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浙教版2023-2024学年八年级下册数学第2章 一元二次方程 综合训练卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
3．用配方法将方程 变形为 ，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m 。则根据题意可列出方程（ ）
A．5000-150x=4704 B．5000-150x+x2=4704
C．5000-150x-x2=4704 D．5000-150x+ x2=4704
5．若关于x的方程kx2-2x-1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤-1且k≠0 B．k≥-1且k≠0 C．k＞-1 D．k＜-1且k≠0
6．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为 ，则由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c.下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是.其中正确的是（ ）.
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
10．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个解为x=2或x=-3的一元二次方程 .
12．已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是 .
13．关于x的方程 有两个实数根，则a的取值范围是 .
14．对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
15．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程 的两个实数根，则△ABC的周长为 ．
16．已知方程 ，则 的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）.
（3）； （4）x2+ 2x-5＝0.
18．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+ cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
19．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，(如图所示)在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的道路面积为 平方米（用x的代数式表示）．
（2）若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
20．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
21．已知关于x的方程．
（1）当方程一个根为x=3时，求m的值.
（2）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）若等腰△ABC的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为 ．
22．近日，春回大地，阳光明媚.开州陈家的春橙大量上市.已知王爷爷自家果园的春橙有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）.
（1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元.求每箱中果和大果的售价分别是多少元？
（2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果，王爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元.求每箱大果的售价应该降低多少元？
23．已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+5m=0．
（1）若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长求m的值．
24．如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
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浙教版2023-2024学年八年级下册数学第2章 一元二次方程 综合训练卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、x2+3y＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B、x2+3x＝1，是一元二次方程，故符合题意；
C、ax2+bx+c＝0，当a≠0时，是一元二次方程，故C不符合题意；
D、 ，是分式方程，故D不符合题意.
故答案为：B.
2．已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，
∴9+3a+a=0，
∴a=.
故答案为：B.
3．用配方法将方程 变形为 ，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】 ，
配方得： ，
即 ，
则m=5.
故答案为：B.
4．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m 。则根据题意可列出方程（ ）
A．5000-150x=4704 B．5000-150x+x2=4704
C．5000-150x-x2=4704 D．5000-150x+ x2=4704
【答案】B
【解析】设路宽为m，根据题意得
50×100-50x-100x-x2=4704
整理得： 5000-150x+x2=4704
故答案为：B.
5．若关于x的方程kx2-2x-1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤-1且k≠0 B．k≥-1且k≠0 C．k＞-1 D．k＜-1且k≠0
【答案】B
【解析】∵关于x的方程kx2 2x 1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≥ 1且k≠0.
故答案为：B.
6．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为 ，则由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为300×（1+x），
∴三月份的营业额为300×（1+x）×（1+x）=300×（1+x）2，
∴可列方程为300+300×（1+x）+300×（1+x）2=1500.
即300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500.
故答案为：D.
7．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 设矩形的长为x步 ，则宽为（60-x）步，
由题意得：x（60-x）=864，
故答案为：B.
8．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】 关于 的方程 的解是 ， ， 均为常数， ，
把 当做第一个方程中的 ，则方程 可变形为
则 或 ，
解得 ， .
方程 的解是 ， ，
故答案为：B.
9．已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c.下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是.其中正确的是（ ）.
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】①∵方程（1）有两个相等的实数根，
∴，
∴方程（2）的，
∴方程（2）也有两个相等的实数根，故正确；
②当时，
解方程（1），得，
解方程（2），得，
∵a不一定等于c，
∴两个方程均存在实数根时，它们的根不一定相同；故错误；
③∵把x=1代入 ，得：，
把x=1代入，得：，
∴当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1，故正确；
④∵把x=2分别代入，得：，
∴，
∴是方程（2）的一个根，故正确；
综上分析可知，①③④正确，故C正确.
故答案为：C.
10．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 是关于 的一元二次方程，
，
由求根公式，得 .
或 .
， ，
， .
，
解得 ，
.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个解为x=2或x=-3的一元二次方程 .
【答案】（x-2）（x+3）=0（答案不唯一）
【解析】∵一元二次方程的解为x=2或x=-3，
∴该方程可以为（x-2）（x+3）=0.
故答案为：（x-2）（x+3）=0（答案不唯一）.
12．已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是 .
【答案】2
【解析】把x=1代入方程得：1+m-3=0
∴m=2，故答案为：m=2.
13．关于x的方程 有两个实数根，则a的取值范围是 .
【答案】a≥ 且a≠0
【解析】∵ax2-5x-1=0有两个实数根，
∴a≠0且△≥0，即（-5）2-4a （-1）≥0，
解得a≥ 且a≠0，
故答案为：a≥ 且a≠0.
14．对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
【答案】0
【解析】由 得 ，
依题意有 ，
，
解得， ，或 舍去 .
故答案为：0.
15．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程 的两个实数根，则△ABC的周长为 ．
【答案】9或10.5
【解析】等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- ）=0的两个实数根，
则△=[-（2k+1）]2-4×5（k- ）=4k2+4k+1-20k+15=4k2-16k+16=0，
解得：k=2，
则b+c=2k+1=5，
△ABC的周长为4+5=9；
当a为腰时，则b=4或c=4，
若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- ）=0的根，
则42-4（2k+1）+5（k- ）=0，
解得：k= ，
解方程x2- x+10=0，
解得x=2.5或x=4，
则△ABC的周长为：4+4+2.5=10.5．
故答案为：9或10.5.
16．已知方程 ，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣x﹣3＝0；（2）（x+2）2＝3（x+2）.
（3）；（4）x2+ 2x-5＝0.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， .
（3）解：
方程移项得：2x（x-1）-3（x-1）=0，
分解因式得：（x-1）（2x-3）=0，
所以2x-3=0或x-1=0，
解得：
（4）解：x2+ 2x-5＝0
方程整理得：x2+4x=10，
配方得：x2+4x+8=18，即（x+2）2=18，
开方得：x+2=±3，
解得：x1=，x2=-5.
18．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+ cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
【答案】（1）解：由a2+b2＝c2可得：
当a＝3，b＝4时，c＝±5，
相应的勾系一元二次方程为3x2±5 x+4＝0
（2）证明：根据题意，得
△＝（ c）2﹣4ab
＝2（a2+b2）﹣4ab
＝2（a﹣b）2≥0
∵△≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+ cx+b＝0（a≠0）必有实数根
19．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，(如图所示)在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的道路面积为 平方米（用x的代数式表示）．
（2）若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．
【答案】（1）（54x-10x2）
（2）解：由题意，得
解得：
经检验 不符合实际情况，舍去
x=
【解析】（1）设小路宽度为x米，则亭子的边长为5x米，
则花园内道路面积=30x+24x-2×5x·x=54x-10x2.
故答案为：（54x-10x2）；
20．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k≥0，解得k≤
（2）解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m=
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，
不符合题意，舍去，所以m的值为
21．已知关于x的方程．
（1）当方程一个根为x=3时，求m的值.
（2）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）若等腰△ABC的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为 ．
【答案】（1）解：把x=3代入方程得：9-3（m+1）+2（m-1）=0，
解得m=4；
（2）证明：∵
∴无论m取何值，这个方程总有实数根.
（3）.
【解析】（3）解：∵△ABC是等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个等于a，即值为6，
①当b=c时，△=（m-3）2=0， 解得m=3，
∴方程为x2-4x+4=0， 解得x1=x2=2，
即b=c=2，
∵2、2、6不能组成三角形，故舍去；
②当b、c中有一个等于6时，将x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0， 解得m=7，
方程为x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴三边为2，6，6，
∴△ABC底边上的高为，
∴ △ABC的面积为×2×=；
故答案为：.
22．近日，春回大地，阳光明媚.开州陈家的春橙大量上市.已知王爷爷自家果园的春橙有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）.
（1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元.求每箱中果和大果的售价分别是多少元？
（2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果，王爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元.求每箱大果的售价应该降低多少元？
【答案】（1）解：设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据题意得，
，
解得，
答：每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元.
（2）解：设每箱大果的售价应该降低m元，根据题意得，
解得，
售价不低于30元，即，
解得，
，
答：每箱大果的售价应该降低8元.
23．已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+5m=0．
（1）若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长求m的值．
【答案】（1）解：∵ 此方程的一个根是x=2，
∴4-2（m+5）+5m=0、
解之：m=2
∴原方程为：x2-7x+10=0
∴（x-2）（x-5）=0
∴x-2=0或x-5=0
解之：x1=2，x2=5，
答：方程的另一个根为5.
（2）∵△=[-（m+5）]2-20m=（m-5）2，
无论m取何值时（m-5）2≥0即△≥0
∴这个一元二次方程一定有两个实数根.
（3）解： x2-（m+5）x+5m=0，
∴（x-5）（x-m）=0
解之：x1=5，x2=m，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴a=5，b=m或a=m，b=5，
∵ 2，a，b分别是一个直角三角形的三边长 ，∵5＞2
当22+m2=52，
解之：（舍去）；
当22+52=m2，
解之：（舍去）；
答：m的值为或.
24．如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设经过x秒后，则
（2）解：
∴不存在
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