【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.6 反证法
一、选择题
1．（2019八下·杭州期末）用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
2．（2023八下·嘉兴期末）用反证法证明“在中，若，则”时，则应假设（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
4．（2023八下·洞头期中）用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·萧山期中） 选择用反证法证明“已知：在中，求证：，中至少有一个角不大于”时，应先假设（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
6．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设 .
7．（2023八下·青岛期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
8．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
9．（2023八下·安源期中）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．
10．（2022八下·邗江期末）用反证法证明某一命题的结论“ ”时，应假设 .
三、解答题
11．（初中数学浙教版八下精彩练第四章质量评估卷）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
12．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
14．（2021八下·贺兰期中）已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2．
求证：a不平行于b．
15．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
2．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C”时，应假设∠B≠∠C.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵用反证法证明时，应先假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明时，首先应假设结论不成立，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B的对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出a>b的反面即可.
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出∠A、∠B中至少有一个角不大于45°的反面即可.
6．【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
7．【答案】四边形ABCD是平行四边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得用反证法证明这个结论时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据反证法的定义结合题意即可求解。
8．【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
9．【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵“一个三角形中至少有一个角不小于60°”不成立，
∴则一个三角形中每个角都小于60°，
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°
【分析】根据反证法的定义即可直接求解。
10．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“a > b”时，应先假设 .
故答案为： .
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，即假设结论的反面成立，故需只需找出a>b的反面即可.
11．【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
12．【答案】证明：假设 ，则 ，
这与已知 相矛盾，
假设不成立，
不平行于 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面（假设a∥b），从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与已知，定义、公理、定理矛盾（与已知∠1≠∠2矛盾），得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立.
13．【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
14．【答案】证明：假设a∥b，则∠1=∠2（两直线平行同位角相等），
这与 ∠1≠∠2 相矛盾，
∴假设不成立，
∴ a不平行于b．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；反证法
【解析】【分析】由反证法的思路可知，先假设结论的反面成立，利用平行线的性质定理推得∠1=∠2，这与条件相矛盾，从而得证.
15．【答案】解：已知△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，
∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的证明方法，先假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，然后根据三角形内角和定理证明即可.
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一、选择题
1．（2019八下·杭州期末）用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（ ）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
2．（2023八下·嘉兴期末）用反证法证明“在中，若，则”时，则应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C”时，应假设∠B≠∠C.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此解答.
3．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵用反证法证明时，应先假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明时，首先应假设结论不成立，据此解答.
4．（2023八下·洞头期中）用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B的对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出a>b的反面即可.
5．（2023八下·萧山期中） 选择用反证法证明“已知：在中，求证：，中至少有一个角不大于”时，应先假设（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出∠A、∠B中至少有一个角不大于45°的反面即可.
二、填空题
6．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设 .
【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
7．（2023八下·青岛期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
【答案】四边形ABCD是平行四边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得用反证法证明这个结论时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据反证法的定义结合题意即可求解。
8．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
9．（2023八下·安源期中）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．
【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵“一个三角形中至少有一个角不小于60°”不成立，
∴则一个三角形中每个角都小于60°，
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°
【分析】根据反证法的定义即可直接求解。
10．（2022八下·邗江期末）用反证法证明某一命题的结论“ ”时，应假设 .
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“a > b”时，应先假设 .
故答案为： .
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，即假设结论的反面成立，故需只需找出a>b的反面即可.
三、解答题
11．（初中数学浙教版八下精彩练第四章质量评估卷）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
12．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
【答案】证明：假设 ，则 ，
这与已知 相矛盾，
假设不成立，
不平行于 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面（假设a∥b），从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与已知，定义、公理、定理矛盾（与已知∠1≠∠2矛盾），得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
14．（2021八下·贺兰期中）已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2．
求证：a不平行于b．
【答案】证明：假设a∥b，则∠1=∠2（两直线平行同位角相等），
这与 ∠1≠∠2 相矛盾，
∴假设不成立，
∴ a不平行于b．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；反证法
【解析】【分析】由反证法的思路可知，先假设结论的反面成立，利用平行线的性质定理推得∠1=∠2，这与条件相矛盾，从而得证.
15．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【答案】解：已知△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，
∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的证明方法，先假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，然后根据三角形内角和定理证明即可.
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