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浙教版2023-2024学年八年级下册数学第4章 平行四边形 综合训练卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．一个n边形的各内角都等于，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°-120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：B．
3．四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列四组条件中，一定能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
【答案】B
【解析】A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
B. ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故符合题意；
C. ， ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故不符合题意；
D. 对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意，
故答案为：B.
4．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）．
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
【答案】A
【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
5．如图，在中，对角线与交于点O，，E为中点，若的周长为32，的周长比的周长多4，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO，AO=CO.
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴BC+CD=16.
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴(CO+OD+CD)-(BO+OC+BC)=4，
∴CD-BC=4，
∴CD=10，BC=6.
∵BD⊥AD，E为CD的中点，
∴BD⊥BC，
∴BE=CD=×10=5.
故答案为：B.
6．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ ）
A．108° B．109° C．110° D．111°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，
由折叠得∠ABD=∠EBD，
∴∠EBD=∠CDB，
∵∠1=∠EBD+∠CDB=2∠CDB=56°，
∴∠CDB=28°，
∴∠ADC=∠CDB+∠2=70°，
∴∠A=180°-∠ADC=110°.
故答案为：C.
7．如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点， DP平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB=7， AD=10， 则 OP的长为（ ） .
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【解析】如图，延长DP交BC于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=7，AD=BC=10，BO=DO，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADQ=∠CQD，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠ADQ=∠QDC=∠ADC，∠DCP=∠BCP=∠BCD，
∴∠QDC+∠PCD=（∠ADC+∠BCD）=90°，∠QDC=∠DQC，
∴CP⊥DQ，CD=CQ=7，
∴BQ=BC-CQ=3，DP=PQ，
在△BQD中，BO=DO，DP=PQ，
∴OP=BQ=1.5.
故答案为：A.
8．如图，平行四边形的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵平行四边形ABCD的周长为36cm，
∴AB+AD=18，OB=OD.
∵△AOD的周长比△AOB的周长多2cm，
∴(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=2，
∴AB=8，AD=10.
∵AC⊥AB，E是BC的中点，
∴AE=BC=AD=5.
故答案为：C.
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC
【答案】A
【解析】如图，过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，
∴∠BMC=∠DNA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
在△ADN与△CBM中，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN=BM，
∵S△BCF=CF·BM，S△CDF=CF·DN，
∴S△BCF=S△CDF，
∵EF∥CD，
∴S△CDE=S△BCF=S△CDF，
故答案为：A.
10．如图，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，交于点E．P，Q分别是边，上的动点，当四边形为平行四边形时，的面积3，则线段的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】设CQ=x，
∵四边形BQPE是平行四边形，
∴PQ∥AB，PE∥BC，PQ=BE
∴∠CPQ=∠CAB=30°，∠APE=∠ACB=90°，
∴PQ=BE=2x，PC=
在Rt△PCE中，∠PCE=45°，
∴PC=PE=，
在Rt△APE中，∠PAE=30°，
∴AP=PE=3x，
过点P作PM⊥AB于点M，
在Rt△APM中，∠PAM=30°，
∴PM=AP=，
∵平行四边形EPQB的面积为3，
∴PM·BE=3，即·2x=3，
解得x=1（负值已舍），
∴PC=PE=，
∴.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系中，点P（-5，5）与点Q（5，m）关于原点对称，则m＝ ．
【答案】-5
【解析】 ∵点P（-5，5）与点Q（5，m）关于原点对称 ，
∴m=-5.
故答案为：-5.
12．如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为10，的周长为24，则的长为 .
【答案】7
【解析】∵将△ABE向上折叠，点A正好落在CD上的点F，
∴EF=AE，BF=AB，
∴平行四边形ABCD的周长=DF+FC+CB+BA+AE+DE=△FDE的周长+△FCB的周长=10+24=34.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC=17，
∴△FCB的周长=CF+BC+BF=CF+BC+AB=24，
∴FC+17=24，
∴FC=7.
故答案为：7.
13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=
【答案】4
【解析】延长AE、BC交于点G，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG.
∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG=AD=5，AE=GE.
∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠DAE=∠G=∠DAF=30°，
∴AF=GF=8.
∵E为AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF=AF=4.
故答案为：4.
14．如图，在凸四边形ABCD中，AB=4，AD=2，CD=2，∠BAD=45°，连结AC，取AC中点E，连结BE，则BE的最小值是
【答案】
【解析】取AD的中点F，连结EF、BD、BF，
∵E为AC的中点，F为AD的中点，
∴EF=CD=1，
∴点E的轨迹为以点F为圆心，1为半径的圆.
∵AB=4，AD=，∠BAD=45°，
∴BD=AD=，∠ADB=90°，
∴BF=DF=，
∴BE的最小值为，
本题的答案为.
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点是边上的一个动点，若点关于的对称点为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接BA'，
∵平行四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：A（-1，0），B（0，2），C（4，2），D（3，0），
∴AB=，BC=4，
∵点A与点A'关于BP对称，
∴BA'=AB=，
在△BA'C中，由三角形三边关系得A'C≥BC-BA'，
∴A'C≥，
∴A'C的最小值是.
故答案为：.
16．数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ．
【答案】
【解析】连接FH，交BD于点O，连接PH，
∵平行四边形ABCD，∠A=60°，BD⊥AB
∴AB=CD=6，∠ABD=90°，AB∥CD，
∴∠ADB=90°-60°=30°，∠HDG=∠FBP=30°，
∴AD=2AB=12，
∴；
∵ 将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，
∴BF=FG，AE=A′E，∠A′=∠A=60°，EF垂直平分BG，
∴BP=PG，AB∥CD∥EF，BD⊥AB，
∴∠DGH=∠EPG=∠BPF=90°，
∵PF=HG，
∴四边形PFGH是平行四边形，
∴FH=2HO，
在△BPF和△DGH中
∴△BPF≌△DGH（AAS），
∴，
∴；
在Rt△DHG中，DH=2HG，
∴DG2+HG2=DH2即，
解之：HG=2，
在Rt△HOG中，
，
∴.
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，E，F分别是边上的点，且，连结交于点O．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，又，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
过F作于点G，
设，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
∴的长为．
18．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）连结EB，DF，若AD=4，AC=7，∠DAC=30°，求四边形DEBF的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠BAF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∴△CDE≌△ABF(AAS)，
∴AE=CF；
（2）解：如图，
∵AD=4，∠DAC=30°，∠DEA=90°，
∴DE=2，
∴，
同理：BF=DE=2，CF=，
∵AC=7，
∴EF=AC-AE-CF=7-，
∴四边形DEBF的面积=.
19． 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=30°，BE=2 求∠AED的度数及平行四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，
∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠DAE=∠B，
在△AED与△△BAC中，
∵AB=AE，∠DAE=∠B，AD=BC，∴△AED≌△△BAC（SAS）；
（2）解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∵∠DAE=∠AEB，∠B=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB=∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=
∵∠EAC=30°，∴∠BAC=90°，
∴BC=2AB=
在Rt△ABC中，，
∴S平行四边形ABCD=2S△ABC=2××AB×AC=AB×AC=.
20．如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上．请按要求在图1，图2中作图：
（1）在图1中，以为边作格点平行四边形，使得的面积为8；
（2）在图2中，作格点平行四边形，使得直线平分的面积．
【答案】（1）解：如图1，将线段沿水平方向向右平移4个单位长度得线段，过点作于，
由题意：，，
即为所求；
（2）解：连接，，交点为，过点作直线，
四边形是平行四边形，
是中心对称图形，对称中心为点．
点在直线上，
直线平分的面积．
21．如图，在平行四边形中，，分别平分和，交边于点，，线段，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分和，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
同法可得，，
，
，
，
．
22．如图，在中，对角线，相交于点O．，E，F，G分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，．
∵，
．
又E是OC中点，
；
（2）解：由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，
∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．
又∵EF是△OCD的中位线
．
又，
．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，、，点是线段上的任意一点包括端点，点在直线上，．
（1）点的坐标是 ；
（2）连接，，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）点的坐标为，点在射线上，以，，，为顶点作平行四边形，若点落在轴上，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）
（2）解：如图2中，当点Q在x轴的上方时，过点Q作QH⊥OA于H，过点O作OK⊥AB于K，
设，则，
在中，，
，，，
在中，，
在中，，
，
解得或舍弃，
．
当点Q在x轴下方时，同法可得．
综上所述，满足条件的△OPQ的面积为：或；
（3）解：如图中，当CD∥PQ，CD=PQ时，
，
，
，
．
，
，
．
如图中，当CD=PQ，CD∥PQ时，同法可得PQ=CD=4，
，
，
，
综上所述，BQ的长为5或3．
【解析】解：（1）如图1中，
在中，，，
，
故答案为：；
24．如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
（3）取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴轴，，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，，且，
∴是等腰三角形，
∴，
∵E为中点，
∴，
当点P在线段上时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
此时点P的坐标为；
当点P在线段上时，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵E为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴，
∵，
设直线的解析式为，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：连接，根据题意得，线段的中点F在线段上，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵E为线段中点，点F为线段的中点，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴同理，直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点F的坐标为；
∴，
∴的面积
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浙教版2023-2024学年八年级下册数学第4章 平行四边形 综合训练卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个n边形的各内角都等于，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列四组条件中，一定能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
4．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）．
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
5．如图，在中，对角线与交于点O，，E为中点，若的周长为32，的周长比的周长多4，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ ）
A．108° B．109° C．110° D．111°
7．如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点， DP平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB=7， AD=10， 则 OP的长为（ ） .
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
8．如图，平行四边形的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC
（第9题） （第10题）
10．如图，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，交于点E．P，Q分别是边，上的动点，当四边形为平行四边形时，的面积3，则线段的长是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在平面直角坐标系中，点P（-5，5）与点Q（5，m）关于原点对称，则m＝ ．
12．如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为10，的周长为24，则的长为 .
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=
14．如图，在凸四边形ABCD中，AB=4，AD=2，CD=2，∠BAD=45°，连结AC，取AC中点E，连结BE，则BE的最小值是
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点是边上的一个动点，若点关于的对称点为，则的最小值为 ．
16．数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，E，F分别是边上的点，且，连结交于点O．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
18．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）连结EB，DF，若AD=4，AC=7，∠DAC=30°，求四边形DEBF的面积.
19． 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=30°，BE=2 求∠AED的度数及平行四边形ABCD 的面积.
20．如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上．请按要求在图1，图2中作图：
（1）在图1中，以为边作格点平行四边形，使得的面积为8；
（2）在图2中，作格点平行四边形，使得直线平分的面积．
21．如图，在平行四边形中，，分别平分和，交边于点，，线段，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．如图，在中，对角线，相交于点O．，E，F，G分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，、，点是线段上的任意一点包括端点，点在直线上，．
（1）点的坐标是 ；
（2）连接，，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）点的坐标为，点在射线上，以，，，为顶点作平行四边形，若点落在轴上，求所有满足条件的的长．
24．如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
（3）取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积．
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