浙教版八年级下册第四章平行四边形培优练习（含解析）

浙教版八年级下册第四章平行四边形培优练习
一、选择题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图为某对战局部棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（　　）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
4．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（　　）
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
6．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
8．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题
11．平行四边形的两条对角线长分别为6 和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围是　 　.
12．若从一个多边形的顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　 　条对角线.
13．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　 　.
14．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为　 　.
15．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是　 　.
16．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为　 　
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF.连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H.求证：EG=FH.
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，E，F 分别是AB，AC的中点，连结 EF，ED，FD.求证：AD=EF.
19．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
20．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
21．在 ABCD 中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.
（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证：
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：D.
【分析】利用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个角是钝角或直角的反面即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
11．【答案】1＜x＜7
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，
∴OB=BD=4，OC=AC=3，
∴4-3＜BC＜4+3，
即1＜BC＜7，
∴ 该平行四边形的一条边x的取值范围1＜x＜7.
故答案为：1＜x＜7.
【分析】画出示意图，由平行四边形的对角线互相平分得OB=BD=4，OC=AC=3，进而根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得x的取值范围.
12．【答案】27
【解析】【解答】解：由题意得多边形边数为6+3=9，
∴ 这个多边形的对角线共有×9×（9-3）=27.
故答案为：27.
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，对角线的条数共有n（n-3）条，据此解答即可.
13．【答案】10
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
14．【答案】7
15．【答案】15
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
16．【答案】
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC=∠CDA，
∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，
∵ BE=DF ，
∴△EBG≌△FDH（ASA），
∴EG=FH.
【解析】【分析】利用性行四边形的性质可得AB∥CD，∠ABC=∠CDA，从而推出∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，再用ASA证△EBG≌△FDH，利用全等三角形的性质即可得解.
18．【答案】证明：∵ ∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴ AD=BC，
∵ E，F分别是AB，AC的中点，
∴ EF=BC，
∴ AD=EF.
【解析】【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得AD=BC，根据三角形的中位线等于第三边的一半得EF=BC，即可求得.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
21．【答案】（1）解：PA=PE，理由如下：
连接PB，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠ADC＝180°－45°＝135°
∵AD=BD
∴BD=BC
∵∠C=45°
∴三角形DBC是等腰直角三角形
∴∠BDC＝45°，∠DBP＝45°
∴∠PBE＝∠ADC＝135°
∵P是DC的中点
∴BP⊥DC，DP＝BP
∴∠DPA＋∠APB＝∠APB＋∠BPE＝90°
∴∠DPA＝∠BPE
∵∠DPA＝∠BPE，DP＝BP，∠PBE＝∠ADC
∴△DPA≌△BPE(ASA)
∴PA＝PE；
（2）证明：过点P作PF垂直CD交DE于点F,如下图:
∵PF⊥CD，EP⊥AP
∴∠DPE=∠APE=90°
∴∠DPA+∠APB=∠APB+∠FPE
∴∠DPA=∠FPE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD
∵AD=BD
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴∠ADB＝∠DBC=90°
∴∠PFD=45°
∴∠PFD=∠PDF
∴PD=PF
∴∠PDA=∠PFE=135°
∴△DPA≌△FPE((ASA)
∴AD=EF
∴DF=DP=DP
∵DE=DF+EF
∴DA+DP=DE；
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等量代换原则可得BD=BC；根据等腰直角三角形的判定和性质可得∠BDC＝45°，∠DBP＝45°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得PA=PE；
（2）根据等量代换原则可得∠DPA=∠FPE根据平行四边形的性质可得∠C=∠DAB=45°，AB∥CD；根据等腰直角三角形的性质和等量代换原则可得∠PFD=45°，∠PDA=∠PFE=135°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得AD=EF；根据特殊角的三角函数的应用可得DF=DP，根据等量代换原则即可解题.
1 / 1