矩形、菱形、正方形复习

课件16张PPT。矩形、菱形、正方形复习正方形的定义可知：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。由　从图(1)中可以知道，平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是正方形，可以从两步来着手，一步先判定四边形是矩形，再一步判定这个矩形又是菱形；
　或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形。
范例精讲 例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD
的边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。　　　 分析（1）你能证明四边形是矩形吗？
　　　
　　　（2）你能证明四边形是菱形吗？？ 　　　
　　　（3）你能证明四边形是正方形吗？？ 　请大家完成证明证明：
∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90°又∵AD‘＝AD　AA’＝A‘B＝AB　BB’＝BC∴AD’＝AA’＝A‘B＝BB’∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
∴∠D‘A’B‘＝180°－∠1－∠3＝180°－45°－45°＝90°同理：∠A’B‘C’＝90°　∠B‘C’D‘＝90°∴四边形A’B‘C’D‘是矩形
　在△D’AA‘和△A’BB‘中
∴△D'AA'≌△A'BB'(SAS)∴A'D'＝A'B'∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 学习如逆水行舟不进则退 练习：求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。　　 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
　　　AC、BD相交于点O，且AC＝BD，
　　　AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD。　
求证：四边形ABCD是正方形。 请大家先根据题意，画出图形然后写出已知，求证，求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。　　 已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线
证明：
∵AO＝CO,BO＝DO ∴四边形ABCD是平行四边形
　又AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 又∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是正方形解题小结： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理，要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上，我们可以把本例作为正方形的一个判定定理：即：即角线垂直平分且相等的四边形是正方形。AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。
例2．已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D　　　　　的平分线组成四边形A'B'C'D'，
分析：
判定一个四边形是正方形可以选择：


求证：四边形A'B'C'D'是正方形。下面请大家进行证明。(1)先证明它是矩形，再证它有一组邻 边相等；(2)先证明它是菱形，再证它有一个角等于90°已知：如图(4)矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的 平分线组成四边形A'B'C'D'，
证明：在四边形ABCD中
求证：四边形A'B'C'D'是正方形。又∵AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证)AB'－AA'＝BD'－BA'A'B'＝A'D'∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA∴∠B'＝∠D'＝90°∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°　AD＝BC∴△AB'D≌△BD'C　(ASA)∴AB'＝BD'＝CD'＝DB'同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC'∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形) 1．四个内角都相等的四边形一定是： A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是　　正 方形的是： A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　　C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD 3 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：　　A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形 练习：一.选择题:1.要画一个周长18cm的长方形,要求长是宽的2倍,则长和宽分别是( )A.6cm,3cm B.12cm,6cm C.9cm,3cm D.6cm,12cm2.矩形ABCD的各边中点依次为E,F,G,H,则( )A. EG,FH互相垂直平分 B. EG,FH垂直但不平分C. EG,FH互相平分但不垂直 D. EG,FH相等3.在线段,角,等边三角形,等腰梯形,菱形,正方形,圆和平行四边形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )A.7个 B.6个 C.5个 D.4个4.下列命题中,假命题的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个⑴一组邻边相等的矩形是正方形 ⑵有一个角是直角的菱形是正方形 ⑶对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 ⑷对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑸对角线互相垂直的菱形是正方形 ⑹对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形二.填空题:1.已知矩形ABCD中,如图,E是AB上的点,且∠CDE=30°, DE=12cm,DC=2BC,则BC= ,DC= .2.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠BAE=30°,AE=2,则AC= .3.如图,菱形ABCD的周长为20cm,∠A:∠B=1:2,则⑴BD= , AC= ; ⑵S菱形ABCD= .4.已知菱形的两条对角线之和为5cm,面积为3cm2,则这两条对角线的长分别为 和 .5.矩形的长和宽分别是8cm和5cm,顺次连结这个矩形各边中点所成图形的面积是 .6.如图,边长为1的正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD 上的点,且MN=BM+ND,则∠MAN= .2.如图,矩形EFGH的顶点F,G在等腰Rt△ABC的斜边AB上,E,H分别在直角边AC和BC上,若EF= EH，AB=12cm,求矩形EFGH的周长.3.在△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,ED∥BC交AB于E,DF∥BC交BC于F,求证:EF⊥BD4.如图,M是正方形ABCD的边BC上的一点,AM⊥ME,∠DCE=45°,求证AM=ME.