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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.2平行四边形及其性质（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
2．如图，在 中，，则（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．在中，若的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
5．如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中：
；；；．
正确的有（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在□ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D的度数为 °.
12．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
（第12题） （第13题） （第14题）
13．如图，在中，是对角线上的点，，，则的大小为 ．
14．如图，在中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E.若点E恰好在边AD上，则 .
15．如图，在中，E，F 是对角线AC 上的两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的度数为 °.
（第15题） （第16题）
16．如图，在中，E为CD的中点，连结AE，过点 B作BF⊥AE，垂足为 F.若AD=AE=1，∠DAE=30°，则EF的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF.求证：
（1）△ABE≌△AFE.
（2）∠FAD=∠CDE.
18．如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
19．如图，在中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且 BE=DF，连结 EF 交 BD 于点O.
（1）求证：BO=DO.
（2）若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于点G，FG=1，求 AE 的长.
20．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在C'处，BC'与AD相交于点E．
（1）求证：EB=ED；
（2）连结AC'，求证：AC'∥BD．
21． 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=30°，BE=2 求∠AED的度数及平行四边形ABCD 的面积.
22．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）连接，若，，，求平行四边形的面积．
23．已知：如图，在中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
24．已知在平行四边形ABCD中，E 是边AD 的中点，F 是边AB上一动点.
（1）如图1，连接FE并延长交CD的延长线于点G， 求证：E 是FG 的中点；
（2）如图2， 若CF⊥AB，AD=2AB，求证：∠DEF=3∠AFE；
（3）如图3，若CF⊥AB，AD=2AB=4，∠B=60°时，K 是射线CD上一个动点，将EK 逆时针旋转90°得到EM，连接FM， 求FM 的最小值。
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.2平行四边形及其性质（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
【答案】D
【解析】 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
2．如图，在 中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵平行四边的内角和为360°，且对角相等，
∴，
∴，
故答案为：B.
3．在中，若的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
4．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
【答案】C
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
5．如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中：
；；；．
正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①∵四边形是平行四边形，∴AB//CD，故①正确；
②∵四边形是平行四边形，∴∠A=∠C，故②不正确；
③∵四边形是平行四边形，∴AD=BC，故③正确；
④∵四边形是平行四边形，∴∠B=∠D，故④正确；
∴正确的结论是，
故答案为：B.
6．如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，
，
四边形是平行四边形，
.
故答案为：D.
7．如图，在平行四边形中，平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，AB=CD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
同理，可得DF=DC=5
∴AF=DE=7-5=2
∴EF=7-2-2=3
故答案为：C.
8．如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 ABCD中，∠D=55°，
∴∠D=55°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°-∠B=35°．
故答案为：B.
9．如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴，CD=AB=2
∵折叠，
∴AE=AD，CD=CE=2
∴三角形AED是等边三角形，DE=4，
∴的周长为 4×3=12，
故答案为：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵A（-2，0），B（3，0）
∴AB=3-（-2）=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，CD∥AB（x轴），
∵C（0，6），
∴D（-5，6）.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在□ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D的度数为 °.
【答案】130
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠D=180°，
∵ ∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∴∠D=130°.
故答案为：130.
12．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
【答案】60
【解析】∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A +∠B=180°，∠B=∠D.
又∵∠A=2∠B, ∴3∠B=180°,
∴∠D=∠B=60°.
故答案为：60
13．如图，在中，是对角线上的点，，，则的大小为 ．
【答案】38
【解析】∵AE=DE，
∴∠ DAE=∠ ADE=19°，
∵DE=CD，
∴∠ DCE= ∠DEC= ∠DAE+ ∠ADE=38°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴ ∠BAC= ∠DCE=38°．
故答案为：38°.
14．如图，在 ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E.若点E恰好在边AD上，则 .
【答案】16
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，AB=CD=2，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠ABE，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AE=AB=2，∠BEC=90°，
同理可证DE=CD=2，
∴BC=AD=AE+ED=4，
∴BC2=42=16.
故答案为：16.
15．如图，在 ABCD中，E，F 是对角线AC 上的两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的度数为 °.
【答案】21
【解析】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21.
16．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连结AE，过点 B作BF⊥AE，垂足为 F.若AD=AE=1，∠DAE=30°，则EF的长为 .
【答案】
【解析】如图，延长AE交BC的延长线于点G，
在 ABCD中 ，AD=BC=1，AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵ E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠AED=∠CEG，
∴△AED≌△GEC（ASA）
∴AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，
∴BG=2，
∵ BF⊥AE ，
∴BF=BG=1，
∴GF===，
∴EF=GF-EG=-1.
故答案为：-1.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF.求证：
（1）△ABE≌△AFE.
（2）∠FAD=∠CDE.
【答案】（1）证明：∵ EA是∠BED的平分线 ，
∴∠AEB=∠AEF，
∵AE=AE，BE=EF，
∴△AEB≌△AEF（SAS）；
（2）证明：在 ABCD中， AD∥BC，∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BEA=∠AEF，∠ADF=∠DEC，
∴DA=DE，
∵△AEB≌△AEF，
∴∠B=∠AFE，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B+∠C=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴∠FAD=∠CDE.
18．如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
【答案】（1）解：如图
四边形ABCD就是所求作的图形
（2）解：如图，
四边形ABEF就是所求作的图形
19．如图，在□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且 BE=DF，连结 EF 交 BD 于点O.
（1）求证：BO=DO.
（2）若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于点G，FG=1，求 AE 的长.
【答案】（1）证明：在□ABCD中 ，AB∥CD，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ BE=DF ，∠FOD=∠EOB，
∴△FOD≌△EOB（AAS），
∴ BO=DO；
（2）解：∵ EF⊥AB， ∠A=45° ，AB∥CD，
∴∠G=∠A=45° ，EF⊥CD
∴AE=EG，
∵BD⊥AD ，∠G=45° ，
∴∠DOG=∠G=45°，
∴DG=DO，
∴FO=GF=1，
由（1）知△FOD≌△EOB，
∴OE=OF=1，
∴EG=GF+FO+EO=3，
∴AE=GE=3.
20．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在C'处，BC'与AD相交于点E．
（1）求证：EB=ED；
（2）连结AC'，求证：AC'∥BD．
【答案】（1）证明：由折叠可知∠CBD=∠EBD，∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥ BC，∴∠CBD= C EDB，∴∠EBD=∠EDB．∴EB=ED．
（2）证明：如图，连结AC'，
由(1)知BE=DE，
又∵AD=BC=BC'，∴AE=C'E，
∴∠DAC'= (180°- ∠AEC')= 90°-∠AEC'，同理∠ADB=90°-∠BED．
∵∠AEC'=∠BED，∴∠DAC'=∠ADB，∴AC' ∥ BD．
21． 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=30°，BE=2 求∠AED的度数及平行四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠DAE=∠B，
在△AED与△△BAC中，
∵AB=AE，∠DAE=∠B，AD=BC，
∴△AED≌△△BAC（SAS）；
（2）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠DAE=∠AEB，∠B=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=
∵∠EAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BC=2AB=
在Rt△ABC中，，
∴S平行四边形ABCD=2S△ABC=2××AB×AC=AB×AC=.
22．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）连接，若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵为等腰三角形，，
∴为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴为等边三角形，
∴，
∴
．
23．已知：如图，在 ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠ADF＋∠DAE＝（∠ADC＋∠DAB）＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF
（2）解：如图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，
∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，
∴DC＝FC，AB＝EB，
在 ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，
∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，
∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，
∴FH＝FE＋EH＝12，
在Rt△FDH中，DF＝
24．已知在平行四边形ABCD中，E 是边AD 的中点，F 是边AB上一动点.
（1）如图1，连接FE并延长交CD的延长线于点G， 求证：E 是FG 的中点；
（2）如图2， 若CF⊥AB，AD=2AB，求证：∠DEF=3∠AFE；
（3）如图3，若CF⊥AB，AD=2AB=4，∠B=60°时，K 是射线CD上一个动点，将EK 逆时针旋转90°得到EM，连接FM， 求FM 的最小值。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠GDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF与△DEG中，
∵∠A=∠GDA，AE=DE，∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG，即点E是FG的中点；
（2）证明：如图， 连接FE并延长交CD的延长线于点G， 连接CE，
∵CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠FCG=∠BFC=90°，∠AFE=∠G，
由（1）知点E是FG的中点，
∴EF=EG=EC，
∴∠G=∠GCE，
∴∠G=∠GCE=∠AFE，
∵∠FEC=∠G+∠GCE，
∴∠FEC=2∠AFE，
∵AD=2AB，AB=CD，且点D是AD的中点，
∴DE=AE=CD，
∴∠DEC=∠GCE=∠AFE，
∴∠DEF=∠FEC+∠CED=3∠AFE；
（3）解：当CF⊥AB，AD=2BC=4， ∠B=60° 时，F与A点重合，
∴∠FCB=90°-60°=30°，
∴FB=BC=AB，
∴此时点F与点A重合，
当点k与C、D两点重合时，EK逆时针旋转90°，得M"、M"，
∴M的轨迹为射线M' M" ，
如图，过点A作N'M''的垂线交M'M''的延长线于点M，延长AD交M'M''的延长线于点I，此时FM的最小值即为AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，AD=2AB=4，
∴∠EDC=∠B=60°，ED=AD=AB=CD=2，
∴△EDC为等边三角形，则△EM'M''也是等边三角形，
∴∠EM'M''=60°，ED=CD=EM'=EM''=2，
∴∠I=30°，
∴M''I=2EM''=4，
∴，
∴AI=AE+EI=，
∴.
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