九年级数学上册试题 第三章《圆的基本性质》全章复习-浙教版（含解析）

第三章《圆的基本性质》全章复习
一、单选题
1．下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
2．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．2
4．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
5．如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．30﹣4π B． C．60﹣16π D．
7．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（　　）
A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°
C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
8．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
9．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，的半径为13，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点C，则________．
12．已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________．
13．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
14．如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．
15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若，则点P的坐标为________．
16．在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为______．
17．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
18．已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，做等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为______．
三、解答题
19．与圆相关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多．例如：垂径定理、圆周角定理和切线长定理等．实际上，与圆相关的定理还有很多，比如下面的定理：若内接于圆的四边形的对角线互相垂直，则圆心到一边的距离等于这条边所对的边的一半，如下给出了不完整的“已知”，请补充完整，并证明．
已知：四边形是的内接四边形，________，过点O作于点E．求证：．
20．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
21．已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 求证：DE＝DC；
(3) 若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
23．如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接，和．
(1) 求证：是半圆O的切线；
(2) 请直接写出图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）．
24．阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以为直径作半圆O，弦是一个内接正五边形的一条边（即：），点D是的中点，连接并延长与直径的延长线交于点E，连接交于点F，过点F作于点M．求证：是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：
证明：如图2，过点D作于点H．
∵，
∴．（依据1）
∵点D是的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．（依据2）
∵以为直径作半圆O，
∴．（依据3）
∴．
∵四边形是半圆O的内接四边形，
∴．（依据4）
∵，
∴．
∵于点M，
∴．
∵，
∴．
∵．
∵．
∴．
∴．
……
通过上面的阅读，完成下列任务：
(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】根据题意可知，的中点为点，连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得为的半径，由此即可得．
解：如图，由题意可知，的中点为点，连接，
是等边三角形，
，
是的中点，为的中点，
，
，
即为的半径，
点在上，
故选：A．
3．D
【分析】如图，令、的交点为，由垂径定理得，证明，则，，在中，由勾股定理得，求出的值，根据计算求解的值即可．
解：如图，令、的交点为，
∵，是的直径，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选D．
4．D
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
5．C
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故选：C．
6．A
【分析】先由切线长定理和勾股定理算出三角形另外两边的长，再根据图中阴影部分的面积=△ABC的面积-⊙O的面积，然后利用三角形的面积公式和圆的面积公式计算即可．
解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
，
∴四边形CEOF是矩形，
，
∴四边形CEOF是正方形，
，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
，
设，
在中，，
，
解得，
，
．
故选A．
7．C
【分析】先利用垂径定理，由C为的中点得到OC⊥AB，则∠A+∠AOC=90°，然后根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC，加上∠A=∠B，于是可判断C选项一定正确．
解：∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴2∠ADC+∠A＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴∠2ADC+∠B＝90°．
故选：C．
8．B
【分析】连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
解：连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
9．B
【分析】连接OA，OF，由题意得OA=OF，设OC=x，由勾股定理得，解答方程可得OC的值，再运用勾股定理可得OD的长．
解：连接OA，OF，如图，
∵OF是半圆O的半径，
∴OA=OF，
∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴，
设，
∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，
在Rt和Rt中，
,
∴，
∵
∴,
解得，，即OC=1，
在Rt中，,
∴,
故选：B．
10．B
【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=cm，
∴B′C′=cm，
∴S扇形B′OB= cm2，
S扇形C′OC= cm2，
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；
故选：B．
二、填空题
11．12
【分析】连接OC、OB，根据作图可知OC是线段AB的垂直平分线，则有BC=AC=AB．在Rt△BOC中，利用勾股定理即可求解OC．
解：连接OC、OB，如图，
根据作图可知，OC是线段AB的垂直平分线，
则有BC=AC=AB=10×=5，
又∵圆的半径OB=13，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：，
故答案为：12．
12．8
【分析】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，连结OA，根据垂径定理得AP=BP，在Rt△AOP中，根据勾股定理可计算出AP=4，则AB=2AP=8．
解：过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，
连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
13．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
15．（0，）
【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB=AC=，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC=OD，OC=AD．
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径．
∵点A坐标为（4，），
∴AC=OD=，OC=AD=4，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB．
∵∠APB=30°，
∴PA=2AB=5．
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得，
∴OP=PD+DO=．
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
16．2
【分析】根据多边形的内角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度数，再根据等腰三角形的性质证明，设 则则 从而可得答案．
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=∠ABC= （6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，
∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
∠ABM =90°，
设 则
故答案为2．
17．
【分析】由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BHAC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=AC，BH=2．在RtABH中，由勾股定理求得AH=，得到．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．
解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，
∴AB=BC=4，
，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴，
如图，过B作BHAC于H，
∴AH=CH=AC，
，
在RtABH中，
，
∴，
同理可求∠EAF=30°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴r=，
故答案为：．
18．或
【分析】由“SAS”可证△NBM≌△OBC，可得MN=OC，则当点O在线段MN上时，MN有最大值，即可求解．
解：如图，过点B作BN⊥AB，且BN=OB，连接ON，OM，MN，
∴∠NBO=90°=∠MBC，
∴∠MBN=∠OBC，
在△NBM和△OBC中，
∵MB=BC，∠MBN=∠OBC，BN=OB，
∴△NBM≌△OBC（SAS），
∴MN=OC，
∵MN≤OM+ON，
∴当点O在线段MN上时，MN有最大值，
∵OB=3OA=3，
∴，
∴MN的最大值为，
∴OC的最大值为，
故答案为：
三、解答题
19．
证明：连接并延长交于点F，连接，如图所示，
∵为直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．
（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
21．
解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.
∴.
又∴，∴.
由为的中点，得.
∴.
∴.
（Ⅱ）如图，连接.
∵切于点，
∴，即.
由，又，
∴是的外角，
∴.
∴.
又，得.
∴.
22．
（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
∴AE＝2．
23．
（1）解：过点O作OF⊥DE于F，如图所示：
在中，，，CE=BC-BE=4-1=3，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
三角形是直角三角形，且，
，
，
，
是圆的半径，且，
是半圆O的切线．
（2）．
24．
（1）解：依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半（或圆周角定理）；
依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等；
依据3：直径所对的圆周角是直角；
依据4：圆内接四边形的对角互补；
（2）解：∵，
∴，
∵于点H，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆的半径．