第3章 圆的基本性质检测题

第3章 圆的基本性质检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
选择题（每小题3分，共30分）
1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A.80° B.160° C.100° D.80°或100°
2.（2015·杭州中考）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（ ）
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
3.（2014·浙江温州中考）如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A.2∠C B.4∠B
C.4∠A D.∠B+∠C
4.如图所示，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，弧AB =弧BC，
∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
5.如图，在⊙中，直径垂直弦于点，连接，已知⊙的半径为2，,则∠的大小为( )
A. B. C. D.
6.（2014·呼和浩特中考）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( )
A.3 B.3 C. D.
7.（2014·成都中考）在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6 cm，则扇形AOB的面积是（ ）
A.6π cm2 B.8π cm2 C.12π cm2 D.24π cm2
8.如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外 D.无法确定
9. （2015·浙江温州中考）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（　　）
A. B. C. 13 D. 16
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10.如图，长为4 cm，宽为3 cm的长 ( http: / / www.21cnjy.com )方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A.10 cm B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝，OC＝1，则半径OB的长为 .
12. （2015 浙江绍兴中考）在Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB=4，则PA的长为_________.
13.（2014·山东枣庄 ( http: / / www.21cnjy.com )中考）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1 cm，则中间阴影部分的面积为 cm2．
14.如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD=_______，CD=_______.
15.如图,在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A=_______.
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16.（2015·浙江丽水中考）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转得到，则的度数是_________度.
17.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，，垂足为，则这段弯路的半径是_________．
18.用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是 .
三、解答题（共46分）
19.(5分)如图所示，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数.
20.（6分）（2014·武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图（1），若点P是的中点，求PA的长;
(2)如图（2），若点P是的中点，求PA的长.
21.(6分)（2014·天津中考）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长.
22.（6分）（2015·杭州中考）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图①，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
图① 图②
第22题图
23.(5分)如图，已知都是⊙O的半径，且试探索与之间的数量关系，并说明理由.
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24.(6分)如图是一跨河桥的示意 ( http: / / www.21cnjy.com )图，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米，求：⑴桥拱的半径;⑵若大雨过后，桥下河面宽度EF为12米，求水面涨高了多少？
25.(6分)如图,已知圆锥的底面半径为3,母线长为9,C为母线PB的中点，求在圆锥的侧面上从A点到C点的最短距离.
26.(6分)如图,把半径为r的圆铁片沿着半径OA、OB剪成面积比为1︰2的两个扇形、，把它们分别围成两个无底的圆锥．设这两个圆锥的高分别为、，试比较与的大小 关系.
第3章 圆的基本性质检测题参考答案
一、选择题
1. D 解析:∠ABC=∠AOC=×160°=80°或∠ABC＝×（360°-160°）＝100°.
2. D 解析：在圆内接四边形ABCD中，∵ ∠A+∠C=180°，∠A=70°,∴ ∠C=110°.
3.A 解析：根据圆周角定理得AB所对的圆心角∠AOB的度数等于它所对的圆周角∠C的度数的两倍,所以∠AOB=2∠C.
4. C 解析:连接OC，由弧AB＝弧BC，得∠BOC=∠AOB=60°,故∠BDC＝∠BOC＝×60°=30°.
5.A 解析：由垂径定理得∴ ,∴ .
又∴ .
6.C 解析：如图所示，设⊙O的半径为r，则πr2=2π，∴ OC=r=.
在Rt△ODC中，30°，
∴ OD=OC=×=，
∴ CD===.
∴ BC=2CD=，AD=AO+OD=+=,
∴ S△ABC=BC·AD=××=.
7.C 解析：S扇形＝=12π（cm2）.
点拨：扇形面积公式是S== lr（n为扇形圆心角的度数，l为扇形的弧长，r为扇形的半径）.
8.A 解析:因为OA=OC,AC=6,所以OA=OC=3.又CP=PD,连接OP,可知OP是△ADC的中位线,所以OP=,所以OP＜OC,即点P在⊙O内.
9.C 解析：如图，连接OP、OQ,分别交AC、BC于点H、I.
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∵ P、Q分别为、的中点，
∴ ，且H为AC的中点，连接MH，则四边形DMHC为矩形，
∴ .又，
∴ M，P，H，O四点在同一条直线上.
同理可证O，I，Q，N四点在同一条直线上，
∴
∵ O为AB的中点，H为AC的中点，
∴ OH为△ACB的中位线，
∴
同理OI为△ABC的中位线，∴ .
∵ ∴ .
∵ ，∴ .
设圆的半径为R，则，
∴ ，即9=2R-4,∴ 2R=13,即AB=13.
10.C 解析:第一次转动是以点B为圆心，AB为半径，圆心角是90度，所以弧长=(cm)，第二次转动是以点C为圆心，A1C为半径,圆心角为60度，所以弧长=(cm)，所以走过的路径长为+=(cm).
二、填空题
11. 2 解析:∵ BC =AB=,∴ OB==＝2.
12. 3或 解析：以点B为圆心，4为半径作圆，则与⊙C交于两点，，如图（1）所示，则点P的位置有两种情况.
（1）如图（1），连接，则=5.在△BC中，，
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图（1） 图（2）
则.
∴ △BC是直角三角形，且，∴ ∥.
又∵，∴ 四边形是平行四边形.
又∵ ，∴ 平行四边形是矩形.∴ .
（2）如图（2），连接，则，在△BC中，，
则,∴ △BC是直角三角形，∠BC=90°,
∴,三点共线.∴.
在Rt△A中，，，
∴.∴ PA的长为3或.
13.(4-π) 解析：如图，∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) 半径为1 cm的四个圆两两相切，∴ 四边形是边长为2 cm的正方形，正方形内四个扇形的面积和为一个圆的面积,为π cm2，
阴影部分的面积=2×2-π=（4-π）cm2，故答案为4-π．
点拨：本题解题的关键是能看出阴影部分的面积为边长为2的正方形面积减去4个扇形的面积（一个圆的面积）．
14.8;2 解析:因为OD⊥AB，由垂径定理得,故,.
15.55° 解析:根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得.
16. 20 解析：和是同一个圆的两段弧，且是由旋转得到的，＝，和的度数相等，∴ 的度数是20°.
17.250 解析：依据垂径定理和勾股定理可得.
18. 4 解析:扇形的弧长l==4π（cm），所以圆锥的底面半径为4π÷2π=
2（cm），所以这个圆锥形纸帽的高为= 4（cm）.
三、解答题
19.分析：连接BD，易证∠BDC=∠C,∠BOC=2∠BDC=2∠C,
∴ ∠C=30°, 从而∠ADC=60°.
解：连接BD.∵ AB是⊙O的直径，∴ BD⊥AD.
又∵ CF⊥AD,∴ BD∥CF.∴ ∠BDC=∠C.
又∵ ∠BDC＝∠BOC，∴ ∠C＝∠BOC.
∵ AB⊥CD，∴ ∠C＝30°，∴ ∠ADC＝60°.
点拨：直径所对的圆周角等于90°，在同一个圆中，同一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.
20.解：(1)如图①，连接PB.
∵ AB是⊙O的直径，P是的中点，
∴ PA=PB，∠APB=90°.
∵ AB=13，∴ PA=AB= .
(2)如图②，连接BC,OP,且它们交于点D，连接PB.
∵ P是的中点，
∴ OP⊥BC，BD=CD.
∵ OA=OB，∴ OD=AC=.
∵ OP=AB=，
∴ PD=OP-OD=-=4.
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°.
∵ AB=13，AC=5，∴ BC=12.∴ BD=BC=6.
∴ PB= ==2.
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠APB=90°.
∴ PA===3.
21.分析：（1）由BC为直径，得∠CAB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BDC=90°.在Rt△CAB中应用勾股定理求AC.由AD为∠CAB的平分线，得CD=BD,在Rt△BDC中应用勾股定理求解.（2）连接OB、OD,证明△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质求BD的长.
解：（1）由已知，BC为⊙O的直径，得∠CAB=∠BDC=90°.
在Rt△CAB中，BC=10,AB=6,
∴ AC===8.
∵ AD平分∠，∴ =，∴ CD=BD.
在Rt△中，BC=10,CD2+BD2=BC2，
∴ BD2=CD2=50.∴ BD=CD＝5.
（2）如图，连接OB，OD.
∵ AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴ ∠DAB=∠CAB=30°，
∴ ∠DOB=2∠DAB＝60°.
又∵ ⊙O中，OB=OD，
∴ △OBD是等边三角形.
∵ ⊙O的直径为10，∴ OB=5，∴ BD=5.
22解：∵ ⊙O的半径为4，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上，OA=8，∴ OA′·OA=，OB′·OB=，即OA′·8=，OB′·4=,∴ OA′=2，OB′=4.
∴ 点B关于⊙O的反演点B′与点B重合.
如图所示，设OA交⊙O于点M，连接B′M，
∵ OM=OB′，∠BOA=60°，∴ △OB′M是等边三角形.∵ OA′= A′M=2，∴ B′A′⊥OM.
∴ 在Rt△OB′A′中，由勾股定理得
B′A′===2.
23.分析：由圆周角定理，得，，已知，联立三式可得．
解：．理由如下:
∵ ，,
又，∴ ．
24.解：（1）已知桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，
∴ AD=8米.
利用勾股定理可得，解得OA=10(米)．
故桥拱的半径为10米.
（2）如图，当河水上涨到EF位置时,∵ ∥,
∴ ，∴ (米).
连接OE，则OE=10米，
(米).
又，
所以(米),即水面涨高了2米.
25.分析:最短距离的问题 ( http: / / www.21cnjy.com )首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
解：由题意可知圆锥的底面周长是，则,
∴ n=120，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°．
∴ ∠APB=60°.
在圆锥侧面展开图中,AP=9，PC=4.5，可知∠ACP=90°，
∴ ．
故在圆锥的侧面上从A点到C点的最短距离为.
26.分析：利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长得到圆锥底面半径和母线长的关系，进而利用勾股定理可求得各个圆锥的高，比较即可．
解：设扇形做成圆锥的底面半径为，
由题意知，扇形的圆心角为240°，
则它的弧长=，解得，
由勾股定理得，.
设扇形做成圆锥的底面半径为，
由题意知，扇形的圆心角为120°，则它的弧长=，解得，
由勾股定理得.所以＞.
第9题图
第16题图
第20题图
第21题图
第22题答图