初中数学浙教版八年级下册 第4章平行四边形单元测试题 含解析

平行四边形
单元测验
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．下列说法中，正确的是 （　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （　　）
A．a>b B．a=b C．a5．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．21 B．24 C．27 D．18
7．如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S ，S ，S ，S ，则下列关于 S ，S ，S ，S 的等量关系中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，给出下列结论：①BE=DF；②四边形EBFD是平行四边形；③AB=DE；④AF=CE； 其中正确的个数是 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
阅卷人 二、填空题
得分
11．若一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和为　 　°
12．如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD.若AD=8cm，则 BC=　 　cm.
13．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则　 　cm．
14．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　 　.
15．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是　 　.
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　s时其中一个新四边形为平行四边形．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
17．如图，E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的点，且AE=CF.求证：DE=BF.
18．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
19．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
20． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则　 　(填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
21．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．
（1）试探究四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接，若，求的长；
（3）如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M．
①试探究的形状，并说明理由；
②若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵黑色是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和为(5-2)×180°=540°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和公式(n-2)×180°进行计算.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、因为等腰梯形的对角线相等，所以对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误；
B、一组对边平行， 另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形，故此选项错误；
C、 一组对边平行，一组对角相等的四边形才是平行四边形 ，故此选项错误；
D、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐个判断得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解： “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
7．【答案】D
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴∠BAE=∠DCF
∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴BE=DF，故①正确；
∵△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠DFC
∴∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF
∵BE∥DF，BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形，故②正确；
由②可知，DE=BF，无法判定AB=DE，故③错误；
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，④正确；
由①可知，S△ABE=S△CDF；
S△ADE=|AE|，S△ABE=S△CDF=|CF|；
∵AE=CF
∴S△ADE=S△ABE=S△CDF，⑤正确；
综上所述，正确结论一共由4个.
故答案为：C.
【分析】①根据平行四边形的性质和三角形全等（SAS）的判定和性质即可判定；②根据内错角相等，判定两直线平行；再根据平行四边形的判定即可判定；③根据平行四边形的性质即可解题；④根据等量代换原则解题即可；⑤根据三角形面积公式，列代数式判定即可.
11．【答案】1440
【解析】【解答】解：由题意得：，
该多边形的内角和为.
故答案为：1440.
【分析】根据多边形的外角和为360°，求出边数，再代入多边形内角和公式，即可得解.
12．【答案】8
【解析】【解答】解：∵两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm.
故答案为：8.
【分析】根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等可得BC=AD=8cm.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
14．【答案】10
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
15．【答案】15
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
16．【答案】4或5
【解析】【解答】解：设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间秒
∴点P和点Q运动时间
在P、Q共同运动ts时
，，，
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当时，四边形PDCQ为平行四边形
即：∴，且满足
当时，四边形APQB为平行四边形
即：∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5.
【分析】结合题意，表示出AP、PD、CQ、BQ，根据平行四边形的判定和性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE=BF.
【解析】【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，∠A=∠C，根据SAS证明△DAE≌△BCF，利用全等三角形的对应边相等即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
20．【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
21．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由：
∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∴
同理：
∵，
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点A作于点P，
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形
设则
∴
在
∴
；
（3）解：①是等腰直角三角形，理由：
∵分别平分
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
由翻折可知
∴
∵
由
∵
∴
是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
设
∴
在
∴
在
∴
∴
在
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
在
∴
∴
∵
．
【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，同理可得 ，进而证明四边形是平行四边形；
（2）过点A作于点P，证明四边形是平行四边形，得出 ，设则在根据勾股定理即可求解；
（3）①翻折可知即可得出是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，可得和是等腰直角三角形，设在得出进而得出，在 根据勾股定理，即可求解．
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