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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.4平行四边形的判定定理（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OB=O
2．要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，在 中， 分别是 边的中点， 是对角线 上的两点，且 .有下列结论：① ；② ；③四边形 是平行四边形；④ .则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，在 中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，有下列结论：①BE=DF，②BE∥DF，③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤ ；⑥ .其中正确结论的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
9．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，直线，它们间的距离为2，在直线下方有一定点，到的距离为1，点分别是上的动点，平面内一点与三点构成，则对角线长度的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第10题） （第11题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，请添加一个条件 ，使四边形是平行四边形（填一个即可）
12．分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是 ，其判断依据是 ．
13．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
14．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).
15．如图，满足，，，取的中点D，E为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点G在直线右侧），交于点F，当时， ．
16．如图，四边形ABCD中，两对角线相交于E，且E为对角线BD的中点，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，则AC的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中，点 E，F 在对角线 AC 上，且AE=EF=FC.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）若∠CDE=90°，DC=8，DE=6，求四边形DEBF 的周长.
18．如图， 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形.
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5.求BD的长.
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连结AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积
20．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
21．如图，已知四边形中，交于点，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的周长．
22．如图，在 中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合．
（1）若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值．
23．如图，的对角线、相交于点O．且，，，点E在线段上从点B出发以的速度向点O运动，点F在线段上从点O出发以的速度向点D运动．若点E、F同时出发，设运动时间为t秒．
（1） ， ．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）是否存在t，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，说明理由．
24．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，已知点，点，点.P是边上的一动点（点P不与点A、B重合），沿着折叠该纸片，得点A的对应点.
（1）如图1，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；
（2）如图2，当P为中点时，求的长；
（3）当时，直接写出点P的坐标.
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.4平行四边形的判定定理（2）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OB=O
【答案】C
【解析】A 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意；
B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
C 一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不一定为平行四边形，符合题意；
D 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意.
故答案为：C.
2．要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 解： ∵ AD=BC=9， AB=CD=5
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ OB=CD=7， OC=OA=3
∴四边形ABCD是平行四边形
故正确答案是：B
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．
4．如图，在 中， 分别是 边的中点， 是对角线 上的两点，且 .有下列结论：① ；② ；③四边形 是平行四边形；④ .则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故答案为：C.
5．已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，由作图可知BO=OD，
可得：AO=OC，BO=OD，
进而得出四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
6．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
【答案】C
【解析】∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故答案为：C．
7．如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，有下列结论：①BE=DF，②BE∥DF，③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤ ；⑥ .其中正确结论的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设AC，BD交于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
四边形BEDF是平行四边形，故④正确；
∴BE=DF，故①正确；
∴BE∥DF，故②正确；
AB不一定等于DE，故③不符合题意；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE，故⑤正确；
∵△ABC≌△ADC，
∴AC边上的高相等即点B和点D到AC边上的距离相等，
∴S△ADE=S△ABE，故⑥正确；
∴正确结论的序号为：①②④⑤⑥，一共5个.
故答案为：C.
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】D
【解析】∵BD=BE+ED=6，∠CBD=90°，
∴EC=，
∴AE=EC=5，
又BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴△CBD的面积=BC·BD=4×6=12，
∴平行四边形ABCD的面积=2△CBD的面积=24.
故答案为：D.
9．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
10．如图，直线，它们间的距离为2，在直线下方有一定点，到的距离为1，点分别是上的动点，平面内一点与三点构成，则对角线长度的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图所示，连接AB，AD，BD，取BD中点为O，连接AO，延长AO使得OC=AD，连接CD，BC，做出△OAN，且∠ANO为直角=90°.四边形ABCD为平行四边形.
∵直线l1与l2之间的距离为2.
圆O的l1与l2之间的距离为1.
点A到l1之间的距离为1，即：ON=2.
∵AO≥ON，AO的最小值为2，AC的最大值为2AO=4.
∴对角线AC的长度=4.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，请添加一个条件 ，使四边形是平行四边形（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形.
故答案为：BF=DE.（答案不唯一）
12．分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是 ，其判断依据是 ．
【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】分别延长△ABC的边BA到点D，边CA到点E，使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是平行四边形，其判断依据是
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
13．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】12
【解析】当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），
∴OC=OA，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
14．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).
【答案】②③④
【解析】一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以①错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以②正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以③正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以④正确.
故答案为：②③④.
15．如图，满足，，，取的中点D，E为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点G在直线右侧），交于点F，当时， ．
【答案】
【解析】连接AG，
设 ，则 ，
∵D是AC的中点，
∴，
∵沿 翻折得到 ，
∴，
∴，
同理： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形ADEG是平行四边形，
∴AD∥EG， ，
∵， ，
∴，
在Rt△ABC中， ， ，
∴，
∴，
在Rt△CBE中， ，
∴；
故答案为： ．
16．如图，四边形ABCD中，两对角线相交于E，且E为对角线BD的中点，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，则AC的长为 ．
【答案】6
【解析】如图，延长BC交AD的延长线于F，在AE上取一点K，使得EK=CE，连接DK、BK．
∵DE=BE，EK=CE，
∴四边形CDKB是平行四边形，
∴DK=BC=2，DK∥BF，
∵∠ACB=120°，
∴∠FCA=180°﹣120°=60°，
∵∠DAC=30°，
∴∠F=90°，
∵DK∥BF，
∴∠ADK=∠F=90°，∵∠DAK=30°，
∴AK=2DK=4，
∴AC=AK+EK+CE=4+1+1=6，
故答案为6．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 ABCD中，点 E，F 在对角线 AC 上，且AE=EF=FC.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）若∠CDE=90°，DC=8，DE=6，求四边形DEBF 的周长.
【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CDE=90°，EF=CF，
∴，
∴DF是Rt△DEC斜边的中线，
∴DF=CE=5，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=6，BE=DF=5，
∴四边形DEBF的周长为6+6+5+5=22.
18．如图， ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形.
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5.求BD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD时平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵ E，F 分别是OB，OD的中点 ，
∴OE=OF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
（2）解：∵ AB⊥AC，AB=3，BC=5 ，
∴AC==4，
∴OA=OC=2，
∴BO=，
∴BD=2OB=2.
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连结AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO ，BO= DO．
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵BE=EF，
∴S△ABE=S△AEF=2．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO=FO，
∴．
20．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，已知四边形中，交于点，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形中，交于点，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴的周长
22．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合．
（1）若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE= CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，
则BD=EF=12，
∴OE=OD=6，
由题意得AO=OC=8，
∴AE=2或AE =14，
∵点E，F的运动速度均为2cm/s，
∴t的值为1s或7s．
23．如图，的对角线、相交于点O．且，，，点E在线段上从点B出发以的速度向点O运动，点F在线段上从点O出发以的速度向点D运动．若点E、F同时出发，设运动时间为t秒．
（1） ， ．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）是否存在t，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）6-t；2t
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，∴AO=OC，EO=OF，
而EO=6-t，OF=2t， ∴6-t=2t， ∴t=2，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．
（3）解：存在，理由如下：
为等腰三角形，且为底边，
而
解得：
【解析】（1）解：∵， ，，
∵
故答案为：6-t，2t；
24．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，已知点，点，点.P是边上的一动点（点P不与点A、B重合），沿着折叠该纸片，得点A的对应点.
（1）如图1，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；
（2）如图2，当P为中点时，求的长；
（3）当时，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：∵点 ，点 ，
∴ ， .
由折叠的性质得 .
∵ ，
∴ .在 中，
，
∴点 的坐标为 .
（2）解：在 中， ， ，
∴ .
∵P为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ .
由折叠性质知， ， ，
∴ ，
∴ .又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ .
（3） 或 .
【解析】（3）设P（x，y），
分类讨论：
①∵∠BAP'=30°，
∴∠APA'=150°，
连接AA'，延长OP交AA'于E，如图③所示，
则∠APE=75°，
∴∠OPB=75°，
∵OA=，OB=1，
∴，
∴∠BAO=30°，∠OBA=60°，
∵∠BPA'=30°，
∴∠BA'P=30°，∠OPA'=105°，
∴∠A'OP=180°-30°-105°=45°，
∴点A'在y轴上，
∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，
∴P在∠AOB的平分线上，设 ，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（，0），点B（0，1）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为 ，
∵P（x，y），
∴，
解得 ，
∴ ；
②如图④，
由折叠的性质得∠A=∠A'=30°，OA'=OA，
∵∠BPA'=30°，
∴∠A'=∠A=∠BPA'，
∴OA'∥AP，PA'∥OA，
∴四边形OAPA'是菱形，
∴PA=OA=，
过点P作PM⊥OA轴于M ，
∵∠A=30°，
∴ ，
把代入得
∴ ，
解得 ，
∴；
综上当∠BPA'=30°时，点P的坐标为： 或 .
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