中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八年级下册数学第1章 二次根式 综合训练卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x≤8 D．x≥8
【答案】D
【解析】∵二次根式有意义，∴x-8≥0，∴x≥8.
故答案为：D.
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故答案为：D.
3．已知，则化简后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ab＜0，a2b≥0，
∴b＞0，a＜0，
∴.
故答案为：B
4．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】由题意，得：
a+2=3a，
解得a=1，
故答案为：D．
5．能说明命题“如果a是任意实数，那么”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时a= 1，
，
∴命题“如果a是任意实数，那么”是假命题.
故答案为：A.
6．已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【解析】，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
7．若x，y为实数，且＋＋2y＝4，则x＋y的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．不确定
【答案】B
【解析】 ＋ ＋2y＝4，
x- 1≥ 0且1 -x≥ 0，
x= 1，2y = 4，y = 2，
x+y = 1+2 = 3
故答案为：B.
8．如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点A到BC所在直线的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】S△ABC=3×3-×1×3-×2×2-×1×3=4，
∵，
设点A到直线BC的距离为h，
∴S△ABC=BC·h=4，即×h=4，
解得，
故答案为：B.
9．已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
【答案】A
【解析】∵m、n是两个连续自然数（m＜n），∴n=m+1，
q=mn=m（m+1）∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2；
q-m=m（m+1）-m=m2，∴，
∴2m+1是奇数.
故答案为：A
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF， EF＝ ，则△AEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，延长AE和BC交于点G，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠G＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∴FE⊥AG，
∵BF＝6，CF＝2，
∴AD＝CG＝BC＝BF+FC＝6+2＝8，
∴FG＝FC+CG＝2+8＝10，
∵EF＝2，
∴AE＝EG＝＝2，
∴△AEF的面积＝AE·EF＝×2×2＝2.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．当a=-1时，二次根式的值为
【答案】4
【解析】当a=-1时，=4.
故答案为：4.
12．如图，平行四边形内有一面积为8的正方形，其四个顶点都在平行四边形的边上，若的长是，则阴影部分的面积为 .
【答案】4
【解析】∵平行四边形内有一面积为8的正方形，
∴平行四边形的高为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：4.
13．计算： ．
【答案】
【解析】原式= .
故答案为：
14．已知 ，那么 的值是 ．
【答案】4
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4
15．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是 .
【答案】3
【解析】因为 ,
所以 ,
因为6－ 的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2, y= ,
所以(2x＋ )y= ,
故答案为:3.
16．已知 ，那么 的值等于 ．
【答案】
【解析】由 ，两边分别平方得：x+ =2，
原式= ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） （2）
【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式= + 2 =3+2=5
18．已知，求的值.
【答案】解：将等式整理配方，得，
则，，，
，，，
.
19．如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动.求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米.
【答案】解：设经过t秒后△BPQ的面积为35 cm2，则BP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴S△BPQ=BPBQ=t·2t＝35，
解得t＝或t＝－(负根舍去).
∴PQ＝(cm).
故经过秒后，△BPQ的面积为35cm2，此时P，Q两点间的距离是cm.
20．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与．
（1）求数对的一对“对称数对”；
（2）若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
（3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
【答案】（1）解：由题意知：，，∴数对的一对“对称数对”是和，
（2）解：∵数对的一对“对称数对”的两个数对相同，∴，即，∴．
（3）解：∵数对的一对“对称数对”是和，∴或，∴或，∴或．
21．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
【解析】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：，，或，
22．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
（1）判断：小璐的说法 （填“正确”或“错误”）
（2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为 ；
（3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
【答案】（1）正确
（2）2或
（3）解：∵是“类勾股三角形”， x，y为直角边长且，z为斜边长，
∴x2+z2=2y2，
∵x2+y2=z2，
2x2=y2，
解之：，
∴z2=3x2，
解之：，
此三角形的周长为：，面积为：.
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，它的三边长分别为a，b，c，
∴a=b=c，
∴a2+b2=c2+c2=2c2
∴等边三角形一定是“类勾股三角形”.
∴小璐的说法正确.
故答案为：正确
（2）设另一边长为x，
∵为“类勾股三角形”
当时，
解之：x=2（取正值）；
当12+x2=2时
解之：x=（取正值）
当+x2=2×12时此方程无解，
∴另一边长为2或
23．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t.
（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB.
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，
∴AE= 4，
∵G，H分别是AF，EF的中点，
∴GH∥AE，GH= AE=2；
（2）解：①∵CE=AB=5，
∴AC= ，
取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是 AOMN，
EM= CE= ，
∴线段GH所扫过区域的面积=MN EM=GH EM=2× =5；
；
②当FH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE，
∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴FE=FA=FC，
∴AF= AC= ，
∴t的值为 （秒）；
当GH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=FA=4，
∴t的值为4（秒）；
当GH=HF时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=EF=4，连接EG，
∵G是AF的中点，
∴EG⊥AC，
∵S△AEC= AE EC= AC EG，
∴EG= ，
∴AG= ，
∴AF= 2AG ，
∴t的值为 （秒）；
综上，t的值为 秒或4秒或 秒.
24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”.
（1）如图1，在四边形中，，，， ，则 ； .
（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长.
小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长.
（3）如图，在中，，设D是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积.
【答案】（1）4；
（2）解：以为边作等边，连接，过点E作于F，如图2所示，
则，
，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
∴，
（3）或或
【解析】（1）如图，连接，
，
是等边三角形，
，
，
又，
，
故答案为：
（3）过点C作，交延长线于H，设，如图3所示，
，
，
，
，
又，
∴是等腰直角三角形，
，
①如图4所示，
当时，
连接，过点C作，交延长线于点G，过点A作，
则，，，
，
∵在和中，
∴ ，∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
②图5所示，
当时，
连接，作于点G，于K，
如图，则
，，
所以
③如图6所示，
当时，
作于M，作于H，
则，，
∴
，
，
综上所述，四边形A BCD的面积为或或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八年级下册数学第1章 二次根式 综合训练卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x≤8 D．x≥8
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则化简后为（ ）
A． B． C． D．
4．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．－1 D．1
5．能说明命题“如果a是任意实数，那么”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
7．若x，y为实数，且＋＋2y＝4，则x＋y的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．不确定
8．如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点A到BC所在直线的距离（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第10题）
9．已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF， EF＝ ，则△AEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．当a=-1时，二次根式的值为
12．如图，平行四边形内有一面积为8的正方形，其四个顶点都在平行四边形的边上，若的长是，则阴影部分的面积为 .
13．计算： ．
14．已知 ，那么 的值是 ．
15．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是 .
16．已知 ，那么 的值等于 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） （2）
18．已知，求的值.
19．如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动.求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米.
20．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与．
（1）求数对的一对“对称数对”；
（2）若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
（3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
21．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
22．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
（1）判断：小璐的说法 （填“正确”或“错误”）
（2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为 ；
（3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
23．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH.设点F运动的时间为t.
（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB.
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值.
24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”.
（1）如图1，在四边形中，，，， ，则 ； .
（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长.
小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长.
（3）如图，在中，，设D是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
