2023-2024学年浙教版八年级下第四章 平行四边形 单元检测(含解析)

2023-2024学年八年级下第四章单元检测
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．如图，分别是上海、南京、深圳、兰州4个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，则这个多边形是几边形？（　　）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十四边形
3．小丽利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：如图，小刚从点 A 出发，沿直线走 6米后向左转θ，接着沿直线前进 6 米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了 72米，则θ的度数为（　　）
A．28° B．30° C．33° D．36°
4．如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2等于（　　）
A．230° B．240° C．250° D．260°
5．过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则 ABCD的周长为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．14
8．在 中， 、 分别是 和 的平分线， 、 分别与 相交于点 、 ， ， ，则 的长为（　　）
A．10 B．14 C．8或14 D．10或14
9．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE= EB，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④
阅卷人 二、填空题
得分
11．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形　 　边形.
12．如图，在 中， ， 是 的角平分线，E是 中点，连接 ，若 ，则 　 　.
13．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为　 　°．
14．如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′与C重合，A C′交A′C ′与点D，点D是A ′C的中点，则三角形C ′DC的面积为　 　。
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
16．如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到和纸片，再将纸片沿AE剪开（其中），得到和纸片；第二步，如图②，将纸片置于处（边AB与CD重合），将纸片置于处（边AD与CB重合）．则由纸片拼成的五边形CFDBG中，对角线FG的长为　 　．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
17．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A和点B均在格点上．
（1）在图①中画出以AB为边的四边形ABCD，要求该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C和点D均在格点上（画出一个即可） ；
（2）在图②中画出以AB为边的四边形ABEF，要求该四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
18．已知一个n边形的每一个内角都等于150°.
（1）求n.
（2）求这个n边形的内角和.
19．如图，在与中，，，点是边上的一点，且．连接，过点交作交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）判断四边形的形状，并证明你的结论．
20．已知：如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ．
（1）求证： ．
（2）若点 ， 分别为线段 ， 的中点，连接 ，且 ，求 的长．
21．如图，在直角坐标系中直线AB与x、y轴分别交于点A、B两点，已知B(0，4)，∠BAO=30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，点P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，点Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）
（1）求点A的坐标和线段AB的长；
（2）当t为何值时，△BPQ的面积为2 ；
（3）若C为OA的中点，连结QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在这样的 ，使x轴将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，若存在，请直接写出 的值。
22．探究题
（1）【证法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE= BC．
证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；请继续完成证明过程：
（2）【问题解决】
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．
（3）【拓展研究】如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3 ，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n-2）×180°=6×360°，
解得：n=14，
即这个多边形是十四边形；
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和定理：（n-2）·180° 与多边形的外角和等于360°列方程，求解即可得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵小丽第一次回到点A时，所经过的路线刚好构成一个正多边形，
∴多边形的边数=72÷6=12，
∵多边形的外角和=360°，
∴小丽每次转过的角度θ=360°÷12=30°.
故答案为：B.
【分析】根据小丽第一次回到点A时，所经过的路线刚好构成一个正多边形，可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的外角和等于360度可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】如图，
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠C+∠D=360° ∠A，
在五边形中，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=(5 2)×180°=540°
∴∠1+∠2=540° (∠B+∠C+∠D)=540° (360° ∠A)=540° 360°+∠A=180°+50°=230°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和定理，分别求出四边形、五边形内角和，分析即可求得 ∠1+∠2 。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵过八边形一个顶点的对角线有5条对角线，它们把八边形分为了6个三角形，
∴分成的三角形个数是8.
故答案为：B.
【分析】根据过n边形一个顶点出发的对角线分得的三角形个数=n-2，可得：过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成6个三角形.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC AB，AD BC，
∵E为CD的中点，
∴DE为△FAB的中位线，
∴AD=DF，DE= AB，
∵DF=3，DE=2，
∴AD=3，AB=4，
∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质可知DC AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF=3，DE=2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长．
8．【答案】D
【解析】【解答】分两种情况进行讨论
如图1：
在 中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF-EF=10
如图2：
在 中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF+EF=14
综上所述：AD的值为10或14
故答案为：D.
【分析】当BE与CF相交时，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠AEB=∠EBC，由角平分线的概念可得∠ABE=∠EBC，进而可得到AB=AE=6，同理可得：DF=DC=6，据此求解，同理可求出当BE与CF不相交时，AD的值.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，如图所示，
由题意得：
，，
∴，
∴，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB = 60° ，
∴∠CBN =∠DAB= 60° ，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
又∵BC=4，AE：EB=1：2，AB=6，F是BC的中点，
∴BF=2，BN=1，BE=4，BM=2，
由勾股定理得：
，，
，
，
∴，
∴=，
故答案为：D.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积以及"同底等高"可知，，得出，再根据勾股定理得出AF、CE的值，代入求比即可.
10．【答案】A
【解析】【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析。
【解答】①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S△AFG=S△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140°．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的。
【点评】此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念。
11．【答案】十二
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得：.
故答案为：十二.
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)×180°进行计算.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴AB=2DE=6.
故答案为：6.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质可证得D为BC的中点，再由点E是AC的中点，可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理，可求出AB的长.
13．【答案】100
【解析】【解答】如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°－∠MON＝180°－40°＝140°，
∴∠P1PA＋∠P2PB＝∠P1＋∠P2＝180°－∠P1PP2＝40°，
∴∠APB＝140°－40°＝100°．
故答案为：100°．
【分析】作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．
14．【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意得，∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，
∴CD∥AB，
∴CD=AB，
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积=△ABC的面积=12×12=6．
故答案为：6．
【分析】 根据平移的性质得出∠B=∠A′CC′，BC=B′C′，再根据同位角相等，两直线平行得CD∥AB，根据三角形中位线定理得出CD=AB，再根据点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，得出△C′DC的面积=△ABC的面积，即可得出答案.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
16．【答案】
17．【答案】（1）解：如图①所示，四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图②所示，四边形ABEF即为所求．
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图即可；
（2）同理，根据中心对称图形、轴对称图形的含义作图。
18．【答案】（1）解：∵每一个内角都等于150°，
∴每一个外角都等于180°－150°＝30°，
∴边数n＝360°÷30°＝12；
（2）解：内角和：12×150°＝1800°.
【解析】【分析】(1)首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案；(2)利用每一个内角度数150°×内角的个数即可.
19．【答案】（1）证明：∵．即∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，，
∴；
（2）解：四边形MBDE为平行四边形，证明如下：
∵，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB，
∴∠ACE =∠ACB，
∵ME∥BC，
∴∠AC B =∠EMC，
∴∠EMC=∠ACE，
∴ME=CE，
∴BD=ME，
又∵BD∥ME，
∴四边形MBDE为平行四边形．
【解析】【分析】（1） 由，可推出∠BAD=∠CAE，根据SAS证明；
（2） 四边形MBDE为平行四边形，证明：由可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出BD=ME，由BD∥ME，根据平行四边形的判定即证.
20．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴
（2）解：∵点 ， 分别为线段 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】(1) 利用三角形全等即可；
（2）由点 ， 分别为线段 ， 的中点，得出，由，得出 的长．
21．【答案】（1）解：∵∠BAO=30°，OB=4，
∴AB=2OB=8，
∴OA=ABcos30°=8×=4，
∴A（4，0）.
（2）解：作 QH⊥OB 于H，
∵BQ=8t
∴
OP=3t，BP=4－3t
∴
∴
（3）①当 D 在 y 轴上时，QC∥BD，
得 BQ=8t=4，
当 D 在 x 轴上时，PQ∥AD
得 0.5BQ+OP=4
4t+3t=4，
②
若 x 轴恰好将平行四边形 PQCD 的面积分成 1∶3 的两部分，则 E 为 PD 的中点，
∴DF=OP=3t
可以证得 DF=HP
∴3t+3t+4t=4，
【解析】【分析】(1)根据B点坐标得出OB的长，再用含30度角的直角三角形的性质求出OA，即可解答；
(2) 作 QH⊥OB 于H， 分别把BQ和BP用含t的代数式表示，结合含30度角的直角三角形的性质把HQ表示出来，然后根据△BPQ的面积为2 建立方程求解，即可解答；
(3)①分两种情况讨论， 当D在y轴上时，QC∥BD，当D在x轴上时，PQ∥AD，分别利用平行四边形的性质建立方程，即可解答；②根据这个三角形和平行四边形等高的特点先确定出点E是DP中点，则可得出DF= OP，再利用三角形全等求出DF= PH，据此列方程求解即可.
22．【答案】（1）证明：如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中， ，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE= BC．
故答案为：DE∥BC，DE= BC
（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；
（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD= ，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH=3，
∴PF=PD+DF=3+2=5，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，
∴HF= ═
∴GF= ．
【解析】【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；（3）先求出AG=HD= ，进而判断出△PDH为等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．
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