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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.6反证法
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a
【答案】B
【解析】 “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
2．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（ ）
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
【答案】D
【解析】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：D.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB=PC
C．∠APB=∠APC D．∠ABC≠∠ACB
【答案】B
【解析】∵求证：PB≠PC
∴应当假设PB=PC
故答案为：B.
4．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（ ）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
【答案】D
【解析】反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：假设CD不平行于EF.
故答案为：D.
5．用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
【答案】D
【解析】∵用反证法证明时，应先假设a与c相交.
故答案为：D.
6．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
【答案】A
【解析】用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中：两个锐角都大于45°.
故答案为：A.
7．用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．|a|≥3 B．|a|＞3 C．a2≥9 D．a2＞9
【答案】C
【解析】反证法证明命题“若a<3，则a2<9”时，应假设a2≥9；
故答案为：C
8．用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
【答案】C
【解析】 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设 a、b中没有一个是0.
故答案为：C.
9．用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【解析】由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
10．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的过程如下：
已知：△ABC．
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“____”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
在证明过程中，横线上应填入的句子是（ ）
A．三角形内角和等于180°
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°
D．等式的性质
【答案】A
【解析】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“三角形的三内角和为180°”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角或钝角”时，应假设： ．
【答案】一个三角形中有两个角是直角或钝角
【解析】用反证法证明一个三角形中不能有两个是直角或钝角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角或钝角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角或钝角．
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.用反证法证明，第一步是假设 .
【答案】∠B≥90°
【解析】用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°.
故答案为：∠B≥90°.
13．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 .
【答案】a，b都不能被5整除
【解析】命题“a，b是整数，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
所以假设a，b都不能被5整除．
14．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设 .
【答案】a2≥4
【解析】用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4.”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4.
故答案为：a2≥4.
15．用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设
【答案】三角形三个内角都大于60°
【解析】 用反证法证明“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”
第一步：假设三角形三个内角都大于60°
故答案为：三角形三个内角都大于60°
16．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45°
【解析】反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知a⊥c，b⊥c，用反证法证明：a∥b.
【答案】证明：假设a，b不平行，则a于b相交，
设交点为O，
∴经过点O可以作两条直线与c垂直，
而这与经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，
∴a∥b.
18．如图，在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，c >a>b，且b +a ≠c .求证：△ABC 不是直角三角形(请用反证法证明).
【答案】证明：假设△ABC是直角三角形，
∵c＞a＞b，
∴∠C＞∠A＞∠B，
∴∠C=90°，
∴c2=a2+b2于题干b2+a2≠c2不相符，
∴假设不成立，即△ABC 不是直角三角形 .
19．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB>∠APC，求证：PB【答案】证明：①假设PB= PC．
∵AB=AC，∴∠ABC= CACB．
∵PB=PC，∴∠ PBC= ∠ PCB ，
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，∴∠ABP=∠ACP．
在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP( SAS) ，
∴∠APB= ∠APC．这与题目中给定的∠APB>∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的；
②假设PB>PC．∵AB=AC，∴∠ABC= ∠ACB．
∵PB>PC，∴∠PCB>∠PBC，
∴∠ABC-∠PBC>∠ACB-∠PCB，∴∠ABP>∠ACP．
又∠APB>∠APC，∴∠ABP+∠APB> ∠ACP+ ∠APC，∴180° -∠ABP- ∠APB<180°-∠ACP-∠APC，
∴∠BAP<∠CAP，结合AB=AC，AP=AP，得PBPC矛盾综上所述，两种假设都是错误的，故PB20．用反证法证明命题“已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE，CD交于点F，则BE，CD不能互相平分”是真命题．
【答案】证明：设BE，CD互相平分．
∵BE和CD互相平分，
∴连接DE，则四边形DECB是平行四边形，
∴BD∥EC，
∴BD和EC不相交．
与△ABC中，AB和AC相交于A矛盾．
∴BE和CD不能互相平分．
21．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
22．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
23．[推理能力]已知任何一个有理数均可表示成b/a的形式，且a，b互质.求证： 是一个无理数(请用反证法证明)
【答案】证明：假设是一个有理数，则存在a，b，使=，（其中a，b是自然数且互质），
∴5=，则b2=5a2，
∴b2可以被5整除，则b也可以被5整除，
设b=5p，(p是自然数），
∴5a2=b2=25p2，
∴a2可以被5整除，
∴5是a和b的公因数，与a，b是自然数且互质相矛盾，
故假设不成立，
∴是一个无理数.
24．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【答案】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），
则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，
∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
∴这两个整数中至少一个是偶数．
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.6反证法
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a2．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（ ）
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB=PC C．∠APB=∠APC D．∠ABC≠∠ACB
4．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（ ）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
5．用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
6．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
7．用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．|a|≥3 B．|a|＞3 C．a2≥9 D．a2＞9
8．用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
9．用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
10．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的过程如下：
已知：△ABC．
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“____”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
在证明过程中，横线上应填入的句子是（ ）
A．三角形内角和等于180°
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°
D．等式的性质
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角或钝角”时，应假设： ．
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.用反证法证明，第一步是假设 .
13．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 .
14．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设 .
15．用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设
16．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知a⊥c，b⊥c，用反证法证明：a∥b.
18．如图，在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，c >a>b，且b +a ≠c .求证：△ABC 不是直角三角形(请用反证法证明).
19．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB>∠APC，求证：PB20．用反证法证明命题“已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE，CD交于点F，则BE，CD不能互相平分”是真命题．
21．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
22．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
23．[推理能力]已知任何一个有理数均可表示成b/a的形式，且a，b互质.求证： 是一个无理数(请用反证法证明)
24．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
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