2023-2024学年数学八年级一元二次方程单元测试试题（浙教版）基础卷含解析

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2023-2024学年数学八年级一元二次方程单元测试试题（浙教版）基础卷含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（本题3分）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断
5．（本题3分）关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．（本题3分）2024年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8．（本题3分）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算．例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
9．（本题3分）在面积等于的所有矩形卡片中，周长不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）是方程的一个根，则= ．
12．（本题3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．（本题3分）写出一个关于的二项方程，这个方程可以是 .
14．（本题3分）关于x的方程的一根为1，则 ．
15．（本题3分）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么实数k的取值范围是 ．
16．（本题3分）若方程的两根满足，则a的值为 ．
17．（本题3分）已知，则= ．
18．（本题3分）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两农妇一共带了个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板．”第二个农妇回答：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖得个铜板．”请问第一个农妇有 个鸡蛋．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
20．（本题8分）解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
21．（本题10分）（1） （2）
22．（本题10分）我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)
23．（本题10分）如图，长方形的长是，宽是，把长减少，宽增加，得到一个正方形，且长方形和正方形的面积相等．请列出关于x、y的方程组，并求出长方形的长、宽各是多少？
24．（本题10分）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2020到2022这两年型汽车年销售总量增加了年销售单价下降了．
(1)设2020年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表：
年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元
2020 ______
2022 ______ ______ ______
(2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
25．（本题10分）某水果超市经销一种新鲜水果，每千克售价50元．
(1)若连续两次降价后每千克售价为32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克降价1元，日销售量将增加20千克，为薄利多销，该超市决定采取适当的降价措施，若该超市希望每天盈利3000元，那么每千克应降价多少元？
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】解：A、变形为，此时，
此方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、变形为，，
此时方程无实数根，故不符合题意；
C、化为，
此方程没有实数根，故不符合题意；
D、 中，，
此方程有两个不相等的实数根，故符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
4．B
【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用知识点是解决问题的关键．
一元二次方程的根与系数的关系是：
，方程有两个不相等的实数根；
，方程没有实数根；
，方程有两个相等的实数根，
本题只需代入a、b、c，进行求解判断即可．
【详解】解：∵，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．C
【分析】
本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，根据平方根的定义即可判断，利用偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴这个一元二次方程没实数根，
故选：．
6．A
【分析】
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设数学兴趣小组的人数为，则每个人都要与人发一次微信，据此列出方程即可．
【详解】解：设数学兴趣小组的人数为，
由题意得，，
故选：A．
7．C
【分析】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：C．
8．C
【分析】
本题考查新定义下的实数运算和一元二次方程根的情况，根据定义列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判别根的情况.
【详解】解：根据定义，
整理得：，
其中，，，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，设矩形的长为，周长为，则宽为，可得，由求出的求值范围即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
【详解】解：设矩形的长为，周长为，则宽为，
则，
整理得，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴周长不可能是，
故选：．
10．D
【分析】
此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
11．
【分析】
本题考查了一元二次方程的解、二次根式的性质与化简，此类题型的特点是，利用方程解的定义求得所求代数式中的未知数的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
先将代入方程，求出m的值，再将其代入所求的代数式化简求值即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，解得m=7，
则．
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
解得：．
故答案为：．
13． (答案不唯一)
【分析】
本题考查了方程的项数的定义，掌握定义是关键．根据二项方程定义写出即可．只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）．
【详解】
解：二项方程可以是 (答案不唯一)．
故答案为： (答案不唯一)．
14．2
【分析】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
由方程的一根为1，将代入方程，即可求出m的值．
【详解】解：∵方程的一根为1，
∴把代入，得
，
解得：，
故答案为：2．
15．
【分析】
本题考查根的判别式．根据方程无实数根，得到判别式小于0，列出不等式求解即可．
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
16．2
【分析】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是理解若是一元二次方程的两根时，，．
根据根与系数的关系得出，，再把转化为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵方程的两根满足，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：2．
17．
【分析】
本题考查了分式方程，完全平方公式的运用，以及因式分解法，熟练掌握各知识点并灵活运用是解决本题的关键．
先对进行配凑处理，变形为，再利用整体的思想求出的值，最后尤其需要注意检验．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
因式分解，得
，
∴或，
∴或，
当时，化简得：，
此时，该方程无实数根，故舍去，
而 时，化简得：，
此时，该方程有解，符合题意．
故答案为：．
18．
【分析】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可求解，找到关键描述语，合适的等量关系是解决问题的关键．
【详解】
解：设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，则第一个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，第二个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，依题意可得：
，
整理，得，
解得（舍去），
经检验，是方程的解，
∴第一个农妇有个鸡蛋．
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法，熟练掌握用这两种方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【详解】（1）解：；
整理得：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
20．(1)，
(2)，
【分析】
本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）先计算的值，再用公式计算，即得答案；
（2）通过移项，提取公因式，即得答案．
【详解】（1），，，
，
，
，；
（2）移项，得 ，
提取公因式，得 ，
即 ，
，．
21．（1），；（2），
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】解：（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
或，
解得，．
22．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（3）∵，
∴，
∴或，
∴，．
23．，长方形的长、宽各是，
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，根据正方形边长相等可得方程，根据两个阴影部分面积相等可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得，
∴长方形的长、宽各是，
24．(1)；；；
(2)年增长率为
【分析】
（1）分别计算2020年的销售总量，销售单价，根据，销售总量销售单价总销售额，即可求解，
（2）设年增长率为，根据增长率的定义列式，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的应用，解题的关键是：充分理解题意正确列式．
【详解】（1）解：2020年销售型汽车总额：（亿元），
2022年销售型汽车总量：（万辆），
2022年售型汽车单价：（万元），
2022年销售型汽车总额：（亿元），
故答案为：；；；，
（2）解：设年增长率为，
根据题意得：，解得：，（舍去），
故答案为：年增长率为．
25．(1)每次下降的百分率为；
(2)该超市希望每天盈利元，每千克应降价元．
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
（1）设每次下降的百分率为，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据总盈利每千克盈利数量，列出一元二次方程，然后求出其方程解即可得到结果．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，依题意得：
，
解得：，
（不符合题意，舍去），
∴每次下降的百分率为，
答：每次下降的百分率为20%．
（2）解：设每千克应降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该超市希望每天盈利元，每千克应降价元，
答：该超市希望每天盈利3000元，每千克应降价5元．
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