浙教版九年级数学下册第一章 解直角三角形 单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级数学下册第一章 解直角三角形 单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 689.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-28 14:58:07 | ||
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文档简介
浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷
一、选择题
1． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
4．某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了30米到达点，在点测得旗杆顶端A的仰角，则旗杆的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6． 等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
8．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度 的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（ ）
A．m B．4m C．3m D．
9．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
二、填空题
10．计算： .
11．在中，，，，则的面积为 .
12．当为锐角，且时，的取值范围是 ．
13．如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
三、解答题
14．计算：2cos45° tan30°cos30°+sin260°．
15．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A是锐角，且tanA＝.
（1）求sinA；
（2）若BC＝，求AB的长．
16．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）
17．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
18．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 .
（1）求证； ；
（2）若 ，求扇形 （阴影部分）的面积.
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，，再根据锐角的余弦值随着的增大而减小求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，∠ADB=60°，∠C=30°，CD=30米，
∴∠DAC=∠ADB ∠C=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD=30米，
∴(米)，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出AD=DC，再在Rt△ABD中，由边角关系可得答案。
5．【答案】A
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
6．【答案】A
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC= m ，
∴，
∴BC=2，
∴AB=(m).
故答案为：B。
【分析】根据坡度的定义，求得BC的长度，进一步根据勾股定理求得AB的长度即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：
∠A=40°
在Rt△OAB中
，即AB=
故答案为：A
【分析】根据题意可求出∠A=40°，再在Rt△OAB中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
10．【答案】
【解析】【解答】解： ==.
故答案为：.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
11．【答案】或
【解析】【解答】解：由题意可得：
过点C作AB边的垂线，垂足为M
在Rt△AMC中
∴
∴
当点B在点M左侧时
∴
∴
当点B在点M右侧时
∴
故答案为： 或
【分析】根据题意画出图形，过点C作AB边的垂线，垂足为M，在在Rt△AMC中，根据锐角三角函数可得，再根据勾股定理求出AM长，BM长，再根据三角形面积公式即可求出答案.
12．【答案】
【解析】【解答】
【分析】利用特殊角的余弦值与锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
14．【答案】解：原式
= ﹣ +
= ．
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入后按二次根式的混合运算顺序计算即可.
15．【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB，如图，
在中，
设
∴
∴
（2）解：由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥AB，根据题意得到，设利用勾股定理求出AC的长度，进而即可求解；
（2）由（1）知：进而求出MB的长度，根据勾股定理列方程 解方程即可求解.
16．【答案】解：解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD= ，
∴ = ，
解得，x≈233．
答：热气球离地面的高度约为233米
【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
17．【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
18．【答案】（1）解：证明； 是 的直径，弦 ，
，
（2）解： ，
为等边三角形，
，
，
是 的直径，弦 ， ，
，
在 中， ，
∴扇形 （阴影部分）的面积 .
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC 为等边三角形，求出∠AOC ，根据正弦的定义求出OC ，利用扇形面积公式计算即可.
19．【答案】（1）解：在中，，
∴．
即的长为．
（2）解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【解析】【分析】（1）根据题意求出 ，即可作答；
（2）①结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可；
②利用矩形的判定求出四边形是矩形，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
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一、选择题
1． 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
4．某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆的高度，他们在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了30米到达点，在点测得旗杆顶端A的仰角，则旗杆的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6． 等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
8．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度 的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（ ）
A．m B．4m C．3m D．
9．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
二、填空题
10．计算： .
11．在中，，，，则的面积为 .
12．当为锐角，且时，的取值范围是 ．
13．如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
三、解答题
14．计算：2cos45° tan30°cos30°+sin260°．
15．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A是锐角，且tanA＝.
（1）求sinA；
（2）若BC＝，求AB的长．
16．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）
17．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
18．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 .
（1）求证； ；
（2）若 ，求扇形 （阴影部分）的面积.
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，，再根据锐角的余弦值随着的增大而减小求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，∠ADB=60°，∠C=30°，CD=30米，
∴∠DAC=∠ADB ∠C=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD=30米，
∴(米)，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出AD=DC，再在Rt△ABD中，由边角关系可得答案。
5．【答案】A
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
6．【答案】A
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC= m ，
∴，
∴BC=2，
∴AB=(m).
故答案为：B。
【分析】根据坡度的定义，求得BC的长度，进一步根据勾股定理求得AB的长度即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：
∠A=40°
在Rt△OAB中
，即AB=
故答案为：A
【分析】根据题意可求出∠A=40°，再在Rt△OAB中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.
10．【答案】
【解析】【解答】解： ==.
故答案为：.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
11．【答案】或
【解析】【解答】解：由题意可得：
过点C作AB边的垂线，垂足为M
在Rt△AMC中
∴
∴
当点B在点M左侧时
∴
∴
当点B在点M右侧时
∴
故答案为： 或
【分析】根据题意画出图形，过点C作AB边的垂线，垂足为M，在在Rt△AMC中，根据锐角三角函数可得，再根据勾股定理求出AM长，BM长，再根据三角形面积公式即可求出答案.
12．【答案】
【解析】【解答】
【分析】利用特殊角的余弦值与锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
14．【答案】解：原式
= ﹣ +
= ．
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入后按二次根式的混合运算顺序计算即可.
15．【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB，如图，
在中，
设
∴
∴
（2）解：由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥AB，根据题意得到，设利用勾股定理求出AC的长度，进而即可求解；
（2）由（1）知：进而求出MB的长度，根据勾股定理列方程 解方程即可求解.
16．【答案】解：解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD= ，
∴ = ，
解得，x≈233．
答：热气球离地面的高度约为233米
【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
17．【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
18．【答案】（1）解：证明； 是 的直径，弦 ，
，
（2）解： ，
为等边三角形，
，
，
是 的直径，弦 ， ，
，
在 中， ，
∴扇形 （阴影部分）的面积 .
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC 为等边三角形，求出∠AOC ，根据正弦的定义求出OC ，利用扇形面积公式计算即可.
19．【答案】（1）解：在中，，
∴．
即的长为．
（2）解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【解析】【分析】（1）根据题意求出 ，即可作答；
（2）①结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可；
②利用矩形的判定求出四边形是矩形，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
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