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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.5三角形的中位线
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点.若AC=3，则 DE 的长为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形 AEDF 的周长为 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长 CB 至点E，使 BE=BC，连结 DE，F 是DE 的中点，连结 BF.若 AC=8，BC=6，则 BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．如图，点D，E分别是的边上的中点，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
（第6题） （第7题） （第8题） （第10题）
7．如图，在四边形ABCD中，分别是AB、AC、BD的中点，若.则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，分别是的中线和角平分线，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，，D点为中点，E点是边上一个动点，添加一个条件为 ，使．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，点，分別是的边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为 ．
13．如图，中，，D为边的中点，E为边上一点，，连接，，延长交延长线于F，若，，则 ．
14．如图，在中，点E，F分别是AB，AC的中点，点D是线段EF上一点，连结BD，并延长至点G，使得．连结AG．若．则DF的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在中，点、分别为、的中点，平分，交于点，连接并延长.交于点，已知，，，则
16．如图，中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC， BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，求EF的长．
18．如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.
19．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME=∠CNE．(提示：连第三边，再取中点)
20．如图，中，于点，点，分别是，的中点，连接，，．
（1）求证．
（2）若四边形的周长是，的周长是．求的长．
21．如图，在中，点D是边的中点，点F、G在边上，交于E，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
22．如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．
（1）求证：平分；
（2）已知，若，求的度数．
23．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，．直接写出四边形的面积．
24．如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形4.5三角形的中位线
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点.若AC=3，则 DE 的长为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】∵D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点
∴DE=AC＝
故答案为：D.
2．如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形 AEDF 的周长为 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【解析】 ∵在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA 的中点，
∴DE，DF为△ABC的中位线，AF=AC，AE=AB，
∴DE=AC，DF=AB，
∴ C四边形AEDF=AE+ED+DF+FA=AC+AB=10.
故答案为：A.
3．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
4．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长 CB 至点E，使 BE=BC，连结 DE，F 是DE 的中点，连结 BF.若 AC=8，BC=6，则 BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=
∵CD为中线，
∴CD=
∵BE=BC，
∴B是EC的中点，
又∵F为DE的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=
故答案为：B.
5．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【解析】∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
6．如图，点D，E分别是的边上的中点，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【解析】∵点D，E分别是的边上的中点，
∴
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：A.
7．如图，在四边形ABCD中，分别是AB、AC、BD的中点，若.则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】∵PM是△ABC的中位线，
∴PM∥BC，且.
∵∠CBA=70°，BC=8，
∴∠APM=∠CBA=70°，.
同理可得，∠BPN=∠DAB=50°，.
∴∠MPN=180°-70°-50°=60°，
又∵PM=PN，
∴△PMN为等边三角形，周长为4×3=12.
故选：B.
8．如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=120°，
∴∠DAE=60°，∠CDE=∠DEA.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE=AE，∠AED=60°，
∴∠DEB=120°.
∵AB=2BC，AD=BC，AE=AD=DE，
∴DE=EB，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°，故①正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO.
∵AE=EB，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，故②正确；
∵AE=DE=AE，AB=2BC=2AD，
∴DE=BC，故③正确；
无法得到OD=AD，则④错误.
故答案为：B.
9．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE=AC， DF=BC，BF=AB，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=，
∴第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……
∴第2023个小等边三角形的周长为，
故答案为：B.
10．如图，，分别是的中线和角平分线，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取EC的中点F，连接DE，DF，则DF为△BCE的中位线，
∴DF∥BE，
∴∠AEB=∠EFD，∠BED=∠EDF，
∵BE为△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴AE=ED，
∴∠AEB=∠BED，
∴∠AEB=∠BED=∠EDF=∠EFD，
∴AE=DE=EF，
∵CF=EF，
∴AE=EF=CF，
即AC=3AE，
故A、C、D均不符合题意.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，，D点为中点，E点是边上一个动点，添加一个条件为 ，使．
【答案】
【解析】∵中，，D点为中点，
∴ 要使AC=2DE，
∴ DE∥AC
则可添加的条件是：DE⊥BC，或E为BC的中点，或DE∥AC都可。
12．如图，点，分別是的边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为 ．
【答案】4
【解析】∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥BC，DE=，
∴EF∥BC，BC=2DE=4，
又∵CF∥BE，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴EF=BC=4.
故第1空答案为：4.
13．如图，中，，D为边的中点，E为边上一点，，连接，，延长交延长线于F，若，，则 ．
【答案】
【解析】取AB的中点G，连接DG，
∵，
∴GE=BE，
∵D为AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，CD=AD
∴∠BFE=∠GDE，∠DGE=∠EBF，
∴△DGE≌△FBE（AAS），
∴DE=EF，DG=BF=3，
∴BC=2DG=6，
∴AC=，CF=BC+BF=9，
∴CD=4，
∴DF==，
∴CE=DF=；
故答案为：.
14．如图，在中，点E，F分别是AB，AC的中点，点D是线段EF上一点，连结BD，并延长至点G，使得．连结AG．若．则DF的长为 ．
【答案】
【解析】∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是的中位线，
∴，
∵，
∴D是BG的中点，
∵E是AB中点，
∴DE是△ABG中位线，
∴，
∵，
∴2EF-2ED=1cm，
∴，
∴
故答案为：.
15．如图，在中，点、分别为、的中点，平分，交于点，连接并延长.交于点，已知，，，则
【答案】2
【解析】∵ 点、分别为、的中点，
∴DE∥AC，CE=BE，
∴∠GCF=∠CFE，
∵平分 ，
∴∠GCF=∠BCF，
∴∠BCF=∠CFE，
∴CE=EF，即CE=EF=BE，
∴∠CFB=90°，
∵BF=3，CF=4，
∴BC==5，
∵∠GCF=∠BCF，∠CFB=∠CFG=90°，CF=CF，
∴△CFG≌△CFB（ASA），
∴CG=BC=5，
∴AG=AC-CG=7-5=2，
故答案为：2.
16．如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
【答案】
【解析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC， BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，求EF的长．
【答案】解：如图，连接BF并延长，交AD于点G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵AD∥ BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD= ∠ADB，
∴AB=AD=5．
∵AD∥ BC，
∴∠GAC= ∠ BCA．
∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵ ∠AFG = ∠CFB，
∴△AFG≌△CFB(ASA) ，
∴BF=FG，AG= BC=3，
∴DG=AD-AG=5-3=2．
∵E是BD的中点，EF=DG=1．
18．如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.
【答案】证明：连接EH，FG，如图
∵ E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，
∴ EH，FG分别是△ABD，△ABC的中位线，
∴ EH∥AB，EH=AB，FG∥AB，FG=AB，
∴ EH=FG，EH∥FG，
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
∴ EG，HF 互相平分.
19．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME=∠CNE．(提示：连第三边，再取中点)
【答案】证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴FH∥ BM，FH=AB， EH∥CN， EH=CD，
∴∠BME =∠HFE，∠CNE= ∠ HEF．
∵AB=CD，
∴FH=EH，
∴∠HFE=∠HEF，
∴∠BME=∠CNE．
20．如图，中，于点，点，分别是，的中点，连接，，．
（1）求证．
（2）若四边形的周长是，的周长是．求的长．
【答案】（1）解：，
，
点是的中点，
；
（2）解：，
，
点，分别是，的中点，
，，
四边形的周长是30，
，
的周长是21，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
．
21．如图，在中，点D是边的中点，点F、G在边上，交于E，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，，
．
D是边的中点，
，
为的中位线，
．
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
、分别是、的中点，
．
，
．
22．如图，在中，点E，F分别为，的中点，点D为上一点，连结交于点G，已知．
（1）求证：平分；
（2）已知，若，求的度数．
【答案】（1）证明：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，即平分；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
．
23．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，．直接写出四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形的面积=24
【解析】（2），，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，，
∴四边形的面积．
24．如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形
，
，
≌
，
点、分别是、的中点，
．
，
≌，
，，
，
；
（3）解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵，，
∴，，
∴，
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，
∴，，
取AB中点P，连接MP，
则，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
∴．
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