九年级数学上册试题 3.8 弧长及扇形的面积同步测试-浙教版（含解析）

3.8 弧长及扇形的面积
一、单选题
1．如图，的半径为3，是的弦，直径，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为( )
A．8 B．9 C．16 D．18
3．如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）
A．8 B．4 C．16π D．4π
8．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形A′B′C′D′是由矩形ABCD绕C点顺时针旋转而得，且点A、C、D′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若AB=2，AD=2，则对角线AC旋转所扫过的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，且交AD于E点，则BE弧的长为_______．
12．如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留
13．如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为_____．
14．一个扇形的弧长为 6π，圆心角为 120°，则此扇形的面积为_______．
15．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．
16．如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．
17．如图，等边中，，、分别为边、的三等分点，，，将绕点顺时针旋转100°到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积为______．
18．如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，线段AB扫过的图形面积是__．
三、解答题
19．如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=﹣1，求的值．
20．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
21．如图，的直径为，弦为的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长
22．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________　．
23．如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.
(1) 求弦MN的长;
(2) 试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3) 试分析比较,阴影部分面积y与的大小关系.
24．已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．
（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；
（3）如图1，当PQ＝2，求的值．
答案
一、单选题
1．C
【分析】连接OC，利用垂径定理以及圆心角与圆周角的关系求出；再利用弧长公式即可求出的长.
解：连接OC
（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∵直径
∴=（垂径定理）
∴
故选C
2．C
【分析】旋转后△ABC≌△A1BC1，则阴影部分面积=S△ABA1+S△A1BC1-S△ABC.
解：∵在△ABC中，AB=6，旋转后△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∴S△ABA1==9，
∵阴影部分面积=S△ABA1+S△A1BC1-S△ABC，
∴阴影部分面积=9.
3．A
【分析】利用作图可知OA=OB=OD=4，∠BOD=∠DOA=20°，即可求出的长度，作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，根据∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，得到∠BOF=60°，得到△OBF是等边三角形，则有BE+DE=BE+EF的最小值为BF=4（B、E、F三点在同一直线上），则问题得解．
解：作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，如图所示：
根据题条件可知，∠BOD=∠DOA=20°，
∴，
∵D、F关于OM对称，
∴∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，
∴∠BOF=60°，
∴△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∵DE=EF，
∴BE+DE=BE+EF，
∵的长度为定值，
∴要想求阴影部分的周长最小即求BE+DE的最小值，
又∵BE+DE=BE+EF，
∴要求BE+EF的最小值，
由图可知当B、E、F三点在同一直线上时，BE+EF=BF，此时有最小值，
∵△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∴BE+EF=BF=4此时最小，
∴阴影部分的周长最小值为：，
故选：A．
4．D
【分析】连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，利用勾股定理求出FH=1，得到∠FOH=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质得到EF=2FH=2，∠EOF=90°，再利用扇形EOF的面积减去△EOF的面积即可得到答案.
解：如图，连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，
∵OF=AB=，OH=BC=1，∠OHF=90°，
∴，
∴FH=OH,
∴∠FOH=45°，
∵OF=OE，
∴EF=2FH=2，∠EOF=90°，
∴阴影部分的面积是.
故选：D
5．C
【分析】阴影部分面积是不规则图形，因此首先连接OA，OB，OC，将不规则图形转化为规则图形求面积．求扇形面积需知道圆心角的度数，因此作圆心O关于弦AB，AC的对称点，即可得到OE=OA，即可得到∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°，从而求出扇形BOC的面积即阴影部分面积．
解：如图，连接OA，OB，OC，并做O点关于AC的对称点D点，连接OD，叫AC于点E．
∵OA=OB=OC，
∴，
∴，
∵O点、D点关于AC的对称，
∴OE=DE=1，
∴OE=OA=OC，
∴∠OCE=∠OAE =30°
∴∠AOC=120°
同理可得∠AOB=120°，
∴∠BOC=120°，
∴，
故选C．
6．C
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝.
故选：C．
7．A
【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA，OD，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积．
解：由题意，易知两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO，
则图中的四个小弓形的面积相等，
∵两个小弓形面积＝S半圆AOD-S△AOD=S半圆AOD-S正方形ABCD，
又正方形ABCD的边长为4，得各半圆的半径为2，
∴两个小弓形面积＝×π×22﹣×4×4=2π﹣4，
∴S阴影＝2×S半圆﹣4个小弓形面积＝π 22﹣2（2π﹣4）＝8，
故选：A．
8．B
解：分析：连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．
解：连接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，
∵G（0，1），即OG=1，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO=，
∴AB=2AO=2，
又CO=CG+GO=2+1=3，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC=，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=，
∴∠ACO=30°，
∴度数为60°，
∵直径AC=2，
∴的长为，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．
故选B．
9．A
解：根据题意得：∠ACB=30°，则∠A′CB′=30°，则∠ACA′=90°+30°=120°，根 据勾股定理可得AC=4，则S=.
10．D
【分析】如图，连接，过作于点,此时根据直角三角形的性质求得，，再根据等边三角形判定得出为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最终求阴影部分的面积转化为求解即可．
解：如下图，连接，过作于点,
在矩形中，
∵，， ，
∴，,
又∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．
分析：连接OE，根据矩形的性质，得到∠C=90°，进而得到∠ODC=90°，然后得出等边三角形EOD，可求∠BOE=60°，再根据弧长公式求解即可.
解：连接OE
∵矩形ABCD中，BO=2CO=2
∴DO=2CO=2
∴∠ODC=30°
∴∠EDO=∠DOC=60°
∵OE=OD
∴∠EOD=60°
∴∠BOE=60°
∴BE弧的长为.
故答案为.
12．π．
【分析】如图所示，连接OE交BD于点F，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，再证△EFB≌△OFD，即可将阴影部分面积转化为扇形OED的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案．
解：如图所示，连接OE交BD于点F，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
∴OE=OD=2，
在矩形中，
∵
∴四边形OECD为正方形，
∴CE=OD=2，
∴BE=BC-CE=2，
∴BE=DO，
∵AD//BC，
∴
∴△EFB≌△OFD，
∴阴影部分的面积= .
故答案为π．
13．
【分析】根据题意证得，推出∠BPE =60，∠BPD =120，得到C、B、P、D四点共圆，知点的运动路径长为的长，利用弧长公式即可求解．
解：连接BD，
∵菱形中，，
∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD和△CBD都为等边三角形，
∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，
∵DF=AE，
∴，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，
∴∠BPD=180-∠BPE=120，
∵∠C=60，
∴∠C+∠BPD =180，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是的外接圆，
∴当点从点运动到点时，则点的运动路径长为的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120，
作OG⊥BD于G，
根据垂径定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，
∵，即，
∴，
从而点的路径长为．
14．27π
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可．
解：设扇形的半径为r，则
解得：
∴扇形的面积
故答案为：．
15．
解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，
则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于3π，
故答案为：3π．
16．
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
17．
【分析】连接BH、，过点H作HMBC于点M，根据等边三角形的性质和已知条件可求得AH=AO=2，HC=OB=4，在Rt△HCM中，求得CM=2，HM=2，在Rt△HBM中，求得，由旋转可得△HOB≌△，，即可得线段所扫过部分的面积为，由此即可求解．
解：连接BH、，过点H作HMBC于点M，
∵为等边三角形，，
∴，∠C=60°，
∵，，
∴AH=AO=2，
∴HC=OB=4，
在Rt△HCM中，∠C=60°，HC=4，
∴CM=2，HM=2，
∵BC=6，
∴BM=4，
在Rt△HBM中，BM=4，HM=2，
∴，
由旋转可得△HOB≌△，，
∴线段所扫过部分的面积为：．
故答案为：．
18．
【分析】在直角△ABC中，BC=2，AC=，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，AB扫过的面积=扇形 BAA′+圆环BJKB′′+ 圆环 A′KLA′′-弓形BM，根据扇形的面积公式可以进行计算．
解：∵在Rt△ACB中，BC=2，AC=，
∴由勾股定理得：AB=4，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，
∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，
过点C′′作C′′F⊥A′B，作C′′F′⊥A′′B′′，垂足分别是F，F′，
∴C′′F′=C′′F=，
∴AB扫过的面积=扇形BAA′+圆环BJKB′′+圆环A′KLA′′-弓形BM，
=
=
=
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，
∴BA1=2HA1，
∴∠ABA1=30°，
∴旋转角为30°，
∵BD=，
∴D到点D1所经过路径的长度=
（2）∵△BCE∽△BA2D2，
∴，
∴CE=
∵-1
∴，
∴A1C= ，
∴BH=A1C= ，
∴m2-n2=6 ，
∴m4-m2n2=6n4，
1-=6 ，
∴（负根已经舍弃）．
20．
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．
，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．
．
由题意可得，．
又
，，解得．
．
21．
解：是直径
是的平分线
在中，
，证明如下
延长到，使，连接
又
为等腰直角三角形
连接
点为的内心
所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）；
设所在圆的圆心
弧的长为=
点经过路径长为=
22．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵DE＝CF，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AF⊥BE；
②点H运动路径画图如下，
∵∠AHB=90°，且AB是定长，
∴点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，
设AB的中点为点O，连接BD，设BD 的中点为点M，连接OM
∴∠BOM=90°，
∵AB=4，
∴圆的半径为2，
∴弧长为=3π；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO-OG=，
故答案为：．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO+OQ=，
故答案为：．
23．
解：(1) ∵OM=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∴MN=OM=ON=2.
(2) 作OH⊥MN于H点,∴.在Rt△OHN中, ,
∴.,
∴,即.
(3) 令,即,∴.当时,;
当时,;当时,.
24．
解：（1）∵∠A的度数为α，
∴∠COB＝2∠A＝2α，
（2）当∠ABC＝90°时，AC为⊙O的直径，
∵CD∥AB，
∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，
∴BD为⊙O的直径，
∴P与圆心O重合，
∵PQ∥AB交于Q，
∴OQ⊥BC，
∴CQ＝BQ，
∵AB＝8，
∴OQ＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，
∵△OBC的周长为16，
∴CQ＝8﹣r，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，CB＝6，
∴阴影部分面积＝；
（3）∵CD∥AB∥PQ，
∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∵PQ＝2，
∴，
∴＝2．