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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.1多边形（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若一个多边形的每一个外角都是36°，则该多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
3．过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
4．一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．10
C．11 D．以上都有可能
6．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接、、、、、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，六边形的每个内角相等，若，则的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
8．小丽利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：如图，小刚从点 A 出发，沿直线走 6米后向左转θ，接着沿直线前进 6 米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了 72米，则θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
9．如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，由两个全等菱形(菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形(阴影部分)，点B，D在EG上，点F，H在AC上，若CF=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 .
12．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，则这两个多边形的边数分别是 。
13．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 °
（第14题） （第16题）
15．边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ．
16．如图，若四边形 各内角的平分线相交得到四边形 ，则 的度数为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
18．已知边数为n的多边形的一个外角是m ，内角和是x° ，外角和是y°．
（1）当x=2y时，求n的值；
（2）若x+y+m=2380 ，求m的值
19．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
（1）填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
（2）根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
20．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
21．
（1）四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ °；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且，则 °；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝ °；
（2）如图3，当，时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关系为 ；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度数．
22．问题情境：
如图1，中，BO平分，CO平分.
（1）探索发现：
若，则的度数为 ；若，则的度数为 .
（2）猜想证明：
试判断与的关系，并说明理由.
（3）结论应用：
如图2，在四边形MNCB中，BD平分，且与四边形MNCB的外角的平分线CD交于点D.若，，则的度数为 .
23．定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．
（1）已知四边形是对补四边形．
①若，则 °．
②如图①，、的平分线分别与相交于点，且．
求证：；
（2）如图②，在四边形中，对角线交于点，且平分，，平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；
（3）已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接．若平分，平分，且直线，交于点（与点不重合），请直接写出与之间的数量关系
24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.
（1）已知：如图1，四边形 是等对角四边形， ， ， ，则： °， °；
（2）图2、图3均为 的正方形网格，线段 ， 的端点均在网点上.按要求在图2、图3中以 和 为边各画一个等对角四边形 .（要求：四边形 的顶点 在格点上，所画的两个四边形不全等）
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，过点 作直线 垂直 轴，在直线 上是否存在一点 ，使四边形 为等对角四边形，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请说明理由.
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.1多边形（2）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若一个多边形的每一个外角都是36°，则该多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】这个多边形的边数为360°÷36° =10.
故答案为：D.
2．下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设多边形的边数为n，
则：（n-2）×180°=540°，
∴n=5，
即多边形的边数为5，
故答案为：C.
3．过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】D
【解析】设这个多边形有n条边，由题意得:
n-3=7，
解得: n=10，
故选: D.
4．一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得：外角和，
∵，
∴，
∵，
∴该多边形为六边形．
故答案为：D
5．若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．10
C．11 D．以上都有可能
【答案】D
【解析】 设这个多边形割去一个角后的边数n，
则（n-2）×180= 1440° ，
解得n=10，
∵割去一个角后的边数比原多边形增加1，不变，减少1，
∴ 这个多边形原来的边数为9或10或11.
故答案为：D.
6．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接、、、、、，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BD，
∵五边形ABDEF的内角和=（5-2）×180°=540°，
∵△BCD的内角和=180°，∠BCD=110°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-110°=70°，
∴ =540°-70°=470°。
故答案为：A。
7．如图，六边形的每个内角相等，若，则的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】A
【解析】∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴，∴∠CDA=360°-∠1-∠B-∠C=62°，
∴∠2=∠CDE-∠CDA=58°，
故答案为：A．
8．小丽利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：如图，小刚从点 A 出发，沿直线走 6米后向左转θ，接着沿直线前进 6 米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了 72米，则θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【解析】∵小丽第一次回到点A时，所经过的路线刚好构成一个正多边形，
∴多边形的边数=72÷6=12，
∵多边形的外角和=360°，∴小丽每次转过的角度θ=360°÷12=30°.
故答案为：B.
9．如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠C+∠D=360°-150°=210°，
∵将纸片折叠，使点C、D落在边上的点C′、D′处，折痕为MN，
∴∠MD′C′=∠D，∠NC′D′=∠C，
∴∠MD′C′+∠NC′D′=210°，
∴∠AD′M+∠BC′N=360°-210°=150°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-（∠A+∠B+∠AD′M+∠BC′N）=360°-150°×2=60°.
故答案为：B
10．如图，由两个全等菱形(菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形(阴影部分)，点B，D在EG上，点F，H在AC上，若CF=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
【答案】B
【解析】如图：连接DF、BD、CF，BD与CF的延长线交于点O，
∵正八边形，
∴∠ CDA=(8-2)×180°÷8=135°，
∴∠DCB=180°-∠CDA=45°，
∴∠DCO=∠DCB=22.5°.
∵MF=MD，∠DMF=135°，
∴∠MDF=(180°-∠DMF)=22.5°，
∴∠MDF=∠DCO，
∴DF=FC=2.
∵∠DOF=360°÷8×2=90°，
∴DO2+OF2=DO2+DO2=DF2=4，
∴DO=，
∴BD=2DO=2.
故答案为： B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 .
【答案】7
【解析】设这个多边形是n边形，
则(n-2).180°=900°，
n-2= 5，
解得n = 7.
故答案为：7
12．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，则这两个多边形的边数分别是 。
【答案】4、8
【解析】设边数分别为n，2n
则
∴n=4
∴边数分别为4，8
故答案为：4、8
13．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．
【答案】S= n（n﹣3）
【解析】用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S= n（n﹣3）；
故答案为：S= n（n﹣3）．
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 °
【答案】30
【解析】∵ 平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形
∴∠D=180°-∠C=180°-120°=60°，∠β=120°-50°=70°，
∴∠E=（5-2）×180°-60°-70°-120°-10°=150°，
∴∠α=180°-∠E=30°.
故答案为：30.
15．边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ．
【答案】；12
【解析】边形，从边形的一个顶点出发可以作（n-3）条对角线，
∵过边形的一个顶点有7条对角线，
∴n=10，
∵边形没有对角线，
∴m=3，
∵边形对角线的总条数等于边数，
∴，
解得k=5或k=0（舍去），
∴12，
故答案为：12
16．如图，若四边形 各内角的平分线相交得到四边形 ，则 的度数为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，
，
所以 ，
，
.
故答案为 ： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
【答案】解：对角线为10条的数错了．
已知边形的对角线条数为，
若边形的对角线条数为10，则，
化简得，
，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，
所以多边形的对角线条数为10条是错误的．
（直接解得，，两个解均不符合题意，由此得到这个多边形的对角线条数为10条是错误的）
或：若边形的对角线条数为14，则，解得（舍去），．
所以对角线是14条是正确的，10条是错误的．
18．已知边数为n的多边形的一个外角是m ，内角和是x° ，外角和是y°．
（1）当x=2y时，求n的值；
（2）若x+y+m=2 380 ，求m的值
【答案】（1）∵多边形的外角和为360° ，∴y= 360．∴n边形的内角和为(n-2) ×180。∴×=(n-2)×180= 180n-360．∵×=2y，∴180n-360=2×360，∴n=6．
（2）∵×+y+m=2 380，∴180n- 360+360+m=2380，即180n+m=2380．∵n边形的一个外角是m°，∴m<180．∵n为正整数，∴n为2380÷180的整数部分，m为2380÷180的余数．∵2380÷180=13……40，∴ m=40．
19．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
（1）填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
（2）根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
【答案】（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
20．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
21．
（1）四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ °；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且，则 °；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝ °；
（2）如图3，当，时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关系为 ；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度数．
【答案】（1）70；60；110
（2）
（3）解： ∵，
又∵CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，
∴，.
∴，
∴．
【解析】（1）①∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴
故答案为：70°；
②∵BE∥AD，∠A=140°，
∴∠ABE=180°-∠A=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠D-∠ABC=60°，
故答案为：60°；
③∵∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠ABC+∠ACB=360°-∠A-∠D=140°，
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∴，，
∴故答案为：110°；
（2），，
∴
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∴，，
∴故答案为：；
22．问题情境：
如图1，中，BO平分，CO平分.
（1）探索发现：
若，则的度数为 ；若，则的度数为 .
（2）猜想证明：
试判断与的关系，并说明理由.
（3）结论应用：
如图2，在四边形MNCB中，BD平分，且与四边形MNCB的外角的平分线CD交于点D.若，，则的度数为 .
【答案】（1）30°；65°
（2）解：（或）
理由如下：
∵BO平分，CO平分，
∴设，
∴，，
∴
（3）25°
【解析】（1）当∠A=60°时，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A=60°，
∴∠ACD-∠ABC=60°.
∵∠OCD=∠O+∠OBC，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=30°.
当∠A=130°时，
同理可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=∠A=65°.
故答案为：30°，65°.
（3）∵BD平分∠MBC，CD平分∠NCE，
∴∠DBC=∠MBC，∠DCE=∠NCE.
∵∠DBC+∠D=∠DCE，
∴∠MBC+∠D=∠NCE，
∴∠MBC+2∠D=∠NCE.
∵∠NCE+∠BCN=180°，
∴∠NCE=180°-∠BCN，
∴∠MBC+2∠D=180°-∠BCN，
∴∠MBC+∠BCN+2∠D=180°.
∵∠BMN=130°，∠CNM=100°，
∴∠MBC+∠BCN=360°-∠BMN-∠CNM=130°，
∴130°+2∠D=180°，
∴∠D=25°.
故答案为：25°.
23．定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．
（1）已知四边形是对补四边形．
①若，则 °．
②如图①，、的平分线分别与相交于点，且．
求证：；
（2）如图②，在四边形中，对角线交于点，且平分，，平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；
（3）已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接．若平分，平分，且直线，交于点（与点不重合），请直接写出与之间的数量关系
【答案】（1）①115
②∵，
又∵四边形是互补四边形，
∴．
∵、分别平分、，
∴，．
∴．
∵在Rt中，，
∴．
∴．
∴．
（2）四边形是对补四边形
理由：∵是的外角，∴．
又∵，∴．∴．
∵，∴．
∵在Rt中，，
∴．
又∵，∴．
∵、分别平分，
∴，．
∴．
∴四边形是对补四边形．
（3）∠AOC-∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D-∠AOC=90°.
【解析】（1）①∵四边形ABCD为对补四边形，∠A=65°，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°-65°=115°.
故答案为：115.
（3）①如图：
∵四边形ABCD为对补四边形，
∴∠B+∠D=180°，∠A_∠C=180°.
∵AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形内角和为360°，
∴∠B+∠AOC=270°，即∠AOC=270°-∠B.
∵∠B+∠D=180°，
∴∠AOC=270°-(180°-∠D)，
∴∠AOC-∠D=90°.
②如图：
∵四边形ABCD为对补四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE、CF为角平分线，
∴∠1+∠2=90°.
∵∠AFO=180°-∠2-∠AOC，∠AFO=∠1+∠D，
∴∠1+∠D=180°-∠2-∠AOC，
∴∠D+∠AOC=90°.
③如图：
∵四边形为对补四边形，
∴∠B+∠D=180°，∠BAD+∠BCD=180°.
∵AE、CF为角平分线，∴∠1+∠2=90°.
∵∠BEA=∠AOC+∠2，∠BEA=180°-∠1-∠B，∴∠AOC+∠2=180°-∠1-∠B.
∵∠B=180°-∠D，∴∠AOC+∠2=180°-∠1-180°+∠D，
∴∠D-∠AOC=90°.
综上可得：∠AOC-∠D=90°或∠D+∠AOC=90°或∠D-∠AOC=90°.
24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.
（1）已知：如图1，四边形 是等对角四边形， ， ， ，则： °， °；
（2）图2、图3均为 的正方形网格，线段 ， 的端点均在网点上.按要求在图2、图3中以 和 为边各画一个等对角四边形 .（要求：四边形 的顶点 在格点上，所画的两个四边形不全等）
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，过点 作直线 垂直 轴，在直线 上是否存在一点 ，使四边形 为等对角四边形，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）150；75
（2）解：如图所示：
（3）解：①当 时，可以得到点 在 的平分线上，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
② 时，过 作 于点 ，
设点 的坐标为 ，则
∴
∴
∴
∴
∴点 的坐标为 .
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°，
∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°-75°-75°-60°=150°；
故答案为150，75.
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