九年级数学上册试题 3.5 圆周角 同步练习-浙教版（含解析）

3.5 圆周角
一、单选题
1．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．65°
3．如图，图中共有圆周角（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，，，则的度数是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
8．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　）
A．57° B．52° C．38° D．26°
9．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2.5
11．如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
13．如图，直径为10的⊙A经过点和点，点是轴右侧⊙A优弧上一点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=68°，则∠C的度数为_____．
16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．
17．如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则_______________．
18．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
19．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
20．如图，内接于，AD是的直径，，则______．
21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
22．如图，内接于，，是的直径．若，则______°．
23．如图，四边形内接于，，，，则的值为________．
24．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为(2，0)，点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径（依据是_____）．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是_____）．
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．
三、解答题
25．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：．
(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．
26．如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、．
(1) 求证：AB⊥CD；
(2) 若AE=4、OH=1，求AO的长；
27．如图，AB为的直径，点C在上．
(1) 尺规作图：作的平分线，与交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．
28．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，，求的长；
(3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
利用圆周角直接可得答案．
解： ∠BOC＝130°，点A在上，
∠BAC= ∠BOC=650
故选B
2．A
【分析】
首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
3．C
【分析】
根据圆周角的定义判断即可.
解：图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个
故选C
4．A
【分析】
根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
5．B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．
解：∵四边形内接于，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．
6．D
【分析】
连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵，
∴∠ACD=∠ACE，
∴，
∴AE=AD=2，
∵CE是直径，
∴∠CAE=90°，
∴，
∴⊙的半径为．
故选：D．
7．B
【分析】
利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
解：，，
．
故选：B．
8．B
【分析】
由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
解：
连接AC，
AB为⊙O的直径，
，
，
，
，
故选：B．
9．C
【分析】
因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
解：∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形内接于⊙，
∴，
∴，
故答案选：C．
10．C
【分析】
设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂径定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BE．
解：设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，
由垂径定理得，
在Rt△OAC中，，
∴，
∴，
∴AE=5，
∵AE是圆O的直径，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，，
故选：C．
11．B
【分析】
首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．
解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是⊙A的直径，
即CD＝10，
∵∠OBC＝30°，
∴∠ODC＝30°，
∴OC＝CD＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）．
故选：B．
12．C
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=90°-∠CAB=35°，
∴∠D=∠B=35°．
故选：C．
13．B
【分析】
首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．
解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是⊙A的直径，即CD＝10，
∵∠OBC＝30°，
∴∠ODC＝30°，
∴OC＝CD＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）．
故选：B．
二、填空题
14．2
【分析】
先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长．
解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
15．22°
【分析】
根据OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=68°，从而得到∠AOB=44°，再由圆周角定理，即可求解．
解：∵OA=OB，∠OBA=68°，
∴∠OAB=∠OBA=68°，
∴∠AOB=44°，
∴．
故答案为：22°
16．45
【分析】
根据垂径定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝45°．
解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴ AB垂直平分CD
∴AC＝AD
∴△ACD是等腰三角形
∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，
故答案为：45．
17．120°
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到∠3和∠1的关系，再结合平行四边形的性质和周角360°即可求出．
解：如图，由题有平行四边形ABCO
∴∠1=∠2
∵
∴2∠1=∠3=2∠2
∵∠3+∠2=360°
∴∠2+2∠2=360°
∴∠2=120°
故答案为：120°
18．30°
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
解：∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
19．62
【分析】
连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
20．55°
【分析】
根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数．
解：∵∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝35°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
21．3
【分析】
连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．
解：连接，四边形是正方形，
，，
是直径．
．
在中，，
在中，．
故答案为：．
22．
【分析】
根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，可得到，再利用圆周角定理可得到结论．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
23．5
【分析】
如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案.
解：如图，连接
为直径，则三点共线，
，，
故答案为：5
24． 90°的圆周角所对的弦是直径 同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】
先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可．
解：如图2，连接BC，
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．
故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．
三、解答题
25．
(1)解：连接，
∵是圆的直径，
∴，
∴是的高，
∵，
∴．
(2)解：∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角的度数是，
所对的圆心角的度数是，
所对的圆心角的度数是
26．
解：(1)∵CF=CH，
∴∠F=∠CHF．
∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD，
∴∠D=∠AHD，
∴AH=AD．
∵=，
∴∠HAE=∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD．
(2)∵AH=AD，∠HAE=∠DAE，
∴HE=DE．
设OE=x．
∵OH=1，
∴HE=x+1=DE，
∴OD=2x+1=AO．
在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4，
∴x2+42=(2x+1)2，
解得x1=-3（舍去），x2=．
∴AO=2×+1=，
即AO的长等于．
27．
(1)∴如图所示为所求．
(2)，．
理由：∵AB为的直径，
∴，
∵，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点E为BC中点，
又∵点O为AB中点，
∴.
28．
(1)证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点．
(2)解：，
，
而，
为的中位线，
，
．
(3)解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，则，，
在中，，
，
，
的最小值为．