4.2平行线四边形及其性质-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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4.2平行线四边形及其性质 同步分层作业
基础过关
1．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
2．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
3．如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　）
A．6cm、8cm B．6cm、10cm C．8cm、12cm D．20cm、30cm
4．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A．8 B．6 C．9 D．10
5．已知平行四边形的最大角比最小角大100°，则它的最小角是 　　°．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 　　．
7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若S△AOB＝4，则平行四边形ABCD的面积＝　　．
9．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，连接BE并延长交AD延长线于点F，若AB＝AF．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若∠F＝60°，CD＝6，求 ABCD的面积．
10.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，使得DE∥BF．求证：AE＝CF．
11.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AE＝1，EF＝2，BE＝3，求BC的长．
能力提升
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在 ABCD中，∠BAD与∠CDA的平分线相交于点O，且分别交BC于点E，F．OP为△OEF的中线．已知BF＝3，OP＝2，则 ABCD的周长为（　　）
A．12 B．17 C．28 D．34
15．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
16．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．30 B．25 C．20 D．15
17．如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则 ABCD的面积是（　　）
A．6 B．12 C． D．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，点M在AD上，且AM＝8，点N在BC上．若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为 　　．
19．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，又知AE＝6，AF＝9，∠EAF＝60°，则 ABCD的周长是 　　．
20.如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于 　　．
21.在平行四边形ABCD中，AD＝13，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝3，则AB的长为 　　．
22.如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）若BF：DF＝1：3，三角形BEF的面积是2，求三角形BCD的面积；
（2）若三角形CDF的面积比三角形BEF的面积多4，求三角形ADE的面积．
23.如图，在 ABCD中，∠D＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
（1）求∠EAF的度数．
（2）若 ABCD的面积为80，AB＝10，求CF的长．
培优拔尖
24．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（　　）
A．11+ B．11+或1+
C．11+或11﹣ D．11﹣
25．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2
26．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，EC⊥AB于点E，F为AD的中点，连结EF，CF，下列结论：
①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△EFC＝S△AEF+S△DFC；④∠DFE＝4∠AEF，
其中正确结论的个数共有 　　个．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠AFD＝∠ECD；
（2）求证：△AFD≌△DCE；
（3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE．
28.如图，在 ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在 ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
29.如图，E、F分别是 四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，记S1＝S△APD，S2＝S△BQC，四边形EQFP的面积为S．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，如图1，求证：S＝S1+S2；
（2）若四边形ABCD为一般凸多边形，AB∥CD，如图2，求证：S＝S1+S2．
答案与解析
基础过关
1．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【点拨】由在 ABCD中，若∠A+∠C＝100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
【点拨】构建平行四边形的性质对角线互相平分，求出OC、OB即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝14，
∴AO＝OC＝4，OD＝OB＝7，
∵BC＝10，
∴△BOC的周长为BC+OB+OC＝10+7+4＝21．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线相互平分，属于基础题，中考常考题型．
3．如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　）
A．6cm、8cm B．6cm、10cm C．8cm、12cm D．20cm、30cm
【点拨】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边即可解决问题．
【解析】解：∵平行四边形一边长为10cm，对角线互相平分，
当的两条对角线的长度是6cm、8cm时，3+4＜10，故A选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是6cm、10cm时，3+5＜10，故B选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是8cm、12cm时，4+6＝10，故C选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是20cm、30cm时，10+15＞10，故D选项符合题意；
∴它的两条对角线的长度不可以是6cm、8cm，6cm、10cm，8cm、12cm，
∴它的两条对角线的长度可以是20cm、30cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形两边之和大于第三边，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
4．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A．8 B．6 C．9 D．10
【点拨】由AC的垂直平分线交AD于E，易证得AE＝CE，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD与DC的长，继而求得答案．
【解析】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
5．已知平行四边形的最大角比最小角大100°，则它的最小角是 　40　°．
【点拨】由平行四边形的性质得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，由四边形内角和定理得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件即可得出∠A＝140°，∠B＝40°，即可得出结果．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝100°，
∴∠A＝140°，∠B＝40°，
∴最大角∠A＝∠C＝140°，最小角∠B＝∠D＝40°．
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、四边形内角和定理；熟练掌握平行四边形的对角相等的性质是解决问题的关键．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 　2　．
【点拨】根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，则AE＝AB，从而求出DE．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∵AB＝3，BC＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等．
7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 　OE＝OF（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【点拨】由平行四边形的性质得出OD＝OB，由全等三角形的判定可得出结论．
【解析】解：添加OE＝OF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若S△AOB＝4，则平行四边形ABCD的面积＝　16　．
【点拨】由平行四边形的性质可知，S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC，进而可求平行四边形ABCD的面积．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
则△AOB与△BOC等底同高，
∴S△AOB＝S△BOC，
同理可得：S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积为：4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的运用，得到S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC是关键．
9．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，连接BE并延长交AD延长线于点F，若AB＝AF．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若∠F＝60°，CD＝6，求 ABCD的面积．
【点拨】（1）先根据平行四边形的性质得出BC＝AD，由等腰三角形三线合一的性质得出BE＝EF，利用ASA证明△BCE≌△FDE，得到BC＝DF．等量代换即可证明AD＝DF，即点D是AF的中点；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABF是等边三角形，再证明S ABCD＝S△ABF．然后由S△ABF＝BF AE列式计算即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD＝AB，BC∥AD，
∴∠CBE＝∠F．
∵AB＝AF，AE平分∠BAF，
∴BE＝EF，AE⊥BF．
在△BCE与△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF．
∵BC＝AD，
∴AD＝DF，
即点D是AF的中点；
（2）解：∵∠F＝60°，AB＝AF，
∴△ABF是等边三角形．
由（1）可知△BCE≌△FDE，
∴S ABCD＝S△ABF．
∵AF＝BF＝AB＝CD＝6，∠F＝60°，∠AEF＝90°，
∴AE＝AF sin∠F＝6×＝3，
∴S△ABF＝BF AE＝×6×3＝9，
∴S ABCD＝9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．
10.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，使得DE∥BF．求证：AE＝CF．
【点拨】根据平行四边形的想着全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
（1）求证：AE＝CF．
（2）连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，求BD的长．
【点拨】（1）利用AAS证明△ABE≌△CDF，可得AE＝CF；
（2）结合（1）中条件证明四边形BEDF为平行四边形，由平行四边形的性质得OB＝OD，，再由勾股定理求出OB＝5，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：由△ABE≌△CDF得：BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OB＝OD，，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴，
∴BD＝2OB＝10．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AE＝1，EF＝2，BE＝3，求BC的长．
【点拨】（1）通过证AE、CF所在三角形全等即可求解；
（2）利用条件（1）找出等量关系，用勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△BAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF．
（2）解：
如图：AE＝CF＝1，
∵AE＝1，EF＝2，BE＝3，
∴EC＝EF+CF＝2+1＝3，
在直角三角形BCE中，BC＝．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，通过证AE、CF所在三角形全等即可求解，利用等量关系利用勾股定理即可求解．
能力提升
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出BO的长，进而得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∴CO＝AO＝3，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出CO的长是解题的关键．
14．如图，在 ABCD中，∠BAD与∠CDA的平分线相交于点O，且分别交BC于点E，F．OP为△OEF的中线．已知BF＝3，OP＝2，则 ABCD的周长为（　　）
A．12 B．17 C．28 D．34
【点拨】根据AB∥DC，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，得∠AOD＝∠EOF＝90°，根据OP是Rt△OEF的中线，得OP＝EP＝FP，根据AE平分∠BAD，AD∥BC，得AB＝BE，根据DF平分∠ADC，AD∥BC，得CD＝CF，即可求得BC，即可求 ABCD的周长．
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝∠EOF＝90°，
∵OP是Rt△OEF的中线，
∴，
∴OP＝EP＝FP，
∵BF＝3，OP＝2，
∴BE＝BF+EP+FP＝3+2+2＝7，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BE＝7，
∴AB＝CD＝BE＝7，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF，
∵CD＝AB＝7，BF＝3，
∴BC＝CF+BF＝7+3＝10，
ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝2×（7+10）＝34，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
【点拨】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解析】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．30 B．25 C．20 D．15
【点拨】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可证明△AOE≌△COF，得OE＝OF＝5，AE＝CF，则EF＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，由2AB+2CB＝30，得AB+CB＝15，则AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝25，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵ ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键．
17．如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则 ABCD的面积是（　　）
A．6 B．12 C． D．
【点拨】由平行四边形的性质得CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，则∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，而∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，所以∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝90°，则PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，所以AB＝DC＝5，由勾股定理得BP＝＝3，则S△ABP＝AP BP＝6，S ABCD＝2S△ABP＝12，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，
∴∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，
∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，
∴∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，
∴PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，
∴AB＝DC＝2.5+2.5＝5，
∵AP＝4，
∴BP＝＝＝3，
∴S△ABP＝AP BP＝×4×3＝6，
∴S ABCD＝2S△ABP＝2×6＝12，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，点M在AD上，且AM＝8，点N在BC上．若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为 　2　．
【点拨】取AC中点O，连接MO并长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，由含30°的直角三角形性质求出BG＝3，进而由勾股定理求出AG的长，证证明△AOM≌△CON（AAS），得CN＝AM＝6，BN＝2，然后证明四边形AGHM是平行四边形，得GH＝AM＝8，MH＝AG＝4，则NH＝BG+GH﹣BN＝10，进而由勾股定理求出MN的长即可．
【解析】解：如图，取AC中点O，连接MO并延长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，
∵∠B＝60°，
∴∠BAG＝90°﹣∠B＝30°，
∴BG＝AB＝4，
∴AG＝＝＝4，
∵MN平分四边形ABCD的面积，
∴MN经过平分四边形ABCD的中心O，
∵平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO，
又∵AO＝CO，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM＝8，
∴CN＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝2，
∵AG⊥BC，MH⊥BC，
∴AG∥MH，
又∵AM∥GH，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴GH＝AM＝8，MH＝AG＝4，
∴NH＝BG+GH﹣BN＝4+8﹣2＝10，
∴MN＝＝＝2，
即MN的长为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，又知AE＝6，AF＝9，∠EAF＝60°，则 ABCD的周长是 　20　．
【点拨】由∠AEC＝∠AFC＝90°，∠EAF＝60°，求得∠C＝120°，则∠B＝∠D＝60°，所以∠BAE＝∠DAF＝30°，则BE＝AB，DF＝AD，可推导出AE＝AB＝6，则CD＝AB＝4，再推导出AF＝AD＝9，则BC＝AD＝6，即可求得 ABCD的周长是20，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFD＝∠AFC＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴BE＝AB，DF＝AD，
∵AE＝＝＝AB＝6，
∴CD＝AB＝4，
∵AF＝＝＝AD＝9，
∴BC＝AD＝6，
∴AB+CD+AD+BC＝2（AB+CD）＝2×（4+6）＝20，
∴ ABCD的周长是20，
故答案为：20．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、四边形的内角和等于360°、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明∠B＝∠D＝60°是解题的关键．
20.如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于 　45°　．
【点拨】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠AFB，根据角平分线的定义得到，求得∠BAF＝∠AFB＝30°，求得∠EBF＝30°，于是得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，
∴，
∴∠BAF＝∠AFB＝30°，
∴AB＝BF，
∵BE＝AB，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵DAB＝60°，
∴∠C＝∠DAB＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴，
∴∠EFA＝∠BFE﹣∠BFA＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21.在平行四边形ABCD中，AD＝13，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝3，则AB的长为 　5或8　．
【点拨】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解析】解：①如图1，当点E在F右侧时，在 ABCD中，
∵BC＝AD＝13，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝3，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝13，
∴AB＝8；
②当点E在F左侧时，在 ABCD中，
∵BC＝AD＝13，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝3，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝13，
∴AB＝5；
综上所述：AB的长为8或5．
故答案为：8或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．
22.如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）若BF：DF＝1：3，三角形BEF的面积是2，求三角形BCD的面积；
（2）若三角形CDF的面积比三角形BEF的面积多4，求三角形ADE的面积．
【点拨】（1）由线段关系可求△BED的面积，由平行四边形的性质可求AB∥CD，可得S△BEC＝S△BED，即可求解；
（2）由面积关系可求解．
【解析】解：（1）∵BF：DF＝1：3，三角形BEF的面积是2，
∴S△EDF＝6，
∴S△BED＝8，
∵AB∥CD，
∴S△BEC＝S△BED，
∴S△BFC＝6，
∵BF：DF＝1：3，
∴S△CDF＝18，
∴S△BCD＝24；
（2）∵三角形CDF的面积比三角形BEF的面积多4，
∴S△BCD﹣S△BEC＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCD＝S△ABD，AB∥CD，
∴S△BED＝S△BEC，
∴S△ABD﹣S△BED＝4＝S△AED．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.如图，在 ABCD中，∠D＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
（1）求∠EAF的度数．
（2）若 ABCD的面积为80，AB＝10，求CF的长．
【点拨】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．
（2）根据平行四边形的性质得出CD的长，根据面积求出AF的长，进而利用勾股定理得出DF的长，最后根据线段的和差关系解答即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠EAF＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝10，
∵ ABCD的面积为80，
∴10×AF＝80，
∴AF＝8，
∵∠D＝60°，
∴∠DAF＝30°，
设DF＝x，则AD＝2x，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：
AF2+DF2＝AD2，
即（8）2+x2＝（2x）2，
解得：x＝8，
∴DF＝8，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2，
∴CF＝2．
【点睛】此题考查了平行四边形和勾股定理的知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
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24．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（　　）
A．11+ B．11+或1+
C．11+或11﹣ D．11﹣
【点拨】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如图），
∴CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
即CE+CF＝1+，
②如图：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6+，CF＝3+5，
∴CE+CF＝11+．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
25．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2
【点拨】由平行四边形的性质得S△ABC＝S△ACD，证出四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，得S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，进而通过三角形与四边形之间的面积转化得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABC＝S△ACD，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，AB∥CD∥GH，
∴四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，
∴S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，
∵S△ABC＝S△AEP+S平行四边形BHPE+S△PHC﹣S△APC①，S△ACD＝S△AGP+S平行四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，
∴②﹣①得：S平行四边形GPFD﹣S平行四边形BHPE+2S△APC＝0，
即2S△APC＝6﹣4＝2，
∴S△APC＝1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，EC⊥AB于点E，F为AD的中点，连结EF，CF，下列结论：
①∠BCD＝2∠DCF；
②EF＝CF；
③S△EFC＝S△AEF+S△DFC；
④∠DFE＝4∠AEF，
其中正确结论的个数共有 　3　个．
【点拨】根据题意易得DF＝CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF＝FM，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，从而判断③；设∠FEC＝x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵AD＝2AB，F为AD的中点，
∴DF＝AF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF＝FM，故②正确；
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AFE＝S△DFM，
∴S△EFC＝S△AEF+S△DFC故③正确；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝∠DFC+∠EFC＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠AFD＝∠ECD；
（2）求证：△AFD≌△DCE；
（3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD，则∠B+∠ECD＝180°，再根据∠AFE＝∠B得∠AFE+∠ECD＝180°，然后根据邻补角的定义得∠AFE+∠AFD＝180°，由此可得出结论；
（2）由AD∥BC得∠ADF＝∠DEC，结合（1）的结论可依据“AAS”判定△AFD和△DCE全等；
（3）过点E作EH⊥AB于H，由（2）的结论得DF＝CE，AF＝CD，根据平行四边形的性质得BC＝AD，AB＝CD，再根据AD＝DE得BC＝DE，由此得BE＝EF，据此即可判定△ABE和△AFE全等，则∠AEB＝∠AEF，再由∠B＝60°得∠C＝120°，根据CD＝CE得∠CED＝∠CDE＝30°，则∠AEB＝∠AEF＝75°，在Rt△BEH中先求出HE＝√3，进而可得AE的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECD＝180°，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE+∠ECD＝180°，
又∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝∠ECD；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
（3）解：过点E作EH⊥AB于H，如下图所示：
由（2）可知：△AFD≌△DCE，
∴DF＝CE，AF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，
∵AD＝DE，
∴BC＝DE，
∵DE＝DF+EF＝CE+EF，BC＝CE+BE，
∴BE＝EF，
∵AB＝CD，CD＝DF，AF＝CD，DF＝CE，
∴AB＝AF＝CD＝CE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝120°，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣∠CED＝150°，
∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF＝75°，
∵EH⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴∠AEH＝∠AEB﹣∠BEH＝45°，
∴△AHE为等腰直角三角形，即HE＝HA，
在Rt△BEH中，∠∠BEH＝30°，BE＝2，
∴BH＝BE＝1，
由勾股定理得：HE＝＝，
∴HE＝HA＝，
∴AE＝＝．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
28.如图，在 ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在 ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
【点拨】（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE＝BF，根据平行四边形性质求出∠A＝∠C，推出AE＝CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE；
（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE，AE＝CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO＝∠DQO，
∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP＝DQ，
∴m+n
＝BP+DF+CF+CQ
＝DF+CF+CQ+DQ
＝DF+CF+CD
＝15 　　　
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE＝OF，
∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE＝QF，
∵AE＝CF，
∴CQ＝AP，
m+n
＝AB+AP+DF+PQ
＝CD+CQ+DF+FQ
＝DF+CF+CD
＝15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD＝BC，AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴∠PEO＝∠FQO，
∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE＝FQ，
∴m+n
＝AB+AE+PE+DQ
＝CD+CF+QF+DQ
＝DF+CF+CD
＝15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
29.如图，E、F分别是 四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，记S1＝S△APD，S2＝S△BQC，四边形EQFP的面积为S．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，如图1，求证：S＝S1+S2；
（2）若四边形ABCD为一般凸多边形，AB∥CD，如图2，求证：S＝S1+S2．
【点拨】（1）连接EF两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
（2）连接EF，证明方法类似；
【解析】证明：（1）连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∴S＝S1+S2．
（2）连接EF．
∵AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∴S＝S1+S2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型，解决面积问题．
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