2024年浙教版数学八年级下册4.1多边形课后培优练
一、选择题
1．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（ ）边形。
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022八下·浙江期末）一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD等于（ ）
A．72° B．108° C．36° D．62°
4．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ）
A．30° B．40° C．80° D．108°
5．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG=（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．100° C．108° D．110°
7．如图，在四边形ABCD中，点F，E分别在边AB，BC上，将△BFE沿FE翻折，得△GFE，若GF∥AD，GE∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
8．（2021八下·西湖期末）如图所示，将正五边形ABCDE的点C固定，并按顺时针方向旋转，要使新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC上，则旋转角度为（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
二、填空题
9．（2022八下·兰溪期中）一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的内角和为 .
10．（2023八下·鄞州期中）一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数为
11．（2021八下·长兴期末）正五边形的外角和等于
12．如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在形内作等边△BCF，连结AF．则∠AFB的大小是 度．
三、解答题
13．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
14．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
15．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设多边形的边数为n，根据外角和是内角和的一半，即可列方程求解。
【解答】设多边形的边数为n，由题意得
(n－2)·180°·=360°
解得n=6
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°，同时熟记任意多边形的外角和是360°，与边数无关。
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．
【解答】∵一个多边形的外角和为360°，
∴外角为钝角的个数最多为3个．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E= ×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°．
故选：A．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设边数为n，根据题意，
n=108÷12=9，
则α=360°÷9=40°．
故选：B．
【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值．
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD= ×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG=90°，
∴∠DAG=90°﹣72°=18°，
故选A
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG=90°，进而得出∠DAG的度数．
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
7．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵GF∥AD，GE∥DC，
∴∠A=∠GFB，∠C=∠GEB，
又∵∠A=100°，∠C=70°，
∴∠GFB=100°，∠GEB=70°，
又由折叠得∠GFE=∠BFE，∠GEF=∠BEF，
∴∠BFE=50°，∠BEF=35°，
∴∠B=180°﹣∠BFE﹣∠BEF=180°﹣50°﹣35°=95°．
故选：A．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠GFB=100°，∠GEB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠BFE=50°，∠BEF=35°，进而求出∠B的度数．
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正五边形的外角=360°÷5=72°，∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上.
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的外角和为360°可得外角=360°÷5=72°，据此解答.
9．【答案】1260°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40，
∴n=360÷40=9，
∴这个多边形的内角和=.
故答案为：1260°.
【分析】设多边形的边数为n，内角和公式为(n-2)×180°，利用外角和360°除以外角的度数即可求出多边形的边数，然后结合内角和公式进行计算.
10．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=5×360°，
解之：n=12.
故答案为：12
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，根据一个多边形的内角和等于外角和的5倍，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
11．【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和都是360°
∴正五边形的外角和等于360°
故答案为：360°.
【分析】根据任意多边形的外角和都为360°.
12．【答案】66
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△BCF是等边三角形，
∴BF=BC，∠FBC=60°，
∵在正五边形ABCDE中，AB=BC，∠ABC=108°，
∴AB=BF，∠ABF=48°，
∴∠AFB=∠BAF==66°，
故答案为：66．
【分析】根据等边三角形的性质得到BF=BC，∠FBC=60°，由正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，等量代换得到AB=BF，∠ABF=48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
13．【答案】解：∵PB=PC，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=（180°﹣∠BPC）=30°，
即正n边形的一个外角为30°，
∴n==12．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠PBC=∠PCB=30°，再根据多边形外角和为360°即可求解．
14．【答案】解：如图，
∵∠BPO是△PDC的外角，
∴∠BPO=∠C+∠D，
∵∠POA是△OEF的外角，
∴∠POA=∠E+∠F，
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答．
15．【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）解∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°﹣2∠AFE，∠2=180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2=360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°﹣∠A，∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.1多边形课后培优练
一、选择题
1．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（ ）边形。
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设多边形的边数为n，根据外角和是内角和的一半，即可列方程求解。
【解答】设多边形的边数为n，由题意得
(n－2)·180°·=360°
解得n=6
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°，同时熟记任意多边形的外角和是360°，与边数无关。
2．（2022八下·浙江期末）一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．
【解答】∵一个多边形的外角和为360°，
∴外角为钝角的个数最多为3个．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°
3．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD等于（ ）
A．72° B．108° C．36° D．62°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E= ×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°．
故选：A．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
4．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ）
A．30° B．40° C．80° D．108°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设边数为n，根据题意，
n=108÷12=9，
则α=360°÷9=40°．
故选：B．
【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值．
5．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG=（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD= ×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG=90°，
∴∠DAG=90°﹣72°=18°，
故选A
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG=90°，进而得出∠DAG的度数．
6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．100° C．108° D．110°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
7．如图，在四边形ABCD中，点F，E分别在边AB，BC上，将△BFE沿FE翻折，得△GFE，若GF∥AD，GE∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵GF∥AD，GE∥DC，
∴∠A=∠GFB，∠C=∠GEB，
又∵∠A=100°，∠C=70°，
∴∠GFB=100°，∠GEB=70°，
又由折叠得∠GFE=∠BFE，∠GEF=∠BEF，
∴∠BFE=50°，∠BEF=35°，
∴∠B=180°﹣∠BFE﹣∠BEF=180°﹣50°﹣35°=95°．
故选：A．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠GFB=100°，∠GEB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠BFE=50°，∠BEF=35°，进而求出∠B的度数．
8．（2021八下·西湖期末）如图所示，将正五边形ABCDE的点C固定，并按顺时针方向旋转，要使新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC上，则旋转角度为（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正五边形的外角=360°÷5=72°，∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上.
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的外角和为360°可得外角=360°÷5=72°，据此解答.
二、填空题
9．（2022八下·兰溪期中）一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的内角和为 .
【答案】1260°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40，
∴n=360÷40=9，
∴这个多边形的内角和=.
故答案为：1260°.
【分析】设多边形的边数为n，内角和公式为(n-2)×180°，利用外角和360°除以外角的度数即可求出多边形的边数，然后结合内角和公式进行计算.
10．（2023八下·鄞州期中）一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数为
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=5×360°，
解之：n=12.
故答案为：12
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，根据一个多边形的内角和等于外角和的5倍，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
11．（2021八下·长兴期末）正五边形的外角和等于
【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和都是360°
∴正五边形的外角和等于360°
故答案为：360°.
【分析】根据任意多边形的外角和都为360°.
12．如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在形内作等边△BCF，连结AF．则∠AFB的大小是 度．
【答案】66
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△BCF是等边三角形，
∴BF=BC，∠FBC=60°，
∵在正五边形ABCDE中，AB=BC，∠ABC=108°，
∴AB=BF，∠ABF=48°，
∴∠AFB=∠BAF==66°，
故答案为：66．
【分析】根据等边三角形的性质得到BF=BC，∠FBC=60°，由正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，等量代换得到AB=BF，∠ABF=48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
三、解答题
13．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
【答案】解：∵PB=PC，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=（180°﹣∠BPC）=30°，
即正n边形的一个外角为30°，
∴n==12．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠PBC=∠PCB=30°，再根据多边形外角和为360°即可求解．
14．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【答案】解：如图，
∵∠BPO是△PDC的外角，
∴∠BPO=∠C+∠D，
∵∠POA是△OEF的外角，
∴∠POA=∠E+∠F，
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答．
15．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）解∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°﹣2∠AFE，∠2=180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2=360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°﹣∠A，∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
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