DE=AB，且AB≠BC，可得DB≠DE，即可判断D.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝AC＝4，
∴DF＝DE-FE＝6-4＝2，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC
∵OE∥AB
∴AE=DE
∴OE是△ABD的中位线
∴AB=2OE，AD=2AE
∵△AOE的周长为10
∴OA+AE+OE=10
∴AE+OE=10-OA=8
∴AB+AD=2OE+2AE=16
∴平行四边形A BCD的周长=2（AB+AD）=32
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC，再根据三角形的中位线定理可得AB=2OE，AD=2AE，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
8．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
9．【答案】50°
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
D，E，F分别是
的边
，
，
的中点，
是
的中位线
，
，
故答案为：
【分析】根据三角形中位线的性质可得
，再利用平行线的性质可得
，
，所以
。
10．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【分析】根据线段的中点先求出AB=2AD，再求解即可。
11．【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是平行四边形 ∴OA=OC=，OB=OD=，
∵AB∥CD，∴∠BAC= ，
∴在Rt△AOB中，
∵是边的中点，O为AC的中点，∴
故答案为：6.
【分析】由平行四边形性质可知对角线互相平分，且对边平行，进而可得直角三角形OAB，利用勾股定理求得AB长，再由O、E分别是AC和BC的中点，可知OE是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质可得OE长。
12．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长BD交AC于F，
AD平分∠BAC 且BD⊥AD
≌
(填空题可以直接用三线合一的逆定理判定)
DM是三角形BCF的中位线
DF=4
AB=AF=AC-FC=10-4=6
故填：6
【分析】根据已知垂直和平分的条件，很容易想到三线合一的逆定理，证得D是中点且AB为等腰三角形的腰，再根据中位线的定理，中位线平行与底边且等腰底边的一半求出线段FC，进一步可求AB.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
连接CM，
∵点D、E分别为CN、MN'的中点 ，∴DE是△CMN的中位线，∴DE＝
∵当CM⊥AB时，CM最小，∴此时DE的值最小。
由勾股定理可得AB＝
当CM⊥AB时，
又∵
∴
∴CM＝
∴DE＝
故答案为：
【分析】连接CM，DE是△CMN的中位线，等于CM的一半，当CM最小时DE最小，而CM垂直于AB时，CM最小。根据三角形面积求出此时的CM即可得DE的最小值。
14．【答案】（1）解：由题意得： BC-AB
∴7∵AC是整数，
∴AC=8
（2）解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD，
∵△ABD的周长为 10， ∴AB+AD+BD=10，
∵AB=1，∴AD+BD=9，
∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=8+9=17.
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的三边关系得到 7（2）由三角形中位线性质可得AD=CD，进一步得到 △ABD的周长，再结合已知条件AB的值表示出△BCD 的周长利用等量代换即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是的中位线，
∴且，
又，即，
∴，，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=6，BC=10，
由勾股定理得AC=
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF=，
又由（1）知，OA=OF，OD=OE，
AD=EF=AB=3，
在Rt△AOD中，
OA=2，AD=3，
∴，
∴DE=2OD=.
故答案为：.
【分析】（1）由已知条件得EF是的中位线， 再结合得到EF和AD平行且相等，则得到四边形AEFD是平行四边形，从而两条对角线互相平分.
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长.
16．【答案】（1）AM=CE
（2）解：AM=CE
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠CAE+∠BAF=180°
∵∠CAE=90°
∴∠CAE=∠BAF=90°
在△BAF和△CAE中
∴△BAF≌△CAE(SAS)
∴BF=CE
在Rt△BAF中
∵M为BF的中点
∴AM=BF
∴AM=CE
（3）解：成立
证明：延长BA到G，使得AG=AB
∴∠BAF+∠GAF=180°
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠BAF+∠CAE=180°
∴∠GAF=∠CAE
∵AB=AC
∴AG=AC
在△GAF和△CAE中
∴△GAF≌△CAE(SAS)
∴GF=CE
∵M是BF的中点，AG=AB
∴AM=GF
∴AM=CE
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰三角形两腰相等和为中点，得到，，，则可推出两线段的数量关系；
（2）利用已知条件求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，再根据SAS证明，即可得到；
（3）延长至点，使得，根据SAS证明，则，最后根据三角形中位线定理即可得到．
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线
一、选择题
1．（2023九上·长春月考） 如图， 已知在 中， 是 A C边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O：③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据作图过程知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，且点D是BC的中点，
∴∠BOD=∠COD
∵BE 是 A C边上的中线，
∴点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥AB，DE=，
∴A，B，C都正确；
又知BD=，AB≠BC，
∴DB≠DE，
∴D错误。
故答案为：D.
【分析】首先根据作图得出MN垂直平分BC，根据垂直平分线的性质可得OB=OC，且点D是BC的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BOD=∠COD，根据三角形中位线定理得出DE∥AB，DE=，根据中点定义知BD=，又知道AB≠BC，故而得出DB≠DE，综合以上结论可知下列结论错误的是 D.
2．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
3．（2023九上·长春月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC'<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分別以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相父于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC． B．∠BOD=∠COD C．DE∥AB D．DB=DE
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，故A正确；
∴ ∠BOD=∠COD，故B正确；
∵ BE是AC边上的中线 ，BD=CD，
∴DE是△ABCDE中位线，
∴ DE∥AB ，DE=AB，故C正确；
∵BD=CD=BC，DE=AB，且 AB≠BC ，
∴DB≠DE，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可知MN垂直平分BC，可得OB=OC，利用等腰三角形的性质可得∠BOD=∠COD，据此判断A、B，易得DE是△ABCDE中位线，可得DE∥AB ，DE=AB，据此判断C，根据BD=CD=BC，DE=AB，且AB≠BC，可得DB≠DE，即可判断D.
4．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝AC＝4，
∴DF＝DE-FE＝6-4＝2，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．
5．（2023九上·杭州开学考）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
6．（2023九上·德惠期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC
∵OE∥AB
∴AE=DE
∴OE是△ABD的中位线
∴AB=2OE，AD=2AE
∵△AOE的周长为10
∴OA+AE+OE=10
∴AE+OE=10-OA=8
∴AB+AD=2OE+2AE=16
∴平行四边形A BCD的周长=2（AB+AD）=32
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC，再根据三角形的中位线定理可得AB=2OE，AD=2AE，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
7．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
二、填空题
8．（2016·历城模拟）如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
9．（2021八下·兖州期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，如果，那么等于 ．
【答案】50°
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
D，E，F分别是
的边
，
，
的中点，
是
的中位线
，
，
故答案为：
【分析】根据三角形中位线的性质可得
，再利用平行线的性质可得
，
，所以
。
10．（2021九上·马关期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【分析】根据线段的中点先求出AB=2AD，再求解即可。
11．（2023九上·北京市月考）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，若是边的中点，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是平行四边形 ∴OA=OC=，OB=OD=，
∵AB∥CD，∴∠BAC= ，
∴在Rt△AOB中，
∵是边的中点，O为AC的中点，∴
故答案为：6.
【分析】由平行四边形性质可知对角线互相平分，且对边平行，进而可得直角三角形OAB，利用勾股定理求得AB长，再由O、E分别是AC和BC的中点，可知OE是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质可得OE长。
12．（2023九上·长春月考）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC=10，DM=2，则AB等于
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长BD交AC于F，
AD平分∠BAC 且BD⊥AD
≌
(填空题可以直接用三线合一的逆定理判定)
DM是三角形BCF的中位线
DF=4
AB=AF=AC-FC=10-4=6
故填：6
【分析】根据已知垂直和平分的条件，很容易想到三线合一的逆定理，证得D是中点且AB为等腰三角形的腰，再根据中位线的定理，中位线平行与底边且等腰底边的一半求出线段FC，进一步可求AB.
13．（2023九上·朝阳月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN'的中点，则DE的最小值是
【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
连接CM，
∵点D、E分别为CN、MN'的中点 ，∴DE是△CMN的中位线，∴DE＝
∵当CM⊥AB时，CM最小，∴此时DE的值最小。
由勾股定理可得AB＝
当CM⊥AB时，
又∵
∴
∴CM＝
∴DE＝
故答案为：
【分析】连接CM，DE是△CMN的中位线，等于CM的一半，当CM最小时DE最小，而CM垂直于AB时，CM最小。根据三角形面积求出此时的CM即可得DE的最小值。
三、解答题
14．在△ABC中， BC=8， AB=1.
（1） 若AC 是整数，求AC 的长；
（2）已知BD 是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长
【答案】（1）解：由题意得： BC-AB∴7∵AC是整数，
∴AC=8
（2）解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD，
∵△ABD的周长为 10， ∴AB+AD+BD=10，
∵AB=1，∴AD+BD=9，
∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=8+9=17.
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的三边关系得到 7（2）由三角形中位线性质可得AD=CD，进一步得到 △ABD的周长，再结合已知条件AB的值表示出△BCD 的周长利用等量代换即可求解.
15．（2023九上·宽城月考）在中，，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若，．请直接写出DE的长为 ．
【答案】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是的中位线，
∴且，
又，即，
∴，，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=6，BC=10，
由勾股定理得AC=
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF=，
又由（1）知，OA=OF，OD=OE，
AD=EF=AB=3，
在Rt△AOD中，
OA=2，AD=3，
∴，
∴DE=2OD=.
故答案为：.
【分析】（1）由已知条件得EF是的中位线， 再结合得到EF和AD平行且相等，则得到四边形AEFD是平行四边形，从而两条对角线互相平分.
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长.
四、实践探究题
16．（2024九上·交城期中） 综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC，AE=AF，∠BAC+∠EAF=180°.△AEF绕着A顺时针旋转，旋转角为（），点M为BF的中点.
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）AM=CE
（2）解：AM=CE
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠CAE+∠BAF=180°
∵∠CAE=90°
∴∠CAE=∠BAF=90°
在△BAF和△CAE中
∴△BAF≌△CAE(SAS)
∴BF=CE
在Rt△BAF中
∵M为BF的中点
∴AM=BF
∴AM=CE
（3）解：成立
证明：延长BA到G，使得AG=AB
∴∠BAF+∠GAF=180°
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠BAF+∠CAE=180°
∴∠GAF=∠CAE
∵AB=AC
∴AG=AC
在△GAF和△CAE中
∴△GAF≌△CAE(SAS)
∴GF=CE
∵M是BF的中点，AG=AB
∴AM=GF
∴AM=CE
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰三角形两腰相等和为中点，得到，，，则可推出两线段的数量关系；
（2）利用已知条件求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，再根据SAS证明，即可得到；
（3）延长至点，使得，根据SAS证明，则，最后根据三角形中位线定理即可得到．
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