初中数学浙教版八年级下册第4章平行四边形测试卷 含解析

平行四边形测试卷
综合考试
考试时间：* *分钟 满分：* *分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平行四边形中，，则的度数（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADBC，添加如下一个条件，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线），其中错误的是（ ）．
A．AD=BC B．AB=CD C．AO=CO D．ABCD
5．如图，平行四边形中，，为锐角.要在对角线上找点N，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
6．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ，OB=OD，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）
A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交
8．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　）
A．内角和增加360° B．外角和增加360°
C．对角线增加一条 D．内角和增加180°
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．148 B．144 C．74 D．70
阅卷人 二、填空题
得分
11．已知平行四边形ABCD中，∠B=3∠A，则∠C=　 　
12． 一个正边形的内角和等于，则　 　 ．
13．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，若ED：DC=2：3，△DEF的面积为8，则平行四边形ABCD的面积为　 　．
14．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 　 　.
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为　 　.
16．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图1，AD∥BC，ED′∥FC′，设∠AED′ = x°.
（1）∠EFB = 　 　 ；（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图2，∠EFC'' = 　 　 .（用含x的代数式表示）
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
17．如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且求证：四边形为平行四边形．
18．平行四边形两邻边的比为2：5，周长为28cm，求这个平行四边形的四条边长分别是多少？
19．如图，为的中线，点为的中点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．
20．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数．
21．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
小明同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程：
已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，　 　．
求证：　 　．
22．如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若点为的中点，求证：．
阅卷人 四、实践探究题
得分
23．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°.如何证明这个定理呢？
我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理.
（定理证明）
已知：△ABC（如图①）.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
（1）（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=　 　.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（2）（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点.
Ⅰ.若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=　 　；
Ⅱ.若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=　 　.
（3）（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点.
Ⅰ.若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP=　 　；
Ⅱ.分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为　 　；
Ⅲ.分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN.　 　
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：选项A不能找到这样一个点，使图形绕某个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形。故A符合题意；选项B，C，D都能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形。故B，C，D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就叫做对称中心。根据中心对称图形的概念即可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°.
∵∠B+∠D=110°，
∴∠B=55°，
∴∠A=180°-∠B=125°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D，∠A+∠B=180°，结合∠B+∠D=110°可求出∠B的度数，进而可得∠A的度数.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠ADC+∠DCB=360°，∠A+∠B=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°.
又∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ODC= ∠ADC，∠OCD= ，
∴∠ODC+∠OCD=80°，
∴∠COD=180°﹣（∠ODC+∠OCD）=100°.
故答案为：C.
【分析】由于∠A+∠B=200°，根据四边形的内角和定理求出∠ADC+∠DCB的度数，然后根据角平分线的定义得出∠ODC+∠OCD的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠COD的度数.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、添加条件AD=BC，再由ADBC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、添加条件AB=CD，再由ADBC，不可以证明四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；
C、∵ADBC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
添加条件AO=CO，
∴△AOB≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、添加条件AB∥CD，再由AD∥BC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定方法求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：D.
【分析】方案甲中，连接AC，根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，结合线段的和差关系可得NO=OM，推出四边形ANCM为平行四边形，据此判断；
方案乙中，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，∠ANB=∠CMD，利用AAS证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断；
方案丙中，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，结合角平分线的概念可得∠BAN=∠DCM，利用ASA证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，推出AN∥CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断.
6．【答案】D
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AD=BC，∠BAD=∠DCB，
∴A、B、C三项均成立，
∵AD不一定等于CD，∴D不一定成立.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD，AD//BC，AD=BC，∠BAD=∠DCB，据此判断.
7．【答案】D
【解析】【解答】解： 命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，
用反证法证明，应假设 b与c相交
故答案为：D
【分析】用反证法证明命题，第一步假设结论不成立，反面成立即可。
8．【答案】D
【解析】【分析】n多边形的外角和等于360°。n边形的内角和=（n-2)×180°。可判断外角和不会随边数改变和改变；而内角和会随边数每增加1条而增加180°，D正确。
【点评】本题难度中等，主要考查学生对多边形性质知识点的掌握，结合公式计算即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如下图：过A作AM垂直直线b于M，过点D作DN垂直直线c于点N，则
因为b∥c，
所以
所以即
又因为四边形 ABCD是正方形 ，
所以
所以
在和中，
所以
所以，
又因为a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7 ，
所以
在中由勾股定理可得：
则正方形ABCD的面积
故答案为：C.
【分析】过A作AM垂直直线b于M，过点D作DN垂直直线c于点N，然后通过正方形的性质和平行直线的性质可证得从而用AAS得到则，接下来在运用勾股定理求得CD，即可求出正方形ABCD的面积.
11．【答案】45°
【解析】【解答】如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠B=3∠A，
∴∠A+3∠A=180°，
∴∠A=∠C=45°，
故答案是：45°.
【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值.
12．【答案】7
【解析】【解答】解：∵正边形的内角和等于，
∴（n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
故答案为：7.
【分析】根据正多边形的内角和求出（n-2)×180°=900°，再求解即可。
13．【答案】60
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，AB∥CD，
∵ED：DC=2：3，
∴ED：CE=2：5，ED：AB=2：3，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴ =（ ）2=（ ）2= ， =（ ）2=（ ）2=
∵△DEF的面积为8，
∴△CEB的面积为50，△ABF的面积为18，
∴四边形DFBC的面积为50﹣8=42，
∴平行四边形ABCD的面积为42+18=60，
故答案为：60．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC，AD∥BC，AB∥CD，证出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，求出△CEB的面积为50，△ABF的面积为18，即可求出答案．
14．【答案】2
【解析】【解答】解： ∵DE是△ABC的中位线，
， ， ，
，
∵BF平分∠ABC ，
，
，
，
，
故答案为：2.
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，DE=BC=6，BD=AD=4，根据平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，根据角平分线的概念可得∠DBF=∠FBC，推出DF=BD=4，然后根据EF=DE-DF进行计算.
15．【答案】8
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠ECF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝4，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，
∵CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
又∵DG⊥AF，
∴AG＝GF，
∵GF＝ ＝ ＝2 ，
∴AG＝GF＝2 ，
∴AF＝4 ＝EF，
∴AE＝8 ，
故答案为：8 .
【分析】由“ASA”可证△ADF≌△ECF，可得AF＝EF，由平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝DF，由等腰三角形的性质和勾股定理可求AG＝GF＝2 ，即可求解.
16．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，ED与BC交于点H，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，
又∵∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB，
∴∠EFB＝∠EHB，
又∵∠AED'＝x°，
∴∠EHB＝180°﹣x°
∴∠EFB＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°.
故答案为：90°﹣x°；
（2）如图2所示，
由（1）可知：∠EFB＝90°﹣x°，
∴∠EFC'=∠EFB+[360°-90°-90°-（180°-x°）]=90°+x°，
由折叠性质可知：∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''，
∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB＝90°+x°﹣2（90°﹣x°）＝x°﹣90°.
故答案为：x°﹣90°.
【分析】（1）由平行线性质得∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，由折叠性质得∠D'EF＝∠EFB，再由三角形的外角定理可得∠EFB＝∠EHB，再根据平行线的性质得∠EHB＝180°﹣x°，进而求出∠EFB；
（2）由四边形内角和，结合（1）中∠EFB＝90°﹣x°，可得到∠EFC'=90°+x°，由再次折叠科得∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''，即∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB，代入数据计算、整理即可求解.
17．【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，，
四边形为平行四边形．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，证得ED=BF，再根据ED∥BF，即可证得四边形EBFD为平行四边形.
18．【答案】解：设平行四边形两邻边长为2a和5a．
∴（2a+5a）×2=28
．
∴
答：平行四边形四条边长分别为： ， ， ，
【解析】【分析】根据平行四边形两对边相等的性质，由题意可设此平行四边形两邻边长为2a和5a，然后根据四边形周长列出方程，可以求出结果。
19．【答案】（1）证明： 为的中点，，
，
，
，
，
为的中线，
，
，
四边形为平行四边形
（2）解：，为的中线，
，
，
【解析】【分析】（1）先利用已知条件求出 从而得出AE=BD，再得出BD=DC通过等量代换得出AE=DC，再利用平行四边形的判断定理即可求出；
（2）通过直角三角形中线定理、勾股定理和面积公式即可求出。
20．【答案】解：设多边形较少的边数为n，则
（n 2） 180°＋（2n 2） 180°＝1440°，
解得n＝4．
2n＝8．
故这两个多边形的边数分别为4，8．
【解析】【分析】设多边形较少的边数为n，列出方程并解答即可。
21．【答案】OA=OC，OB=OD；四边形ABCD是平行四边形
【解析】【解答】已知：OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵在 和 中
OA=OC，∠AOD=∠COB，OD=OB，
∴ ≌ (SAS)，
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
【分析】由题图可设OA=OC，OB=OD，然后根据ASA证明 ≌ ，可得∠OAD=∠OCB，则可得AD∥BC， 同理可证：AB∥CD，即有四边形ABCD是平行四边形．
22．【答案】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，
，
，
，，
∵点为的中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，
在平行四边形中，点为的中点，点为的中点，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
由（1）可得：，
，
∴是的垂直平分线，
．
【解析】【分析】（1）过B作BN∥AE交CH于N，根据平行线分线段成比例得出 ，再证明CF＝CG，可得 。
（2）连接DH，证明HBFD是平行四边形，DH是AG的垂直平分线可得AD＝DG
23．【答案】（1）∠A+∠ABC
（2）70°；260°
（3）230°；∠P=∠A+100°；证明：延长BP交CN于点Q， ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP， ∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP， ∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC， ∠A=∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC， ∴∠BPC=∠MBP+∠NCP， ∵∠BPC=∠PQC+∠NCP， ∴∠MBP=∠PQC， ∴BM∥CN.
【解析】【解答】[定理证明]
证明：过点A作直线MN∥BC，如图所示，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°；
[定理推论]
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
故答案为：∠A+∠ABC；
[初步运用]
Ⅰ.∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°，
故答案为：70°；
Ⅱ.∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°，
故答案为：260°；
[拓展延伸]
Ⅰ.如图④，连接AP，
∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC，
∵∠BAC=80°，∠P=150°，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°，
故答案为：230°；
Ⅱ.∠P=∠A+100°.
理由是：如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，
由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，
2∠A+2∠O=∠A+∠P，
∵∠O=50°，
∴∠P=∠A+100°，
故答案为：∠P=∠A+100°；
【分析】[定理证明]过点A作直线MN∥BC，根据平行线的性质和平角的定义可得结论；[定理推论]根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论；[初步运用]（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论；（2）根据三角形的内角和得：∠ABC+∠ACB=100°，由两个平角的和可得结论；[拓展延伸]（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；（2）如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，综合可得结论；（3）如图⑥，作辅助线，构建三角形PQC，根据（1）的结论得：∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，和角平分线的定义，证明∠MBP=∠PQC，可得结论.
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