【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线
一、选择题
1．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
2．（2023八下·黄山期末）如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·萧山期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·肥城期中）在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
6．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
二、填空题
7．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
8．（2023八下·吉林期中）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
9．（2023八下·沙坪坝期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
10．（2023八下·青羊期末）如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
11．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
12．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．
三、解答题
13．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
14．（2023八下·凤城期末）如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
四、综合题
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
16．（2023八下·南岸期末）已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
17．（2023八下·沙坪坝期中）在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
（2）如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】据题意，AF是直角三角形ABC的中线，
∴AF＝1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵D、E是三角形边上中点，∴ DE=1/2BC(三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半)
∴DE=AF= ，
故选C。
【分析】掌握直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质逐一判断即可求解。
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
8．【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵△ABC为直角三角形，
∴
∵DE分别为CN，MN的中点，
∴DE=MC。
∴当MC取得最小值时，DE取得最小值。
如图所示，当MC⊥AB时，MC的长度最小，
即
∴MC=
∴DE=
故答案为：
【分析】由中位线定理可知，DE=MC，当MC取得最小值时，DE取得最小值；当MC⊥AB时，MC的长度最小，利用三角形面积可求得MC的最小长度为，进而求得DE的最小值为。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
10．【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
11．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：示例，如图，在中，点、分别是、的中点，，，
点、分别是、的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
如图，取的中点，连接，
点是的中点，点是的中点，
，
同示例可得，
，
，
同示例可得，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】利用示例可知，三角形的中位线将三角形分为面积1：3两部分.取AD的中点G可得DE是的中位线，同时DF为的中位线.设，通过示例得到的结论用S表示出和四边形ADFE的面积，然后求得比值.
13．【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
14．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形
，
，
≌
，
点、分别是、的中点，
．
，
≌，
，，
，
；
（3）解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵，，
∴，，
∴，
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，
∴，，
取AB中点P，连接MP，
则，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）利用等边三角形的性质及等式的性质可推出∠BAE=∠CAD，从而用SAS证△CAD≌△BAE，得∠ACD=∠ABE，CD=BE，由中点定义得出CN=BM，从而再用SAS证△ACN≌△ABM，得AN=M，∠CAN=∠BAM，推出∠MAN=60°，即可证明结论；
（3）作EF⊥AB于点F，易得∠EAB=30°，由含30°角直角三角形性质可得EF的长；点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得MH∥EF，由三角形中位线定理得，取AB中点P，连接MP，在由三角形中位线定理得MP∥AE，，由平行线的性质得∠MPH=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出PH，进而在Rt△AMH中，利用勾股定理算出AM，从而即可解决问题.
15．【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.
17．【答案】（1）解：连接EO，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，O点为BD中点，，
∵E点为AD中点，
∴EO为△ABD的中位线，
∴，，
∴，
∵BD⊥CD，
∴EO⊥BD，
∴△EDF的面积为，
∵，DF=2，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：等量关系：，理由如下：
过D点作DR⊥DM，交EC于R点，如图，
∵CD⊥BD，DR⊥MD，
∴∠MDR=∠BDC=90°，
∴∠HDG+∠GDR=∠GDR+∠RDC=90°，
∴∠HDG=∠RDC，
∵CH⊥EC，
∴∠GHC=90°=∠FDC，
∵∠HFG=∠DFC，
∴在△HFG和△DFC中有∠HGF=∠DCF，
∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=AB，
∴DG=CD，
即，
∴△DHG≌△DRC，
∴DH=DR，HG=CR，
∵∠HDR=90°，
∴△HDR为等腰直角三角形，
∴∠DHR=∠DRH=45°，，
∵DG=CD，∠GDC=90°，
∴△GDC为等腰直角三角形，
∴∠DGC=∠DCG=45°，，
∵AB=CD，
∴，
∵，
∴DM=CG，
∵在平行四边形ABCD中，，
∵CD⊥BD，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵∠GHC=90°，
∴∠GHC=∠MBD，
∵在△HFD和△GFC中，∠DHF=45°=∠FGC，∠HFD=∠GFC，
∴∠HDF=∠FCG，
即，
∴△CHG≌△DBM，
∴CH=BD，BM=HG，
∵CR=HG，
∴BM=CR，
∵CR+RH=CH，
∴BM+RH=CH=BD，
∵，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作 ，使得 ，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，
∵在平行四边形ABCD中，有AB=CD， ， ，
∴CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵CD⊥BD，CE平分∠BCD，
∴∠BDC=90°，∠DCF=∠BCF=30°，
∴∠DBC=30°，
∴在Rt△DCB中，BC=2DC=4， ，
∵4CN=BC，CG=CN，
∴CN=1=CG，
∴DG=CD-CG=2-1=1，
∵ ， ，
∴四边形BSQP是平行四边形，
∴BP=QS，
∵QC=QC，∠NCQ=∠GCQ，CG=CN，
∴△QNC≌△QGC，
∴QN=QG，
∴ ，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，
则 最小值为 ，
∵ ，
∴∠SBC=∠BCE=30°，
∴∠SBM=∠SBC+∠CBD=30°+30°=60°，
∵SM⊥BD，
∴∠SMB=90°，即∠MSB=30°，
∵在Rt△SMB中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△MSD中， ，
∴ ，
∴△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，
∴∠BDS=90°-∠DBS=90°-60°=30°，
∵GH⊥DS，
∴∠DHG=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠GDH=∠BDC-∠BDS=60°，
∴在Rt△DHG中，∠DGH=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△HSG中， ，
即 ，
则有 的最小值为： ．
【分析】（1）连接EO，先根据平行四边形的性质即可得到AB=CD，O点为BD中点，，进而根据三角形中位线定理即可得到，，从而结合平行线的性质即可得到EO⊥BD，进而运用三角形的面积结合题意即可求解；
（2）等量关系：，理由如下：过D点作DR⊥DM，交EC于R点，先根据题意结合平行四边形的性质即可得到DG=CD，∠HGF=∠DCF，进而运用三角形全等的判定与性质证明△DHG≌△DRC即可得到DH=DR，HG=CR，再根据等腰直角三角形的性质结合平行四边形的性质证明△CHG≌△DBM即可得到CH=BD，BM=HG，从而结合题意即可求解；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作 ，使得 ，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质结合题意即可得到∠DBC=30°，进而运用勾股定理即可得到BC=2DC=4， ，进而运用平行四边形的判定与性质即可得到BP=QS，再证明△QNC≌△QGC即可得到QN=QG，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，则 最小值为 ，再结合题意运用勾股定理的逆定理证明△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，进而结合题意运用勾股定理即可得到GS，从而即可求解。
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线
一、选择题
1．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
2．（2023八下·黄山期末）如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】据题意，AF是直角三角形ABC的中线，
∴AF＝1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵D、E是三角形边上中点，∴ DE=1/2BC(三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半)
∴DE=AF= ，
故选C。
【分析】掌握直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理。
3．（2023八下·萧山期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
4．（2023八下·肥城期中）在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质逐一判断即可求解。
5．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
6．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
二、填空题
7．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
8．（2023八下·吉林期中）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵△ABC为直角三角形，
∴
∵DE分别为CN，MN的中点，
∴DE=MC。
∴当MC取得最小值时，DE取得最小值。
如图所示，当MC⊥AB时，MC的长度最小，
即
∴MC=
∴DE=
故答案为：
【分析】由中位线定理可知，DE=MC，当MC取得最小值时，DE取得最小值；当MC⊥AB时，MC的长度最小，利用三角形面积可求得MC的最小长度为，进而求得DE的最小值为。
9．（2023八下·沙坪坝期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
10．（2023八下·青羊期末）如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
11．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
12．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：示例，如图，在中，点、分别是、的中点，，，
点、分别是、的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
如图，取的中点，连接，
点是的中点，点是的中点，
，
同示例可得，
，
，
同示例可得，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】利用示例可知，三角形的中位线将三角形分为面积1：3两部分.取AD的中点G可得DE是的中位线，同时DF为的中位线.设，通过示例得到的结论用S表示出和四边形ADFE的面积，然后求得比值.
三、解答题
13．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
14．（2023八下·凤城期末）如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形
，
，
≌
，
点、分别是、的中点，
．
，
≌，
，，
，
；
（3）解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵，，
∴，，
∴，
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，
∴，，
取AB中点P，连接MP，
则，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）利用等边三角形的性质及等式的性质可推出∠BAE=∠CAD，从而用SAS证△CAD≌△BAE，得∠ACD=∠ABE，CD=BE，由中点定义得出CN=BM，从而再用SAS证△ACN≌△ABM，得AN=M，∠CAN=∠BAM，推出∠MAN=60°，即可证明结论；
（3）作EF⊥AB于点F，易得∠EAB=30°，由含30°角直角三角形性质可得EF的长；点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得MH∥EF，由三角形中位线定理得，取AB中点P，连接MP，在由三角形中位线定理得MP∥AE，，由平行线的性质得∠MPH=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出PH，进而在Rt△AMH中，利用勾股定理算出AM，从而即可解决问题.
四、综合题
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
16．（2023八下·南岸期末）已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.
17．（2023八下·沙坪坝期中）在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
（2）如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
【答案】（1）解：连接EO，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，O点为BD中点，，
∵E点为AD中点，
∴EO为△ABD的中位线，
∴，，
∴，
∵BD⊥CD，
∴EO⊥BD，
∴△EDF的面积为，
∵，DF=2，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：等量关系：，理由如下：
过D点作DR⊥DM，交EC于R点，如图，
∵CD⊥BD，DR⊥MD，
∴∠MDR=∠BDC=90°，
∴∠HDG+∠GDR=∠GDR+∠RDC=90°，
∴∠HDG=∠RDC，
∵CH⊥EC，
∴∠GHC=90°=∠FDC，
∵∠HFG=∠DFC，
∴在△HFG和△DFC中有∠HGF=∠DCF，
∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=AB，
∴DG=CD，
即，
∴△DHG≌△DRC，
∴DH=DR，HG=CR，
∵∠HDR=90°，
∴△HDR为等腰直角三角形，
∴∠DHR=∠DRH=45°，，
∵DG=CD，∠GDC=90°，
∴△GDC为等腰直角三角形，
∴∠DGC=∠DCG=45°，，
∵AB=CD，
∴，
∵，
∴DM=CG，
∵在平行四边形ABCD中，，
∵CD⊥BD，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵∠GHC=90°，
∴∠GHC=∠MBD，
∵在△HFD和△GFC中，∠DHF=45°=∠FGC，∠HFD=∠GFC，
∴∠HDF=∠FCG，
即，
∴△CHG≌△DBM，
∴CH=BD，BM=HG，
∵CR=HG，
∴BM=CR，
∵CR+RH=CH，
∴BM+RH=CH=BD，
∵，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作 ，使得 ，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，
∵在平行四边形ABCD中，有AB=CD， ， ，
∴CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵CD⊥BD，CE平分∠BCD，
∴∠BDC=90°，∠DCF=∠BCF=30°，
∴∠DBC=30°，
∴在Rt△DCB中，BC=2DC=4， ，
∵4CN=BC，CG=CN，
∴CN=1=CG，
∴DG=CD-CG=2-1=1，
∵ ， ，
∴四边形BSQP是平行四边形，
∴BP=QS，
∵QC=QC，∠NCQ=∠GCQ，CG=CN，
∴△QNC≌△QGC，
∴QN=QG，
∴ ，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，
则 最小值为 ，
∵ ，
∴∠SBC=∠BCE=30°，
∴∠SBM=∠SBC+∠CBD=30°+30°=60°，
∵SM⊥BD，
∴∠SMB=90°，即∠MSB=30°，
∵在Rt△SMB中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△MSD中， ，
∴ ，
∴△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，
∴∠BDS=90°-∠DBS=90°-60°=30°，
∵GH⊥DS，
∴∠DHG=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠GDH=∠BDC-∠BDS=60°，
∴在Rt△DHG中，∠DGH=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△HSG中， ，
即 ，
则有 的最小值为： ．
【分析】（1）连接EO，先根据平行四边形的性质即可得到AB=CD，O点为BD中点，，进而根据三角形中位线定理即可得到，，从而结合平行线的性质即可得到EO⊥BD，进而运用三角形的面积结合题意即可求解；
（2）等量关系：，理由如下：过D点作DR⊥DM，交EC于R点，先根据题意结合平行四边形的性质即可得到DG=CD，∠HGF=∠DCF，进而运用三角形全等的判定与性质证明△DHG≌△DRC即可得到DH=DR，HG=CR，再根据等腰直角三角形的性质结合平行四边形的性质证明△CHG≌△DBM即可得到CH=BD，BM=HG，从而结合题意即可求解；
（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作 ，使得 ，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质结合题意即可得到∠DBC=30°，进而运用勾股定理即可得到BC=2DC=4， ，进而运用平行四边形的判定与性质即可得到BP=QS，再证明△QNC≌△QGC即可得到QN=QG，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，则 最小值为 ，再结合题意运用勾股定理的逆定理证明△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，进而结合题意运用勾股定理即可得到GS，从而即可求解。
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