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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.1多边形（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
3．在四边形中，，，，的度数之比为：：：，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
5．已知四边形ABCD中，∠A-∠C=∠D-∠B，下列说法正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB∥CD 且AD∥CB D．AB，CD与BC，AD都不平行
6． 如图5，已知三角形纸片ABC中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7． 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
8．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠D=90°，则∠A= °，∠B= °，∠C= °.
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°，∠ABC的邻补角为75°，则∠C的度数为 °.
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA.若∠ABC=56°，则∠BFD的度数为 °.
14．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B+∠D=n°，将∠A向内折出△EA'F，恰使EA'∥CD，FA'∥BC，则∠A的度数为 °.
15．如图，M是△ABC两个内角平分线的交点，N是△ABC两个外角平分线的交点，设∠BMC=α，∠BNC=β，则α+β= °.
16．如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24.
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；
（2）求∠A+∠C的度数.
18．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
19．（1）如图1，在中，分别平分和，请直接写出与的数量关系： ．
（2）如图2，在四边形中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由．
20．数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
（1）【回顾】如图①．请直接写出与、之间的数量关系： ．
（2）【探究】如图②，已知是四边形的外角，求、、与的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵是四边形的外角．
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
21．如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E．
（1）若∠A=42°．∠B=58°，则∠E= °
（2）若∠A+∠B=110°．则∠E= °
（3）请你探究∠A，∠B，∠E之向的数量关系，并说明理由．
22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证： ；
（3）求∠BAC的大小.
23．图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
（1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 ．
（2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为： ；
（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为： ．
24．已知：如图，
四边形中，，．
（1）如图，求的度数；
（2）如图，若，，求的度数；
（3）如图，在的条件下，若，：：，，，求的长.
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.1多边形（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°（n为多边形的边数，且n≥3）
∵（n-2）×180°=360°，
∴n=4，
∴四边形的内角和为360°，
故答案为：B.
2．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
【答案】D
【解析】∵四边形的内角和为，∠A+∠C=160°，∠D=70°，
∴.
故答案为：D.
3．在四边形中，，，，的度数之比为：：：，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3，
设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x，
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴2x+3x+4x+3x=360°，
解得x=30°，
∴∠D=3x=3×30°=90°；
故答案为：C.
4．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
【答案】D
【解析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，再由∠A+∠C=160°可得∠B+∠D的度数，同时结合∠B比∠D大60°，即可求得结果。
∵四边形的内角和等于，
∠A+∠C=160°，
∴∠B+∠D=200°，
∵∠B-∠D=60°，
∴∠B=130°，
故选D.
5．已知四边形ABCD中，∠A-∠C=∠D-∠B，下列说法正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB∥CD 且AD∥CB D．AB，CD与BC，AD都不平行
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD中，∠A-∠C=∠D-∠B，
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC.
故答案为：B.
6． 如图5，已知三角形纸片ABC中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，，所以在四边形ABED中，且， 故
故答案为：C.
7． 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
【答案】D
【解析】连接，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，此时测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与AC相交于点O，如图，
故答案为：B.
9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-α，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴∠ABC=2∠PBC，∠BCD=2∠BCP，
∴∠ABC+∠BCD=2∠PBC+2∠BCP=360°-α，
∴∠PBC+∠BCP=180°-α，
∴∠P=180°-（180°-α）=α.
故答案为：C.
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
【答案】D
【解析】延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BCE+∠DCB＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴，
∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，
∴
∴Rt△ADC的周长＝AD+DC+AC，
＝CE+CD+AC＝DE+AC＝.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠D=90°，则∠A= °，∠B= °，∠C= °.
【答案】60；90；120
【解析】设一份是，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，则，，.
又∵四边形的内角和为，
∴，解得x=30.
∴ A=60°，∠B=90°，∠C=120°.
故答案为：60；90；120.
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°，∠ABC的邻补角为75°，则∠C的度数为 °.
【答案】65
【解析】∵的邻补角为，
∴.
又∵ 四边形的内角和为，
∴
故答案为：65.
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA.若∠ABC=56°，则∠BFD的度数为 °.
【答案】152
【解析】∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=56°，
∴.
又∵DF平分∠CDA，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：152.
14．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B+∠D=n°，将∠A向内折出△EA'F，恰使EA'∥CD，FA'∥BC，则∠A的度数为 °.
【答案】
【解析】∵EA'∥CD，FA'∥BC，
∴，.
又∵∠B+∠D=n°，
∴，
又∵四边形内角和为，
∴，
∴.
故答案为：.
15．如图，M是△ABC两个内角平分线的交点，N是△ABC两个外角平分线的交点，设∠BMC=α，∠BNC=β，则α+β= °.
【答案】180
【解析】∵M是△ABC两个内角平分线的交点，
∴，.
又∵N是△ABC两个外角平分线的交点，
∴是外角的一半，是外角的一半，
∴，.
又∵ 四边形MVNB的内角和为，
∴.
∴ α+β=180°.
故答案为：180.
16．如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
【答案】
【解析】分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，
∵ ，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠B=144°，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，
由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，
∴∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE'+∠QDF'）=144°-36°=108°；
故答案为：108°.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24.
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；
（2）求∠A+∠C的度数.
【答案】（1）解：∠D是直角，理由如下：
如图，连接AC.
∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625.
又∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°；
（2）解：∠BAD+∠BCD＝360°-180°＝180°.
18．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
【答案】（1）∵EF ∠AE，∴∠AEF= 90°．
∵四边形AEFD的内角和是360°，∠D= 90°，∠EAD=60°，
∴∠DFE= 360°-∠D-∠EAD-∠AEF= 120°．
（2）∵四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF=90°，∠D=90° ，
∴∠EAD+∠DFE=180°．∵∠DFE+∠CFE=180°，∴∠EAD=∠CFE．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BAE=∠CFE．
∵∠B+∠BAE+∠AEB=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠AEB =∠CEF，∴∠B= ∠C．
19．（1）如图1，在中，分别平分和，请直接写出与的数量关系： ．
（2）如图2，在四边形中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：
分别平分和，
∴，．
在中，由三角形内角和定理得，
，
而，
∴．
【解析】（1）∵分别平分和，
∴∠PDC=，∠PCD=，
∴∠PDC+∠PCD=+=（∠ADC+∠ACD），
∵∠ADC+∠ACD=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠P=180°-（90°-∠A）=90°+∠A；
故答案为：∠P=90°+∠A；
20．数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
（1）【回顾】如图①．请直接写出与、之间的数量关系： ．
（2）【探究】如图②，已知是四边形的外角，求、、与的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵是四边形的外角．
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∵ ▲ ．
∴ ▲ ▲ ．
∴ ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：∵是四边形的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】（1）根据三角形的外角得，
故答案为：
21．如图，在四边形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线交于点E．
（1）若∠A=42°．∠B=58°，则∠E= °
（2）若∠A+∠B=110°．则∠E= °
（3）请你探究∠A，∠B，∠E之向的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）50
（2）55
（3）解：结论：∠A+∠B=2∠E．
理由如下：
∵DE 平分∠ADC， CE平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE，∠BCD =2∠ECD．
∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，
∴∠A+∠B+2 (∠EDC+∠ECD) =360°，
∴∠A+∠B+2 (180 -∠E) =360°
∴∠A+∠B=2∠E ．
【解析】（1）∵∠A=42°，∠B=58°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-（42°+58°）=260°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=∠ADC，∠DCE=∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=∠ADC+∠BCD=（∠ADC+∠BCD）=130°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-130°=50°，
故答案为：50°；
（2）∵∠A+∠B=110°，
∴∠ADC+∠BCD=360°-（∠A+∠B）=360°-110°=250°，
∵∠BCD和∠ADC的平分线交于点E，
∴∠CDE=∠ADC，∠DCE=∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=∠ADC+∠BCD=（∠ADC+∠BCD）=125°，
在△DCE中，∠E=180°-（∠CDE+∠DCE）=180°-125°=55°，
故答案为：55°；
22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：
；
（3）求∠BAC的大小.
【答案】（1）解：如图即为所画.
（2）证明： 在四边形 中， ，
，
，
，
在 和 中
∴ （）；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
，
，
又
23．图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
（1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 ．
（2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为： ；
（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为： ．
【答案】（1）
（2）证明：如图，延长至，使得，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
又，
，
在和中， ，
，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
平分．
（3）
【解析】⑴、∵ 四边形为对角互补四边形 ，
∴∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，
∵
∴3∠B=180°，∴∠B=60°，
∴∠C=
∴∠A=180°-∠C=90°，
（3）延长至，使得，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
又，
，
在和中，
，
，
， ，
，
，
，
，
过点D作交于点N，
，
N为的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
24．已知：如图，
四边形中，，．
（1）如图，求的度数；
（2）如图，若，，求的度数；
（3）如图，在的条件下，若，：：，，，求的长.
【答案】（1）解：，，，
，
；
（2）解：由(1)知：，
，，
，
，
，
；
（3）解：过点作，交延长线于，作于，如图所示：
，，
，
，
，，
，
：：，，
，
．
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