中小学教育资源及组卷应用平台
【周周练】浙教版2023-2024学年八下数学第6周中位线综合训练
考试时间：120分钟 满分：120分
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
1．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
2．如图，在Rt△ABC中，∠LACB=90° ，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连结BE，CD，P，Q分别是BE，DC的中点，连结PQ，求PQ的长．
3．如图，已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC， Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90° ，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME．当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF．
4．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
5．如图，
（1）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：．结合图①，写出完整的证明过程：
（2）如图②，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长。
（3）方法拓展：如图③，在四边形中，，，，点P、Q分别在、边上，，，则 ．（不用写过程。直接写结果）
6．在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是 ；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
7．
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
8．如图1，在Rt中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值．
9．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
（2）如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
10．如图，在 中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）点为的中点，连接，交于点，求证：．
11．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
12．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6 ∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
13．如图1，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接BE、P、Q、M分别为DE，BC，BE的中点.
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）若把图1中的绕点A顺时针旋转到图2的位置，连接PQ，BD，CE，判断的形状，并说明理由；
（3）已知，，将绕点A旋转一周的过程中，请直接写出面积的最大值.
14．（问题情境）
如图1，在 中， ，D是 边上一点，过点D作 交 于点E，以D为顶点， 为一边作 ，使其另一边与 边交于点F， 与 交于点G．
（1）求证：G是 的中点；
（2）M，N分别是 ， 的中点，连接 ，求证：点G在线段 上；
（3）（迁移拓展）
如图2，已知D是长为4的线段 上的动点（D不与A，B重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，G为 的中点，连接 ．
①请直接写出 的最小值；（不要求写解题过程）
②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．
15．如图
（1）思维启迪
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
（2）思维探索
如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE.
（1）（模型研究）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）（模型推广）如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）（模型应用）若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长.
17．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.
（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是 ，∠MNP的度数为 ；
（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；
（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.
18．我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
（1）重温定理，识别图形
如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE= DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DE BC，DE＝ BC”.
（2）寻找图形，完成证明
如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH.求证CF＝ BE.
（3）构造图形，解决问题
如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【周周练】浙教版2023-2024学年八下数学第6周中位线综合训练
解析版
1．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
2．如图，在Rt△ABC中，∠LACB=90° ，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连结BE，CD，P，Q分别是BE，DC的中点，连结PQ，求PQ的长．
【答案】解：在△ACB中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
∴BC= =12．
如图，取BD的中点F，连接PF，QF，
∵ P，Q分别是BE， DC的中点，
∴PF是△BDE的中位线， FQ是△BCD的中位线，
∴PF ∥ ED，PF=DE=1，FQ∥BC，FQ=BC=6．
∵DE∥AC，AC⊥BC，
∴PF⊥FQ，
∴PQ=．
3．如图，已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC， Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90° ，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME．当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF．
【答案】证明：如图，延长AB交CF于点D，
∵∠ABC=90°，∴∠DBC=90°．
∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCB= 45°．
在△ABC和△DBC中，∴△ABC≌△DBC( ASA)，
∴AB=BC=BD，∴B为AD的中点．
又∵M为AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴MB∥CF．
4．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
【答案】（1）
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，
连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：（万元）．
【解析】【解答】解：（1）作BE⊥OA，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=2.6km，BD=2km，
∴
∵AB=OB，BE⊥OA，
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
5．如图，
（1）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：．结合图①，写出完整的证明过程：
（2）如图②，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长。
（3）方法拓展：如图③，在四边形中，，，，点P、Q分别在、边上，，，则 ．（不用写过程。直接写结果）
【答案】（1）证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
点，分别是，的中点
是的中位线，
，
（2）解：如图②，连接，取的中点，连接，，
点，分别是，的中点，
同理：是的中位线
是的中位线，
，
是的中位线，
，
根据勾股定理得，
（3）
【解析】（3）方法拓展：如图③，
连接，在上取一点，使，则
，
∴
，
同理：
∴
，
，
，
，
过点作于，则，，
，根据勾股定理得，，
故答案为：．
6．在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是 ；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）解： ，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得： ，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
（3）解： ①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【解析】解：∵ 点D，E是边，的中点 ，
∴BD=AB，CE=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△DEC中， 点M，N分别是和的中点 ，
∴MN=CE=BD，
故答案为：MN=BD，
7．
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
8．如图1，在Rt中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）解：如图，连接、，延长交于点，
，
，
，
点分别为的中点，
，，
，，
是等腰直角三角形
（3）解： ，、 都是等腰直角三角形
，，
是等腰直角三角形且
要使面积有最大值，则取最大值
点、、三点在同一直线上，
，
，
面积的最大值为.
【解析】(1)，
，
，
，，
，
点分别为的中点，
，，
，，
故答案为：；.
9．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
（2）如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．
【答案】（1）解：连接EO，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，O点为BD中点，，
∵E点为AD中点，
∴EO为△ABD的中位线，
∴，，
∴，
∵BD⊥CD，
∴EO⊥BD，
∴△EDF的面积为，
∵，DF=2，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：等量关系：，理由如下：
过D点作DR⊥DM，交EC于R点，如图，
∵CD⊥BD，DR⊥MD，
∴∠MDR=∠BDC=90°，
∴∠HDG+∠GDR=∠GDR+∠RDC=90°，
∴∠HDG=∠RDC，
∵CH⊥EC，
∴∠GHC=90°=∠FDC，
∵∠HFG=∠DFC，
∴在△HFG和△DFC中有∠HGF=∠DCF，
∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=AB，
∴DG=CD，
即，
∴△DHG≌△DRC，
∴DH=DR，HG=CR，
∵∠HDR=90°，
∴△HDR为等腰直角三角形，
∴∠DHR=∠DRH=45°，，
∵DG=CD，∠GDC=90°，
∴△GDC为等腰直角三角形，
∴∠DGC=∠DCG=45°，，
∵AB=CD，
∴，
∵，
∴DM=CG，
∵在平行四边形ABCD中，，
∵CD⊥BD，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵∠GHC=90°，
∴∠GHC=∠MBD，
∵在△HFD和△GFC中，∠DHF=45°=∠FGC，∠HFD=∠GFC，
∴∠HDF=∠FCG，
即，
∴△CHG≌△DBM，
∴CH=BD，BM=HG，
∵CR=HG，
∴BM=CR，
∵CR+RH=CH，
∴BM+RH=CH=BD，
∵，
∴；
（3）
【解析】（3）在CD上取一点G，使得CG=CN，连接QG，过B点作 ，使得 ，连接DS交EC于点T，连接QS、GS，过S点作SM⊥BD于M点，过G点作HG⊥BD于H点，如图，
∵在平行四边形ABCD中，有AB=CD， ， ，
∴CD=AB=2，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵CD⊥BD，CE平分∠BCD，
∴∠BDC=90°，∠DCF=∠BCF=30°，
∴∠DBC=30°，
∴在Rt△DCB中，BC=2DC=4， ，
∵4CN=BC，CG=CN，
∴CN=1=CG，
∴DG=CD-CG=2-1=1，
∵ ， ，
∴四边形BSQP是平行四边形，
∴BP=QS，
∵QC=QC，∠NCQ=∠GCQ，CG=CN，
∴△QNC≌△QGC，
∴QN=QG，
∴ ，
即当Q点在GS上时，QS+QG最小，最小为GS，
则 最小值为 ，
∵ ，
∴∠SBC=∠BCE=30°，
∴∠SBM=∠SBC+∠CBD=30°+30°=60°，
∵SM⊥BD，
∴∠SMB=90°，即∠MSB=30°，
∵在Rt△SMB中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△MSD中， ，
∴ ，
∴△BSD是直角三角形，∠BSD=90°，
∴∠BDS=90°-∠DBS=90°-60°=30°，
∵GH⊥DS，
∴∠DHG=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠GDH=∠BDC-∠BDS=60°，
∴在Rt△DHG中，∠DGH=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴在Rt△HSG中， ，
即 ，
则有 的最小值为： ．
10．如图，在 中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）点为的中点，连接，交于点，求证：．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
同理： ，
，
为 的中点；
（2）解：由 可知， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
即 的长为 ；
（3）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，
点 为 的中点，
是 的中位线，
，且 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
由 可知， ，
，
又 ，
≌ ，
，
，
，
，
．
11．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
【答案】（1）证明：延长至M，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
线段与的数量关系为：，
理由：延长至点，使，连接、，
点F为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
线段绕点E逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
②或
【解析】(2)②的长为 或．
当为的中位线时，，，
点是的中点，
为的中点，
，
；
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，
为等腰三角形，，
，
，，
，
，
为的中点，F为的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即，
综上所述，的长为或．
12．阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
【答案】（1）解：取BD的中点P，连接PE、PF，
∵E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PE AB，PE =AB，PF CD，PF =CD，
∵AB=6，CD=8，
∴PE=3，PF =4，
∵PEAB，PFCD，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
∴△EPF是直角三角形，
∴EF=；
（2）证明：∵PEAB，
∴∠ABD+∠BPE=180°，
∵∠BDC-∠ABD=90°，
∴∠BDC-（180°-∠BPE）=90°，
∴∠BDC+∠BPE=270°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2．
∵PE =AB，PF =CD，
∴(AB)2+(CD)2=EF2．
∴AB2+CD2=4EF2．
13．如图1，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接BE、P、Q、M分别为DE，BC，BE的中点.
（1）观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）若把图1中的绕点A顺时针旋转到图2的位置，连接PQ，BD，CE，判断的形状，并说明理由；
（3）已知，，将绕点A旋转一周的过程中，请直接写出面积的最大值.
【答案】（1）相等；垂直
（2）解：是等腰直角三角形.
理由如下：如图1所示：
延长交于N交于O，
，
，即：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中位线，
，，
，
同理可得：，，
，，
同理（1）可得：，
是等腰直角三角形；
（3）
【解析】（1），，
，即：，
点P是的中点，点M是的中点，
，，
，
同理可得：，，
，，
，
，
故答案为：相等，垂直；
（3）如图2所示：
由（2）知：是等腰直角三角形，且直角边，
当最大时，的面积最大，
，
当B、A、D共线时，最大，
，
.
14．（问题情境）
如图1，在 中， ，D是 边上一点，过点D作 交 于点E，以D为顶点， 为一边作 ，使其另一边与 边交于点F， 与 交于点G．
（1）求证：G是 的中点；
（2）M，N分别是 ， 的中点，连接 ，求证：点G在线段 上；
（3）（迁移拓展）
如图2，已知D是长为4的线段 上的动点（D不与A，B重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，G为 的中点，连接 ．
①请直接写出 的最小值；（不要求写解题过程）
②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∵
∴
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵点G是平行四边形 对角线 ， 的交点
∴ ，即G是 的中点
（2）解：连接
∵M，N是 ， 的中点
∴ 是 的中位线
∴
∵M是 的中点，由（1）知G是 的中点，
∴ 是 的中位线．
∴ ．
∴M，N，G在同一直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）
即点G在 上．
（3）解：①
②如图所示，分别延长 ， 交于点C，连接 ．
∵ 和 是等边三角形．
∴
∴ ，∴ ， 是等边三角形．
∴四边形 是平行四边形， ．
∴ 与 互相平分．
∵G为 的中点，
∴G是 与 的交点，即G在 上．
∴G是 为中点，∴ ．
当 时， 的长最短
∵ 是等边三角形， ．
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
∴ ．
15．如图
（1）思维启迪
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
（2）思维探索
如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
【答案】（1）1
（2）解：如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
∵点M是AD的中点，点F是AB的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF∥BD，MF＝，
∴∠AFM＝∠ABD＝60°，
∵点N是BE的中点，F是AB的中点，
∴NF是△ABE的中位线，
∴NF∥AE，NF＝，
∴∠BFN＝∠BAC＝60°，
∵BD＝AE，
∴MF＝FN，
∴∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，
∴△MNF是等边三角形，
∴MN＝FN＝，
∴AE＝2，
∴MN＝1；
（3）解：
如图，当点D在线段AC上时， 当点D在AC延长线上时，
或
【解析】（1）∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴点E是CD的中点，
∵点F是BC中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝1.
故答案为：1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，
连接MF、DF、NG、FN，
∵∠DCE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CE，
∵DF是△ACE的中位线，FN是△ABE的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴DF∥CE，FN∥AB，DG∥AB，NG∥CE，
∴点F、D、N、G四点共线，
∴DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∴DM＝DF＝DN＝1，
∴∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∵∠DMN＋∠DNM＋∠MDF＋∠DFM＝180°，
∴∠NMF＝90°，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：
MN＝，
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG⊥MF于G，
同理FM＝1，FN＝2，
∵∠EFN＝∠BAE，
∴∠NFM＝60°＋∠EFM＝∠BAE＋∠EAC＋60°＝120°，
∴∠NFG＝60°，
∴FG＝，NG＝，
∵GM＝2，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：
MN＝，
综上所述：MN＝或．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE.
（1）（模型研究）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）（模型推广）如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）（模型应用）若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长.
【答案】（1）证明：设AC与ME交于点F，如图，
，
在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，
∴MF为△ABC中位线，
∴F为AC中点，
∴AF=AC，
∵AM∥CE，
∴∠AMF=∠CEF，
∵∠AFM=∠CFE，
∴△AFM≌△CFE（AAS），
∴AM=CE，
∵AM∥CE，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AE∥CM，AE=CM，
∴AE=BM，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）解：延长BD交CE于点F，如图，
在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，
∴DM为△BFC中位线，
∴D为BF中点，
∴BD=DF，
∵AB∥DE，AM∥CE，
∴∠ABD=∠EDF，∠BDA=∠DFE，
∴△BDA≌△DFE（ASA），
∴AD=EF，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，AE=DF，
∴AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（3）
【解析】【解答】（3）解：过点D作DF⊥BC，如图，
，
∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，AB=4，BM= BC=2，
∴AM= ，
∵点D为AM中点，
∴DM= ，
∴CF= ，
由（2）可知四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE=4，
在Rt△DFE中，DE=4，DF=MC=2，
∴EF= ，
∴CE=EF+CF= .
17．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.
（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是 ，∠MNP的度数为 ；
（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；
（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.
【答案】（1）NM=NP；60°
（2）证明：由旋转得：∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，
∴MN= BD，PN= CE，
MN∥BD，PN∥CE，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，
∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，
∴MN= BD，PN= CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
∴∠MNP=60°，
故答案为：NM=NP，60°；
（3）解：由题意知BD≤AB+AD，
即BD≤7，
∴MN≤ ，
由（2）知△MNP是等边三角形，
∴MN= 时，S△MNP最大，
∴S△MNP最大为 = .
18．我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
（1）重温定理，识别图形
如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE= DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DE BC，DE＝ BC”.
（2）寻找图形，完成证明
如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH.求证CF＝ BE.
（3）构造图形，解决问题
如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系.
【答案】（1）DBCF；
（2）解：在正方形ABCD和等腰直角三角形BEH中，
∠ABC＝∠EBH＝90°，BA＝BC，BE＝BH.
∴∠ABE＝∠CBH.
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在正方形AEFG中，AE＝EF，∠AEF＝90°.
∴EF＝CH.
在等腰直角三角形BEH中，∠BEH＝∠BHE＝45°.
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝225°.
∴∠CHB＋∠FEH＝225°.
∵∠BHE＝45°，
∴∠CHE＋∠FEH＝225°－45°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
∵EH＝ ＝ ＝ BE，
∴CF＝ BE.
（3）解：CF＝ BE.
作等腰△BEH，使BH＝BE，∠EBH＝120°，连接CH.
在菱形ABCD和等腰三角形BEH中，
∵∠ABC＝∠EBH＝120°，
∴∠ABE＝∠CBH.
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在菱形AEFG中，∵AE＝EF，
∴EF＝CH.
∵∠BEH＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，∠AEF＝120°，
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝210°.
∴∠CHB＋∠FEH＝210°.
∵∠BHE＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，
∴∠CHE＋∠FEH＝210°－30°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
在△BEH中， EH＝BEtan60°= BE.
∴CF＝ BE.
【解析】（1）如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE= BC.
故答案为：DBCF；BC∥DF，BC＝DF；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
