专题5.1 矩形-重难点题型（含解析）

矩形8大题型
【题型1 矩形的性质（求角的度数）】
【例1】（2023春 南京月考）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　）
A．55° B．40° C．35° D．20°
【变式1-1】（2023春 天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【变式1-2】（2023春 秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　．
【变式1-3】（2023春 苏州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC，则∠ECD＝　 　°．
【题型2 矩形的性质（求线段长度）】
【例2】（2023春 江阴市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
【变式2-1】（2023春 鄞州区校级期中）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A． B．2 C． D．
【变式2-2】（2023春 玄武区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE，AF，则AC的长为　 　．
【变式2-3】（2023春 苏州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　 　．
【题型3 矩形的性质综合】
【例3】（2023春 余杭区月考）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
【变式3-1】（2023春 渝中区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求证：OE＝FE．
【变式3-2】（2022秋 天心区期末）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
【变式3-3】（2023春 越秀区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；
（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．
【题型4 直角三角形斜边中线】
【例4】（2023春 海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．3 C．8 D．6
【变式4-1】（2023春 海淀区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
【变式4-2】（2023春 东湖区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
【变式4-3】（2023春 邛崃市期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程．
【题型5 判定矩形成立的条件】
【例5】（2023春 阳谷县期末）在四边形ABCD中，AC，BD交于点O．在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
D．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
【变式5-1】（2023春 招远市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
【变式5-2】（2022春 涿鹿县期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是　 　（填写一个即可）．
【变式5-3】（2022春 房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　 　．
【题型6 矩形的判定证明（根据直角判定）】
【例6】（2023春 龙口市期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．
【变式6-1】（2023春 南京月考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．
【变式6-2】（2023 连云港模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【变式6-3】（2022春 鄂州期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
【题型7 矩形的判定证明（根据对角线判定）】
【例7】（2023春 静海区月考）如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
【变式7-1】（2022秋 丹东期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AEBC，连接DE，CE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．
【变式7-2】（2022秋 兰州期末）如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【变式7-3】（2023春 镇江期中）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【题型8 矩形的判定与性质综合】
【例8】（2023春 崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
【变式8-1】（2023春 惠民县期末）如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【变式8-2】（2022春 滨江区期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
【变式8-3】（2022春 定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
矩形-重难点题型
【知识点1 矩形的定义】
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点2 矩形的性质】
①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 矩形的性质（求角的度数）】
【例1】（2023春 南京月考）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　）
A．55° B．40° C．35° D．20°
【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝20°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春 天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，求出AB＝CF＝2，BF＝CE＝1，根据全等三角形的判定推出△ABF≌△FCE，根据全等三角形的性质得出AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，求出∠AFE＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵点E是CD的中点，FC＝2BF，
∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，
∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
【变式1-2】（2023春 秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　．
【分析】先证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE，再证△BAO是等边三角形，得∠OAB＝60°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握矩形的性质，证出△BAO为等边三角形是解此题的关键．
【变式1-3】（2023春 苏州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC，则∠ECD＝　 　°．
【分析】过点C作CM⊥BE交BE于M，先证明△EMC≌△EDC，求得∠DCE＝∠MCE，再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD，最终求得∠ECD．
【解答】解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，
∵EC平分∠BED，
∴∠CEM＝∠CED，
在△EMC和△EDC中
，
∴△EMC≌△EDC（AAS），
∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，
在Rt△BMC中，BM1＝MC，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCD＝45°，
∴∠MCD＝45°
∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质作垂直是解决本题的关键．
【题型2 矩形的性质（求线段长度）】
【例2】（2023春 江阴市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【解答】解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式2-1】（2023春 鄞州区校级期中）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】由“ASA”可证△ADH≌△GNH，可得DH＝HN，NG＝AD＝2，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DNDE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EHDN，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，证明DE＝EN是本题的关键．
【变式2-2】（2023春 玄武区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE，AF，则AC的长为　 　．
【分析】利用垂直平分线的性质以及矩形的性质即可证明△AOF≌△COE，进而得AF＝CE，再利用勾股定理求出AB和AC的长．
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CE，
又∵BE，
∴BC＝BE+EC8，
在Rt△ABE中，
AB6，
在Rt△ABC中，
AC10．
故答案为：10．
【点评】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解题关键是利用全等三角形以及勾股定理进行推理运算．
【变式2-3】（2023春 苏州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　 　．
【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM＝2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
【解答】解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点，PM∥FE，
∴FE为△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝2，PM＝2EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM＝AB＝3，
∵MD＝AD﹣AM＝4，
在Rt△PMD中，PD，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键．
【题型3 矩形的性质综合】
【例3】（2023春 余杭区月考）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
【分析】（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；
（2）设AD＝x，则AF＝x﹣1，在△AFD中，利用勾股定理，可求得AD，可求得矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD DC＝65．
【点评】本题主要考查矩形的性质，证得三角形全等是解题的关键．
【变式3-1】（2023春 渝中区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求证：OE＝FE．
【分析】（1）由矩形的性质可得AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，结合AE平分∠BAD，可求得∠BAO＝60°，则可判定△ABO是等边三角形，则由AB＝2，可得AC的长，然后由勾股定理求得BC的长，最后由矩形的面积公式计算即可；
（2）先判定△ABE为等腰直角三角形，则可得BE＝AB，由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠OFE＝∠BOE，然后由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE∠BAD＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC2，
∴矩形ABCD的面积为：AB×BC＝4；
（2）证明：∵△ABO是等边三角形，
∴BO＝AB，∠ABO＝60°，
∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB，
∴BO＝BE，∠EBO＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∴∠BOE（180°﹣∠EBO）＝75°．
∴∠OFE＝∠OBE+∠BEF＝75°，
∴∠OFE＝∠BOE，
∴OE＝FE．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形的外角性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式3-2】（2022秋 天心区期末）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
【分析】（1）利用矩形的性质得出∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC＝30°，进而得出∠BEF＝2∠OBE，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BOAC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BCAC＝3，
∴AB9．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOE≌△COF是解题关键．
【变式3-3】（2023春 越秀区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；
（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．
【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理求出AC，根据对称图形的性质，得出AF＝AB，再根据线段的有关计算求出FC；
（2）①当∠CFE是直角时，利用三角形面积公式和△ABC、△ABE、△AEC面积之间的关系即可；②当∠FCE是直角时，利用勾股定理即可求出；③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，由BE＝AB＝EF即可求得；④当E在BC延长线上，∠ECF＝90°时，先求出CF＝3，再有勾股定理求出BE．
【解答】解：（1）如图所示：
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC，
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，
∴AF＝AB＝2，
∴FC＝AC﹣AF2．
（2）当△FCE是直角三角形时，
①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：
由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，
设BE＝x，则EF＝x，
∴S△ABC3×23，
S△ABE2xx，
S△ACEx，
∴3xx，
解得：x＝24．
∴BE＝24．
②当∠FCE是直角时，如图所示：
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
∴AB＝AF，BE＝EF，
在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝2，
∴DF，
CF＝DC﹣CE＝2，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，
∴在Rt△ADF中，
EF2＝CE2+CF2，
x2＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BE＝EF＝2；
③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：
由题意得：BE＝AB＝EF＝2．
④当E在BC延长线上，∠ECF＝90°时，如图所示：
在Rt△ADF中，
DF，
∴CF＝3，
设BE＝t，则EF＝t，CE＝t﹣3，
在Rt△ECF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
即（3）2+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝6，
∴BE＝6．
【点评】本题考查矩形性质、勾股定理、三角形面积和图形对称等知识，对知识的应用是解题的关键．
【知识点3 直角三角形斜边中线】
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
【题型4 直角三角形斜边中线】
【例4】（2023春 海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．3 C．8 D．6
【分析】由BE＝BC知道点B为CE的中点，而点F为DE的中点，根据中位线定理可以求得CD；在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边AB的长；根据勾股定理求得BC的长．
【解答】解：∵BE＝BC，
∴点B为CE的中点，
∵点F为DE的中点，
∴BF为△CDE的中位线，
∴CD＝2BF＝2×3＝6，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD为中线，
∴CD＝AD＝BD＝6，
∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，
在Rt△ABC中，
∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，
∴BC6．
故选：A．
【点评】本题考查了中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理，其中，中位线定理是解题的突破口．
【变式4-1】（2023春 海淀区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
【分析】连接AM，CM，根据直角三角形斜边上中线的性质得出AM，CMBD，求出AM＝CM，再根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：MN⊥AC，
证明：连接AM，CM，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，
∴AM，CMBD，
∴AM＝CM，
∵N为AC的中点，
∴MN⊥AC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②等腰三角形底边上的中线垂直于底边．
【变式4-2】（2023春 东湖区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME＝60°，再根据等边三角形的判定方法解答．
【解答】（1）证明：连接ME，MD．
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝MEBC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△EDM是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）求出∠DME＝60°．
【变式4-3】（2023春 邛崃市期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程．
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DMBC，MEBC，从而得到DM＝ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME即可．
【解答】（1）证明：连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，
∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，
∵M是线段BC的中点，
∴DMBC，EMBC，
∴DM＝EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∠DME＝180°﹣2∠A，
证明：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
【知识点4 矩形的判定方法】
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）；
【题型5 判定矩形成立的条件】
【例5】（2023春 阳谷县期末）在四边形ABCD中，AC，BD交于点O．在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
D．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
【分析】由∠B+∠C＝180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，A符合题意；
由AO＝CO，BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出B不符合题意；
由∠A+∠B＝180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC＝AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出C不符合题意．
由AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出D不符合题意；
【解答】解：∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴A不符合题意；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B不符合题意；
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴C不符合题意；
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
【变式5-1】（2023春 招远市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单．
【变式5-2】（2022春 涿鹿县期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是　 　（填写一个即可）．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
【解答】解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．
故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．
【点评】此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【变式5-3】（2022春 房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　 　．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【题型6 矩形的判定证明（根据直角判定）】
【例6】（2023春 龙口市期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．
【变式6-1】（2023春 南京月考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠ADB＝90°，由（1）知四边形BDAF为平行四边形，则 BDAF是矩形．
【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC满足：AB＝AC时，四边形BDAF为矩形，
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知四边形BDAF为平行四边形，
∴ BDAF为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
【变式6-2】（2023 连云港模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BEOB，DFOD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-3】（2022春 鄂州期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；
（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；
【解答】解：（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACG）180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．
【题型7 矩形的判定证明（根据对角线判定）】
【例7】（2023春 静海区月考）如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC＝ED．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，
即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
【变式7-1】（2022秋 丹东期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AEBC，连接DE，CE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；
（2）根据矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CDBC，
∵AEBC，
∴AE＝BD，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE；
（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，
∵AEBC，BD＝CDBC，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝DE，
∴当AB＝AC时，AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式7-2】（2022秋 兰州期末）如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论．
【解答】证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式7-3】（2023春 镇江期中）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE＝OC，OF＝OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可；
【解答】（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OF＝OC，
∴OE＝OF．
（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，题型较好，综合性比较强，难度也适中．
【题型8 矩形的判定与性质综合】
【例8】（2023春 崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OCAC，OB＝ODBD，再证出AC＝BD，即可得出结论；
（2）由勾股定理可求AC＝BD＝13，由面积法可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD13，
∴BO＝OD＝AO＝CO，
∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴FPEP＝15，
∴PE+PF．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．
【变式8-1】（2023春 惠民县期末）如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【分析】（1）①根据角平分线定义得到∠OCE＝∠BCE，由垂直的定义得到∠CFO＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据平行线的性质得到∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的性质得到∠EBC＝∠EOC＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质得到AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，得到△OBC是等边三角形，求得∠OCB＝60°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECBOCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EBEC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式8-2】（2022春 滨江区期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
【分析】（1）连接MN，由勾股定理求出AC＝5，证出四边形ABNM是矩形，得MN＝AB＝3，证△AME≌△CNF（SAS），得出EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，证EM∥FN，得四边形EMFN是平行四边形，求出MN＝EF，即可得出结论；
（2）连接MN，作MH⊥BC于H，则MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，得HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，由矩形的性质得出MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
【变式8-3】（2022春 定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠B＝90°即可．
（2）如图2中，延长CM、BA交于点E，只要证明△AME≌△DMC，得到AE＝CD＝4，再证明EN＝CN即可解决问题．
（3）如图3中，延长CM、BA交于点E．设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，由此列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x，
∴BC．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线．构造全等三角形，属于中考考查图形.