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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.2平行四边形及其性质（2）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
【答案】D
【解析】两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
故答案为：D.
2．如图，l1∥l2，AB∥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD
B．CE=FG
C．A，B两点间距离就是线段AB的长度
D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
【答案】D
【解析】A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD ，故选项A不符合题意；
B、，∴，又∵l1∥l2 ，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG ，故选项B不符合题意；
C、 A，B两点间距离就是线段AB的长度，故选项C不符合题意；
D、于点E， l1与l2之间的距离就是线段CE的长度，故选项D符合题意.
故答案为：D
3．如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若△ADE的面积为2，则的面积为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AD∥BE ∴ AD与BE之间的距离处处相等
∴ 平行四边形ABCD与三角形ADE同底等高
∴
故答案为：B.
4．如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又CM⊥AB，∴线段CM的长是两平行线AB与CD间的距离。
故答案为：C.
5．如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 ( )
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠AEG=∠FGE，
∵ 将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠DEF=60°，
∴∠FGE=∠AEG=60°，
∴△GFE是等边三角形，
∵EF=6，∴△GFE的周长为3×6=18，
故答案为：C.
6．一个平行四边形三个顶点的坐标分别是（0，0），（2，0），（1，2），第四个顶点在x轴下方，则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（3，2） D．（-1，2）
【答案】B
【解析】根据题意可作图（如图），
因为A（2，0），B（1，2），所以点B在线段OA的垂直平分线上，而第四个顶点在x轴下方，所以平行四边形的对角线互相垂直平分，即B点、D点关于x轴对称，点D的坐标为（1，-2）．
故答案为：B.
7． 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】连接AF、EC．
∵△ABC 的面积为 12，BC=4CF，
∴△ACF的面积为3，
∵四边形 DCEF是平行四边形，
则DE//CF
∴S△DEB＝S△DEC，则阴影部分面积为S△AEC 又AC//EF
∴S△AEC＝S△ACF
∴图中阴影部分的面积为 3
故答案为：B．
8．如图，在四边形ABCD中，F是对角线AC的中点，连接DF并延长交BC于点E，若AD=BE，DF=EF，S四边形ABCD=6，则四边形ABED的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵F是对角线AC的中点，
∴ AF=CF，
∵ DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴ △ADF ≌ △CEF（SAS），
∴ S△ADF=S△CEF，S四边形ABED=S△ABC，
∴ ∠DAF=∠ECF，AD=CE，
∴ AD∥CE，
∴ 设△ABC的边BC上的高为h，则△ACD的边AD上的高也为h，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6，
而 S△ABC=×BC×h，
S△ACD=×AD×h=××BC×h=S△ABC， 则6= 32S△ABC， ∴S△ABC=4，
即S四边形ABED=4.
故答案为：D.
9．将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN=90°，PM=3，MN=5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）
A．S3=S1+S2 B．3S3=2S1+2S2 C．S3=5S2-5S1 D．2S3=3S2-S1
【答案】C
【解析】如图，
∵将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P，处，
∴BM=PM，CN=PN，
∵∠MPN=90°，PM=3，MN=5，
∴由勾股定理得PN=4，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴PG=PN=4，
同理HP=PM=3，
设纸片宽为h，
∴S1=×3h，S2=×4h，S3=×5h，
∴S3=5S2-5S1.
故答案为：C.
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∵AF＝5，BE＝24，
∴BF=12，
∴AB= ，
∴CD= AB=13，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BC.若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则□ABCD的面积为 .
【答案】40
【解析】 在 ABCD中，CD=6，
∴AD=BC，AB=CD=6，
∵ ABCD的周长为28 ，
∴BC+CD=14，
∴BC=8，
∵ AE⊥BC ， AE=5 ，
∴ 平行四边形ABCD的面积为BC·AE=8×5=40.
故答案为：40.
12．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交 AD 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点E.若AB=8，EF=1，则BC长为 .
【答案】15
【解析】四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为：15．
13．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转，得到(点与点、点与点、点与点分别对应).若点恰好落在BC上，则 .
【答案】
【解析】∵ 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 点恰好落在BC上，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，AD∥BC，∠BAD=∠C，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）=75°，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠BAD=∠C=180°-75°=105°.
故答案为：105°.
14．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE，分别延长CE，DA交于点F.若CE=EF=4，则CD的长为 .
【答案】8
【解析】∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠FAE=∠ CBE，
∵ ∠FEA=∠CEB，FE=CE，
∴ △AEF≌ △BEC（AAS），
∴ AF=BC，
∵ AD=BC，
∴ AD=AF，
∵ AD∥BC，AC⊥BC，
∴ AC⊥DF，
∴ AC垂直平分DF，
∴ CD=CF=CE+EF=8.
15．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
【答案】2
【解析】延长DC和FE交于点G，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵点E为BC中点，
∴
在和中
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
16．在平行四边形中，，为边上的高， ，，则平行四边形的周长为 ．
【答案】14或22
【解析】当点E在BC上时，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴即
解之：BE=3，
∴AB=2BE=6，
∴BC=BE+CE=3+2=5，
∴平行四边形ABCD的周长为2（6+5）=22；
当点E在BC的延长线上时，
同理可知AB=6，BE=3
BC=BE-CE=3-2=1
∴平行四边形ABCD的周长为2（1+6）=14；
∴平行四边形ABCD的周长为14或22.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：．
【答案】证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．已知：如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，求证：．
【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌，
．
19．已知：如图，点E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
20．如图，在中，于点E，于点F．
（1）若，求的度数．
（2）若的周长为36，，，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵的周长为36，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得：，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACB的角平分线CE交AB与点E，∠DAC的角平分线AF交CD于点F.
（1）如图1，求证：BE=DF；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∠ACB=2∠BAH，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与∠BAH互余的角.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
∵AF平分∠DAC，∠DAF=∠DAC，
∵CE平分∠ACB，∠ECB-∠ACB，∠DAF=∠ECB
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=∠D
在中
（2）∠ABC，∠BAC，∠ACD，∠ADC，∠HAF.
【解析】（2）∵∠ACB=2∠BAH，
又CE，AF分别为∠ACB，∠DAC的角平分线，
∴∠BCE=∠BAH，
可得CE⊥AB，同理AF⊥CD，
∵AH⊥BC，
∴∠ABC与∠BAH互余，
∵∠BCE=∠BAH，
∴∠BAC与∠BAH互余，
又∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，则∠ACD与∠BAH互余，
∵AB∥CD，
∴∠ADC与∠BAH互余，
又AF⊥CD，可得∠HAF与∠BAH互余。
故答案为：∠ABC，∠BAC，∠ACD，∠ADC，∠HAF.
22．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）连结EB，DF，若AD=4，AC=7，∠DAC=30°，求四边形DEBF的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠BAF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∴△CDE≌△ABF(AAS)，
∴AE=CF；
（2）解：如图，
∵AD=4，∠DAC=30°，∠DEA=90°，
∴DE=2，
∴，
同理：BF=DE=2，CF=，
∵AC=7，
∴EF=AC-AE-CF=7-，
∴四边形DEBF的面积=.
23．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，在第一象限内， ，且．
（1）顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成的两部分，求直线的函数解析式；
（3）如图3，设对角线交于点 ，在轴上，有一个长为1个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）（2，2）；（6，2）
（2）解：∵直线过点，，
∴b＝﹣1，
∴y＝kx－1，
设点Q的坐标是（m，0），代入y＝kx－1得，
km－1＝0，
解得m＝，即点Q的坐标是（，0），
设点R的坐标是（n，2），则kn－1＝2，
解得n＝，即点R的坐标是（，2），
由题知，直线l把平行四边形的面积分成梯形OQRC和梯形AQRB，
由OQ＝，AQ＝4－，CR＝－2，BR＝6－，两梯形的高均为2，
则，
，
∵面积比为，
∴，，解得k＝，
，，解得k＝，
综上所述，y＝x－1或y＝x－1．
（3）
【解析】（1）解：过点C作CH⊥x轴于点H，则∠CHO＝∠CHA＝90°，
∵OC＝2，∠AOC＝45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴顶点C的坐标是（2，2），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝CB＝4，BC∥OA，
∴点B坐标为（2＋4，2），
即顶点B的坐标为（6，2）；
故答案为：（2，2），（6，2）；
（3）解：∵点E为线段AC的中点，A（4，0），C（2，2），
∴点E的中点为（3，1），
将线段EN向左移1个单位变为FM，且F（2，1），
则PM＋EN＝PM＋FM≥PF，
当且仅当P、M、F在同一条直线上，取最小值，
PF＝，
故的最小值为．
故答案为：.
24．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
【答案】（1）解：AF=FC，理由如下：
∵四边ABCD是平行四边形，
∴AD= BC，AD∥BC，
∴∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，
∵PD= BH，
∴AD-PD=BC-BH，
即AP=HC ，
∴△APF≌△CHF(ASA)，
∴AF=FC；
（2）解：将x=0代入y=-2x+12得y=12，即AD=12；
把y=0代入y=-2x+12得x=6，即MN=6；
∴AB=AD= 12，
∴AM+BN=12-6= 6，
∵AM=5BN ，
∴5BN+BN=6，
∴BN= 1；
（3）
【解析】（3）解：如图，连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，
由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=12，
∴FA=FC=6，
，，
∵＞0，∴当x=2时，△FQH的面积最小为.
故答案为：.
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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
4.2平行四边形及其性质（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
2．如图，l1∥l2，AB∥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD B．CE=FG
C．A，B两点间距离就是线段AB的长度 D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第7题）
3．如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若△ADE的面积为2，则的面积为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
5．如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 ( )
A．6 B．12 C．18 D．24
6．一个平行四边形三个顶点的坐标分别是（0，0），（2，0），（1，2），第四个顶点在x轴下方，则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（3，2） D．（-1，2）
7． 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在四边形ABCD中，F是对角线AC的中点，连接DF并延长交BC于点E，若AD=BE，DF=EF，S四边形ABCD=6，则四边形ABED的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第8题） （第9题） （第10题）
9．将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN=90°，PM=3，MN=5，分别记△PHM，△PNG，△PMN的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）
A．S3=S1+S2 B．3S3=2S1+2S2 C．S3=5S2-5S1 D．2S3=3S2-S1
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
如图，在中，AE⊥BC.若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则□ABCD的面积为 .
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
12．如图，在中，BF平分∠ABC，交 AD 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点E.若AB=8，EF=1，则BC长为 .
13．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转，得到(点与点、点与点、点与点分别对应).若点恰好落在BC上，则 .
14．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE，分别延长CE，DA交于点F.若CE=EF=4，则CD的长为 .
15．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
16．在平行四边形中，，为边上的高， ，，则平行四边形的周长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：．
18．已知：如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，求证：．
19．已知：如图，点E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
20．如图，在中，于点E，于点F．
（1）若，求的度数．
（2）若的周长为36，，，求的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACB的角平分线CE交AB与点E，∠DAC的角平分线AF交CD于点F.
（1）如图1，求证：BE=DF；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∠ACB=2∠BAH，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与∠BAH互余的角.
22．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）连结EB，DF，若AD=4，AC=7，∠DAC=30°，求四边形DEBF的面积.
23．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，在第一象限内， ，且．
（1）顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成的两部分，求直线的函数解析式；
（3）如图3，设对角线交于点 ，在轴上，有一个长为1个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，则的最小值为 ．
24．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
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